函數的概念的教學設計

1、函數的概念的教學設計浙江省義烏市第三中學 陳向陽【教材分析】 本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書數學必修本（A版）的第一章1.2.1函數的概念。函數是中學數學中最重要的基本概念之一，它貫穿在中學代數的始終，從初一字母表示數開始引進了變量，使數學從靜止的數的計算變成量的變化，而且變量之間也是相互了解、相互依存、相互制約的，變量間的這種依存性就引出了函數。在初中已初步探討了函數概念、函數關系的表示法以及函數圖象的繪制。到了高一再次學習函數，是對函數概念的再認識，是利用集合與對應的思想來理解函數的定義，從而加深對函數概念的理解。函數與數學中的其他知識緊密了解，與方程、不等式等知識都互相關聯(lián)、互相轉

2、化。函數的學習也是今后繼續(xù)研究數學的基礎。在中學不僅學習函數的概念、性質、圖象等知識，尤為重要的是函數的思想要更廣泛地滲透到數學研究的全過程。函數是中學數學的主體內容，起著承上啟下的作用。函數又是初等數學和高等數學銜接的樞紐，特別在應用意識日益加深的今天，函數的實質是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關系。因此對函數概念的再認識，既有著不可替代的重要位置，又有著重要的現實意義。本節(jié)的內容較多，分二課時。本課時的內容為：函數的概念、函數的三要素、簡單函數的定義域及值域的求法、區(qū)間表示等。（第二課時內容為：函數概念的復習、較復雜函數的定義域及值域的求法、分段函數、函數圖象等）【學情分析】學生

3、在學習本節(jié)內容之前，已經在初中學習過函數的概念，并且知道可以用函數描述變量之間的依賴關系。然而，函數概念本身的表述較為抽象，學生對于動態(tài)與靜態(tài)的認識尚為薄弱，對函數概念的本質缺乏一定的認識，對進一步學習函數的圖象與性質造成了一定的難度。初中是用運動變化的觀點對函數進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數概念的本質。例如，對于函數 如果用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但如果用集合與對應的觀點來解釋，就十分自然。因此，用集合與對應的思想來理解函數，對函數概念的再認識，就很有必要。由于數學符號的抽象性，學生因此會望而卻步，從而影響了學生學習數學的積極性。高一學生雖然在初中已

4、接觸了函數的概念，但在重新學習它時還是存在一定的障礙，其中一個原因就是對新引進的函數符號“y=f(x)”不甚其解。教師應在教學中有意識地挖掘函數符號的審美因素，以美啟真。在本節(jié)課的教學過程中，教師應該給學生提供實踐動手的機會，為學生創(chuàng)設熟悉的問題情境，引導學生觀察、計算、思考，從而理解問題的本質，歸納總結出結論?！緦W法指導】 本節(jié)內容的學習要注意運動變化觀和集合對應觀兩個觀念下函數定義的對比研究；注意借助熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數加深對函數這一抽象概念的理解；要重視符號f(x)的學習，借助具體函數來理解符號y=f(x)的含義，由具體到抽象，克服由抽象的數學符號帶來的理解困難，從而提高

5、理解和運用數學符號的能力。【教學目標】知識目標 通過豐富的實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型；用集合與對應的思想理解函數的概念；理解函數的三要素及函數符號的深刻含義；會求一些簡單函數的定義域及值域。能力目標 培養(yǎng)學生觀察、類比、推理的能力；培養(yǎng)學生分析、判斷、抽象、歸納概括的邏輯思維能力；培養(yǎng)學生了解、對應、轉化的辯證思想；強化“形”與“數”結合并相互轉化的數學思想。情感目標 滲透數學思想和文化，激發(fā)學生觀察、分析、探求的興趣和熱情；強化學生參與意識，培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度，獲得積極的情感體驗；體會在探究過程中由特殊到一般、從具體到抽象、運動變化、相互了解、相互制約、相

6、互轉化的辯證唯物主義觀點；感受數學的簡潔美、對稱美、數與形的和諧統(tǒng)一美；樹立“數學源于實踐，又服務于實踐”的數學應用意識?！窘虒W重點】函數的概念及y=f(x)的理解與深化。【教學難點】函數的概念及函數符號f(x)的理解?！窘虒W關鍵】在集合與對應的基礎上理解函數的概念。【教學方法】 以建構主義理論為指導，輔以多媒體手段，采用著重于學生探索研究的啟發(fā)式教學為主，變式教學為輔，及引導、探究、講解、演練相結合。在教學過程中，多一點情境和歸納，多一點探索和發(fā)現，多一點思考和回顧。通過不同形式的自主學習、探究活動，豐富和改善教與學的方式，體驗數學發(fā)現和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力。在課堂結構上，設計

7、“創(chuàng)設情境引入課題；引導探求形成知識；變式訓練鞏固知識；討論研究深化知識；總結反思提高認識；任務后延自主探究”這樣幾個主要環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，以期達到教學目標。設計思想設計環(huán)節(jié)設計意圖師生活動一、創(chuàng)設問題情境，引出課題。以實際問題為背景，以學生熟悉的情境入手激活學生的原有知識，形成學生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現新知識，使新知識和原知識形成了解，同時也體現了數學的應用價值。通過問題2這兩個用已有概念不太容易回答的問題，引發(fā)學生的認知沖突，有著承上啟下的作用。既是對初中已學的函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合語言來刻畫函數的本質做好伏筆。教師提出問題1：我們在初中學習過

