特殊平行四邊形典型例題解析題

1、、參考例題例1如下圖， ABC中，點0是AC邊上的一個動點，過點 0作直線MN / BC,設(shè)MN 交/ BCA的平分線于點E,交/ BCA的外角平分線于點F.(1) 求證：EO=FO(2) 當點0運動到何處時，四邊形 AECF是矩形？并說明你的結(jié)論.分析：(1)要證明OE=OF，可借助第三條線段0C,即證：OE=OC, OF=OC，這兩對線段又分 別在兩個三角形中，所以只需證 OEC、A OCF是等腰三角形，由已知條件即可證明.(2)假設(shè)四邊形AECF是矩形，則對角線互相平分且相等，四個角都是直角.由已知可得到：/ ECF=90°,由可證得OE=OF,所以要使四邊形AECF是矩形，只

2、需OA=OC. 證明：(1)：CE、CF分別是/ ACB、/ ACD的平分線./ ACE=Z BCE,/ ACF= / DCF MN / BC / OEC=/ ECB,/ OFC= / FCD/ ACE=/ OEC,/ ACF=/ OFCOE=OC, OF=OC OE=OF(2)當點O運動到AC的中點時，即OA=OC又由證得OE=OF四邊形AECF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)由知：/ ECA+/ ACF=丄 / ACB+ 丄 / ACD=- (/ACB+/ ACD)=90°2 2 2即/ ECF=90°四邊形AECF是矩形.因此：當點O運動到AC的中點

3、時，四邊形AECF是矩形.例2如下圖，已知矩形 ABCD的對角線 AC、BD相交于O, OF丄AD于F, OF=3 cm, AE 丄BD 于 E, 且 BE : ED=1 : 3, 求 AC 的長.分析：本題主要利用矩形的有關(guān)性質(zhì)，進行計算 即：由矩形的對角線互相平分且相等；可導(dǎo)出BE=OE，進而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm,求出BD的長，即AC的長.解：四邊形 ABCD 是矩形.二 AC=BD,OB=OD=OA=OC又 BE : ED=1 : 3 二 BE : BO=1 : 2 二 BE=EO又 AE 丄 BO ABEA ADE二 AB=OA 即 AB=AO=OB/ BAE=/

4、 EAO=30°,/ FAO=30°/ ABEA AOFBE=0F=3 cm, BD=12 cm 二 AC=BD=12 cm二、參考練習(xí)1如圖，有一矩形紙片ABCD, AB=6 cm,BC=8 cm,將紙片沿EF折疊，使點B與D重合，求 折痕EF的長.解：連結(jié)BD、BE、DF 由折疊的意義可知：EF丄BD, EF平分BD. BE=ED,BF=FD四邊形 ABCD 為矩形 AB=CD , AD=BC,Z C=90°, AD / BC / EDO = / FBO點 B 和 D 重合 BO=DO ,Z BOF= / DOE BOFDOE ED=BF, ED=BF=FD=

5、BE四邊形BFDE是菱形S菱形=丄X BDX EF=BF X CD2 BF=DF ,可設(shè) BF=DF=x 貝U FC=8-x在Rt FCD中，根據(jù)勾股定理得：x2=（8 x）2+62x=25 - ,82 62 EF 蘭 6EF=7.5424因此，折痕EF的長為7.5 cm.2當平行四邊形ABCD滿足條件寸，它成為矩形（填上你認為正確的一個條件即可）.答案：/ BAC=90° 或 AC=BD 或 OA=OB 或/ABC+Z ADC=180?；? BAD+Z BCD= 180° 等 條件中的任一個即可.典型例題例1 如圖，在菱形ABCD中, E是AB的中點，且二上丄宀匚“，求:

6、（1）工匚的度數(shù)；（2）對角線AC的長；（3）菱形ABC啲面積.分析（1）由E為AB的中點，二三一二三，可知DE是 AB的垂直平分線，從而，且，貝U是等邊三角形，從而菱形中各角都可以求出.（2）而二丄：'：，利S = -AC BD.用勾股定理可以求出AC. （3）由菱形的對角線互相垂直，可知1（1）連結(jié)BD,:四邊形ABCD是菱形,AD=AB.:二是AB的中點，且二， 一五 是等邊三角形,也是等邊三角形.ZA5C = 60ox2 = 120°(2)v四邊形ABCD是菱形， AC與BD互相垂直平分,二EW,.丄瓦三為等邊三角形 £AEF = 60°11 廠J

7、3 ,S 二一盤C BD 二一屈 v 二卅(3)菱形ABCD勺面積說明：本題中的菱形有一個內(nèi)角是 60°的特殊的菱形，這個菱形有許多特點，通過解題應(yīng)該 逐步認識這些特點.例2 已知：如圖，在菱形 ABCD中，|工一-二 于丄亠-于F.求證：-£ -5分析 要證明二三：匚匚，可以先證明5F =三G ,而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明，從而可以證得本題的結(jié)論.證明四邊形ABCD是菱形，二丄''一，且三三，匸；丸=心，.-， ?AB = AD胭一盹 m DF.-.AEAF.例3已知：如圖，菱形ABCD中, E, F分別是BC,CD上的一點，一二；三匚匚門丁 ：，二三遼

