A14兩角差的余弦公式

1、兩角差的余弦公式、內(nèi)容和內(nèi)容解析1、內(nèi)容：本節(jié)課的主要內(nèi)容是公式的探究及應(yīng)用， 它揭示了單角三角函數(shù)與復(fù)角三角 函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)生的認(rèn)知世界中，開(kāi)辟了三角函數(shù)研究的新領(lǐng)域。2、內(nèi)容解析：兩角差的余弦公式是 三角恒等變換 這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)， 讓學(xué)生從“特 殊到一般”的探究過(guò)程中體會(huì)化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，從而突破本節(jié)課的重 點(diǎn)和難點(diǎn)：公式的發(fā)現(xiàn)和證明。教材沒(méi)有直接給出兩角差的余弦公式， 而是分探求結(jié)果， 證明結(jié)果兩步進(jìn)行 探究,并從簡(jiǎn)單情況入手得出結(jié)果。這樣的安排不僅使探究更真實(shí)，也有利于學(xué) 生學(xué)會(huì)探究。、目標(biāo)和目標(biāo)解析1、掌握兩角差的余弦公式，并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用公式；2、全體學(xué)生能理

2、解“探求結(jié)果，證明結(jié)果”這一常用的探究步驟；多數(shù)學(xué)生 能在兩角差余弦公式的探究過(guò)程中體會(huì)以退為進(jìn)、割補(bǔ)思想、分類(lèi)討論、觀察聯(lián) 想等數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，能體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的合理性與條理性。3、能理解怎樣運(yùn)用向量解決問(wèn)題， 充分認(rèn)識(shí)和感受向量的工具價(jià)值， 感受科 學(xué)探索的樂(lè)趣。、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1、兩角差的余弦公式的猜想與證明是一個(gè)難點(diǎn)。 因?yàn)閷W(xué)生可能不明白為什么 要添輔助線(xiàn)和如何添輔助線(xiàn)。2、盡管教材在前面的習(xí)題中，已經(jīng)為用向量法證明兩角差的余弦公式做了鋪 墊，但多數(shù)學(xué)生仍難以想到。教師需要在引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特 征的基礎(chǔ)上，聯(lián)想到單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)和向量的數(shù)量積公式， 努力使

3、數(shù)學(xué)思 維顯得自然、合理。3、用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時(shí)，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、 不嚴(yán)密的錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)需引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量的夾角的聯(lián)系與區(qū) 別。四、教學(xué)支持條件分析整節(jié)課借助多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，為了突破知識(shí)難點(diǎn)，在課件中設(shè)置多個(gè)鏈接，將學(xué)生可能出現(xiàn)的解答思路直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用多種方法的對(duì)比呈 現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生互相評(píng)價(jià)動(dòng)機(jī)，實(shí)現(xiàn)預(yù)計(jì)與生成的和諧統(tǒng)一。生活實(shí)例引五、教學(xué)過(guò)程：活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境例：一個(gè)斜坡的高為6m,水平長(zhǎng)度為8m,已知作用在物體上的力F與水平方向的夾角為60 ,且大小為10N，在力F的作用下物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)了 3 m,求力F作用在物體上的功 W.解:問(wèn)題1

4、：入，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)1、S=30 cos(606m你能找到哪些與2、怎樣利用這些條件求出cos(60 ) ?3、更一般地，當(dāng)是任意角時(shí)，能不能用的三系，增強(qiáng)學(xué)生的 應(yīng)用意識(shí)，激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程.且體會(huì)到探究?jī)山遣畹挠嘞夜降谋匾裕?明確本節(jié)課要研究的課題.角函數(shù)值表示cos( )呢?活動(dòng)二：合作探究1、明確探究的思路與步驟問(wèn)題2:我們應(yīng)該用怎樣的思路和方法進(jìn)行探究 ？(探究的過(guò)程可以分兩個(gè)步驟：第一步探求表示結(jié)果，第二步對(duì)結(jié)果的確良正確性加以證明)2、探求表示結(jié)果問(wèn)題3:同學(xué)們第一反應(yīng)這個(gè)結(jié)果可能是什么?如果有學(xué)生提出cos( ) cos

5、cos，則引導(dǎo)學(xué)生取特殊值驗(yàn)證，同時(shí)分析錯(cuò)誤的原因：余弦函數(shù)名與角之間并不是相乘關(guān)系，因此類(lèi)比乘法分配律是錯(cuò)誤的。可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況啟發(fā)，必要時(shí)可為學(xué)生搭建一個(gè)探究的平臺(tái)。引導(dǎo)探究：以退為進(jìn)，先討論、都是銳角的情況.引導(dǎo)學(xué)生弄清探究的思路,學(xué)會(huì)從宏觀到微觀、理性地、有條理地思考和探究問(wèn)題，避免盲目性。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮想象力，大膽 猜測(cè)，然后再去 驗(yàn)證其合理性，增強(qiáng)學(xué)生探索問(wèn)題、挑戰(zhàn)困難的勇氣.問(wèn)題4:當(dāng)、角時(shí)，我們又該怎么辦?引導(dǎo)學(xué)生在直角三角形或單位圓中構(gòu)造如下直角三角形，并用割、補(bǔ)y者E是銳sinOB引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想給出證明.的方法得到。cos( ) OB CP OA cos AP