8、函數的概念，它是如何定義的呢？在初中已經學過哪些函數？（在學生回答的基礎上出示投影）我們已經學習了一些具體的函數，那么為什么還要學習函數呢？先請同學們思考下面的兩個問題：問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個函數？函數y=x與函數表示同一個函數嗎？學生思考、討論后，教師點撥：僅用上述函數概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認識函數概念。這就是今天我們要學習的課題：函數的概念（板書）二、借助信息技術，討論歸納。以實際問題為載體，以信息技術的作圖功能為輔助。在三個實例的教學中，重點在于引導學生體會函數概念中的對應關系。通過實例1，體會用解析式刻畫變量之間的對應關系，關注t和h的范圍

9、；通過實例2體會用圖象刻畫變量之間的對應關系，關注t和S的范圍；通過實例3體會用表格刻畫變量之間的對應關系。為了更好地使學生嘗試用集合與對應的語言進行描述，可以利用信息技術設置教學情境。通過學生的觀察、思考、討論來歸納結論，體現了學生自主探究的學習方式。讓他們通過實踐來進一步體驗到在集合對應觀下的函數內涵，也為學生應用信息技術解決數學問題提供了一種新的途徑和方法。師：（實例1）演示動畫，用幾何畫板動態(tài)地顯示炮彈高度h關于炮彈發(fā)射時間t的函數。啟發(fā)學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度h與之相對應。生

10、：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。師：（實例2）引導學生看圖，并啟發(fā)：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積S與之相對應。生：動手測量，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。師生：（實例3）共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。問題3：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點？生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數定義，并在全班交流。師生：由學生概括，教師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描述為：對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有唯一確定的y與它對應，記作f:

11、AB三、從特殊到一般，引出函數概念。從特殊到一般，揭示數學通常的發(fā)現過程，給學生“數學創(chuàng)造”的體驗。這種引出概念的方式自然而又易于學生接受和形成概念。注重雙語，規(guī)范數學概念的理解。在涉及的每一個數學概念其后注明英語，有利于教師實施雙語教學，也有利于教師和學生閱讀外文數學材料，這也是體現新課標實驗教材的創(chuàng)新之處。函數y=f(x)是學生學習的難點，這是一個抽象的數學符號。教學時首先要強調符號“y=f(x)”為“y是x的函數”這句話的數學表示，它僅僅是數學符號，而不是表示“y等于f與x的乘積”。在有些問題中，對應關系f可用一個解析式表示，但在不少問題中，對應關系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他

12、方式（如圖象、列表）來表示。所以教師應向學生明確指出，y=f(x)不一定就是解析式，函數的表示方式除了解析式外，還有其它表示方法，如實例2的圖象法，實例3的列表法。問題4：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢？如果能，怎樣給函數重新下一個定義呢？（在學生回答的基礎上教師歸納總結）設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在數集B中都有唯一確定的f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數（function）.記作y=f(x)xA自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的

13、值域（range） 在函數概念得出后，教師強調指出“y=f(x)”僅僅是數學符號。為了更好地理解函數符號y=f(x)的含義，教師提出下一個問題：問題5：y=f(x)一定就是函數的解析式嗎？師生：函數的解析式、圖象、表格都是表示函數的方法。補充練習：下列圖象中不能作為函數的圖象的是（ ）（A） （B） （C） （D）啟發(fā)并引導學生思考、討論、交流，教師歸納總結出函數的要點：1函數是一種特殊的對應非空數集到非空數集的對應；2函數的核心是對應法則，通常用記號f表示函數的對應法則，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。函數記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可

14、得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應；值域；3函數符號y=f(x)的說明：（1）“y=f(x)”即為“y是x的函數”的符號表示；（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；（3）f(x)與f(a)是不同的，通常，f(a)表示函數f(x)當x=a時的函數；（4）在同時研究兩個或多個函數時，常用不同符號表示不同的函數，除用符號f(x)外，還常用g(x)、F(x)、(x)等符號來表示。4定義域是函數的重要組成部分，如f(x)=x(xR)與g(x)=x(x0)是不同的兩個函數。四、借助熟悉函數平臺，加深對函數概念的理解。設置

15、問題6這個情境，目的是用函數的定義去解釋學過的一次函數、反比例函數、二次函數，使得對函數的描述性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時利用信息技術工具畫出函數的圖象，是讓學生進一步體會“數”與“形”結合在理解函數中的作用，更好地幫助理解上述函數的三個要素，從而加強學生對函數概念的理解，進一步挖掘函數概念中集合與函數的了解。明確定義域、值域和對應關系是決定函數的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學生深層次思考問題的習慣。問題6：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對應：f:AB，使得集合B中的元素與集合A中的元素x對應，如何表示這個函數？定義域和值域各是什么？函數呢？函數呢？教師演示動畫，用