8、，求 的度數(shù)解答：連結(jié)AC四邊形ABCD為菱形， = ABBCCDAD? M5C與ACZM 為等邊三角形.AB = AC,ZB = ZACD = BAC = 60乂陰F = 60°叢呂AE 二乙GAF ZEE 三 ACF ? AEAF * * *一二 60°-F18° = 60°-FZC,F說明本題綜合考查菱形和等邊三角形的 性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連AC,證二匕三-丄-F.例4 如圖，已知四邊形和四邊形 工二F都是矩形，且一2二二匸P .求證：丁三垂直平分二二.分析由已知條件可證明四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的對角線平分對角以及等腰三角形的“三線合一”可證明垂直平

9、分二=.證明：四邊形e二-都是矩形冊 EF AB/iCD £DFH =BCD = )a ADBC四邊形MW 是平行四邊形口二y二=,二二-匸在厶匸巳扌和中厶DFH = BCH；£DHF = dHCPF = BC.”& 當豆CE. 舊二 BH , HF = HC四邊形三三匸三是平行四邊形 .四邊形三三二Y是菱形.三三平分三匚二. G三平分二王.上齊二匚.V ED AB=ED* ? * */二&Z2=Z3在A&3和厶 EDG 中證 .£望 DEG AG GD.一2二| = ：_三._4了二衛(wèi)巴 同理：匸三二三& .二匚二匚三.四邊形 V

10、 是平行四邊形口三：三三.四邊形是菱形.匸丘一三三.二垂直平分.例5 如圖， “匚二中，一二二-攔，三、7在直線二上，且匸-二-二；.求證：上二一二.分析要證三三-三，關(guān)鍵是要證明四邊形 W 是菱形，然后利用菱形的性質(zhì)證明結(jié)論.證明四邊形二匸匸是平行四邊形 AEZD AB=CD AdUBH 亠"* *? ? ? * *典型例題例1一個平行四邊形的一個內(nèi)角是它鄰角的 3倍，那么這個平行四邊形的四個內(nèi)角各是多少度？分析 根據(jù)平行四邊形的對角相等，鄰角互補可以求出四個內(nèi)角的度數(shù).解 設(shè)平行四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為 x，則它的鄰角的度數(shù)為3x，根據(jù)題意，得九-1二， 解得 ，這個平行四邊形的

11、四個內(nèi)角的度數(shù)分別為45°, 135°, 45°, 135°.例2已知：如圖，的周長為60cm對角線ACBD相交于點O,:工 的周長比呂二的周長多8cm求這個平行四邊形各邊的長.分析由平行四邊形對邊相等，可知-4?-SC =平行四邊形周長的一半二30cm又由廠 的周長比的周長多8cm,可知cm,由此兩式，可求得各邊的長.解四邊形為平行四邊形， J' '上 J，-'= AB-BC = 30.? * *匚丄 II - / L AS -三匚=:? * * I ' .'' I答：這個平行四邊形各邊長分別為 19cm

12、 11cm 19cm 11cm說明：學(xué)習(xí)本題可以得出兩個結(jié)論：（1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.（2） 平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差.例3已知：如圖，在中，打 匸交于點Q過O點作EF交AB CD于 E、F,那么OE QF是否相等，說明理由.分析 觀察圖形,三血OF，從而可說明0E = 0F.證明在uAEGD中，：討C、BD交于O, .二°。， ? ?£ 寸* * ? * *例4已知：如圖，點E在矩形ABCD勺邊BC上,且丄一丄：,垂足為F。求證：AF = DC.分析 觀察圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊工匚；因

13、此這兩個直角三角形全等。在這個圖形中，若連結(jié) AE,貝小與-75全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系。證明四邊形ABCD!矩形， ，.UUFTAF1 丄，. D=ZU=9Q°，又 =，.MFD 三龐巳E。.蠱F =例5 O是口ABCD寸角線的交點，的周長為59,抄三丸，則M =，若氐0陽與3血 的周長之差為15,貝皿占=，口 ABCD勺周長=.OA=OC = -AC OB = QD = -BD解答：IrABCD中，1，1.=OB +0C + 5C = -BD-h-AC-hBC 的周長1 二.= 28.在匚ABCD中，再匚二山辺.=23_<.：?的周長_二匚匸的周長 '''1 '' 1 ' '''，；：=弓-一扛=<. £ = 15.ABCD勺周長 _1 丄丄-: -'_：1-； I _-二說明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將-m與-二瑩的周長的差轉(zhuǎn)化為兩條線段 的差.例6 已知：如圖，ABCD勺周長是"'卩，由鈍角頂點D向AB, BC引兩條高DE DF,且',&q