6、sincos cos sin sin/. cos( ) cos cos sin sin (、為銳角，且方法小結(jié)：在整個(gè)證明過(guò)程中，我們通過(guò)幾何的手段，得到讓學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)對(duì)差方法：數(shù)形結(jié)合.角公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識(shí).問(wèn)題5:那這個(gè)式子是否對(duì)任意角都成立呢?了一個(gè)代數(shù)公式，這運(yùn)用到了在數(shù)學(xué)探究過(guò)程中一種重要的思想引導(dǎo)學(xué)生再用非銳角的特殊角或任意角進(jìn)行驗(yàn)證。3、證明結(jié)果問(wèn)題6:現(xiàn)在初步結(jié)果已經(jīng)出來(lái)，目標(biāo)和方向已經(jīng)明確。請(qǐng)同 學(xué)們仔細(xì)觀察上面這個(gè)式子的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征?？纯磸闹袝?huì) 得到什么新的發(fā)現(xiàn)?引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到、 終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A(cos ,sin )B(cos , sin )cos(

7、 ) cos cos sin sin進(jìn) 面聯(lián)想通過(guò)小組討OA OB cos( ) cos cos sin sin（組織學(xué)生分組討論交流，尋找用向量證明的途徑和方法）論，培養(yǎng)學(xué)生的)問(wèn)題7、如何證明cos（A (cos合作交流意識(shí)。同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識(shí)解出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量 方法的優(yōu)越性。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角與的聯(lián)系與區(qū)別，并通過(guò)觀察和討論弄清2k 。問(wèn)題&剛才我們一起經(jīng)歷了完整、曲折的探究過(guò)程，回顧一下，大家有什么啟發(fā)和感悟？對(duì)比兩種證明方法，你認(rèn)為哪種 更簡(jiǎn)潔?小結(jié)：兩角差的余弦公式： cos（ ） cos cos sin sin（其中、為任意角，簡(jiǎn)記為C（）問(wèn)題9:兩角

8、差的余弦公式有什么特點(diǎn)?要求學(xué)生對(duì)公式形式進(jìn)行分析體會(huì)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美。學(xué)生運(yùn)用所引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式的特點(diǎn)：左邊是兩角差的余弦，右邊同名 弦的積的和。學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題.并享受探究活動(dòng)三：知識(shí)運(yùn)用 1、解決引例中的問(wèn)題.2、公式活用：利用差角余弦公式求C0S15的值.成功的喜悅!問(wèn)題10：你能用一副三角板拼出哪些角?活用公式,組織學(xué)生以小組為單位親自動(dòng)手，并交流展示自己的加深學(xué)生對(duì)公式成果;中兩角形式變化的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化整要求學(xué)生利用兩角差的余弦公式求出所拼出角的余體思想.并激發(fā)弦值.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的六、回顧總結(jié)熱情，體會(huì)生活 中處處有數(shù)學(xué).師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們一起回顧一下1、公式探究的步驟是什么;2、我們是怎

9、樣獲得差角余弦公式的;3、你有什么感悟和體會(huì)。六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1、必做題：課本Pl27 T2T3T4。（設(shè)計(jì)說(shuō)明：面向全體學(xué)生，加深學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)，公式的用法及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)、理解。）2、選做題：課本Pi38練習(xí)B組第4題（設(shè)計(jì)說(shuō)明：針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)計(jì)此題，目的是培養(yǎng)他們綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式解決問(wèn)題的能力，在探索過(guò)程中獲得成就感，同時(shí)在班上營(yíng)造一種你追我趕學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)的氛圍?。┬彰惲詣e男畢業(yè)學(xué)校湖北師范學(xué)院學(xué)歷大學(xué)現(xiàn)任專(zhuān)業(yè) 技術(shù)職務(wù)中學(xué)數(shù)學(xué)中教一級(jí)教齡9年教學(xué)簡(jiǎn)歷2000年至今，一直在湖北省嘉魚(yú)縣第一中學(xué)任教；參加過(guò)陳緒元冋志主持的2002年2005年全國(guó)教育“十五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題課程資源開(kāi)發(fā)利用研究的湖北嘉魚(yú)一中子課題校本教材的開(kāi)發(fā)與利用榮獲研究成果一等獎(jiǎng)。獲獎(jiǎng)情況2