16、幾何畫板顯示這三種函數的動態(tài)圖象，啟發(fā)學生觀察、分析，并請同學們思考之后填寫下表：函數一次函數反比例函數二次函數對應關系定義域值域問題7：函數的三要素是什么？教師引導學生歸納總結：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。五、再創(chuàng)情境，引導探究函數概念的新認識。問題8利用學生思維的空白處設置問題，能引起學生探究的欲望，從而自然引出以形求數的思想。接著，通過“引導”，給學生解決后續(xù)問題的方法，即觀察圖象的方法。問題9引導學生對問題2進行反思和總結，并將之一般化，利用數學語言

17、來表達，培養(yǎng)學生反思問題、總結歸納的習慣和善于運用數學語言抽象所發(fā)現的結論的能力。問題8：比較函數的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點，你對函數有什么新的認識？學生思考、討論，教師點撥：函數近代定義與傳統(tǒng)定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發(fā)。問題9：學生在前面學習的基礎上，反思對問題2的解答，重新思考問題2，談談自己的認識。教師啟發(fā)、引導學生畫圖，以形求數。師生：是函數；與不是同一個函數。六、師生釋疑，深入研究。問題10以學生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設

18、情境，引起學生的學習興趣，再次引發(fā)學生在構建自身基礎上的“再創(chuàng)造”，并通過獨立思考后的討論，培養(yǎng)學生分析解決問題、用數學語言交流溝通的能力。設置問題11這個情境，是因為“區(qū)間概念”這段內容并不難理解，所以可以先讓學生自已閱讀，然后進行不等式、區(qū)間與數軸表示的互相轉化，以此熟悉區(qū)間的概念。問題11此情境的設置是為學生提供了自主探究的平臺，從閱讀學習中發(fā)現問題、分析問題、解決問題，既符合了學生的心理特點，又注重了學生的思維過程。問題10：如何判斷兩個函數是否相同？引導學生對問題2進行抽象概括并歸納總結：當兩個函數的定義域、對應關系完全一致時，我們就稱這兩個函數相等。問題11：研讀課本，敘述區(qū)間的概

19、念。請同學們在閱讀后填寫下表：定義名稱符號數軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間教師指導學生自學，解決學生提出的問題，并指出說明：（1）區(qū)間是集合；（2）區(qū)間的左端點必小于右端點；（3）無窮大是一個符號，不是一個數；（4）以“-”或“+”為區(qū)間的一端時，這一端必須是小括號。七、舉例應用，深化目標。例題是為了使學生更好地理解函數定義而設置的，既考慮了數學思維的嚴謹性，也體現了數學知識的應用性。通過例1，使學生學會求簡單函數的定義域，以此更好地突出重點。例1表明當對應法則確定后，對于定義域內的一個數，只要將它代入解析式，就可求出它所對應的函數值，進一步體會函數記號的含義。例2表明判定兩個函數是否相同，不

20、僅要看對應關系是否一樣，還要看定義域是否相同。通過判斷函數的相等使學生認識到函數的整體性，進一步加深學生對函數概念的理解。例3的設置補充，其目的既是第22頁練習3與習題3的伏筆，也是為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數的性質（奇函數）作準備。變式訓練的設計以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現梯度，使不同程度的學生都有發(fā)展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發(fā)學生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生探究問題的能力，從而提升學生的思維品質。借助三個變式層層深入，是理論到實踐的升華，使概念深化、強化、類化！f的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用能力也就自

21、然形成了。例1已知函數（1）求函數的定義域；（2）求的值；（3）當時，求的值。讓學生思考，并提問個別學生。師問：怎樣求函數的定義域？追問：與有何區(qū)別與了解？點撥：表示當自變量時函數的值，是一個常量，而是自變量的函數，它是一個變量，是的一個特殊值。例2下列函數中哪個與函數y=x相等？（1） （2）（3） （4）師問：判斷函數相等的依據是什么？變式：若改（2）為呢？思考：你能舉出一些函數相等的具體例子嗎？例3已知函數（1）畫出函數的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現了什么結論？（4）求函數的值域。教師引導學生解決此題的關鍵點，并進行變式：變式1：已知 當時，求函數的值域； 當時，求函數的值

22、域。變式2：已知 當函數值域為時，求函數定義域； 當函數值域為時，求函數定義域。變式3：（1）已知求的值。變式3：（2）已知求函數.八、練習交流反饋鞏固利用課堂練習鞏固所學的知識內容、數學思想和方法，以求達到教學目標。本環(huán)節(jié)以個別指導為主，體現面對全體學生的課改理念。課堂練習：課本第22頁練習123以學生回答、板演的形式進行，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節(jié)課的學習。九、學生歸納小結，教師評價。關注學生學習的主動性，培養(yǎng)學生的合作意識，培養(yǎng)學生表達交流數學的能力。自主小結的形式將課堂還給學生，既是對一節(jié)課的簡單回顧與梳理，也是對所學內容的再次鞏固。以同桌之間一人小結一人傾聽的方式，以四人為一小組進行小組