理論力學(xué)6—桁架、摩擦、重心課件

1、第六章桁架、摩擦、重心 6.1 桁架桁架結(jié)構(gòu)6.1桁架桁架是由若干直桿在兩端通過焊接、鉚接所構(gòu)成的幾何形狀不變的工程承載結(jié)構(gòu)。桁架中各桿軸線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。 優(yōu)點(diǎn)：能夠充分發(fā)揮一般鋼材抗拉、壓性能強(qiáng)的優(yōu)勢，具有用料省、自重輕、承載能力強(qiáng)、裝配拆卸方便等優(yōu)點(diǎn)。房屋建筑、起重機(jī)架、高壓線塔、油田井架以及鐵路橋梁等，多采用這種結(jié)構(gòu)。焊接螺栓連接鉚接6.1 桁架各桿件軸線不在同一平面內(nèi)的桁架，稱為空間桁架。各桿件軸線都在同一平面內(nèi)的桁架，稱為平面桁架。一、如何進(jìn)行平面桁架內(nèi)力計(jì)算？力學(xué)模型力學(xué)特性分析計(jì)算6.1 桁架2.2.桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接。桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接。4.4.各桿件自重

2、不計(jì)或平均分布在節(jié)點(diǎn)上。各桿件自重不計(jì)或平均分布在節(jié)點(diǎn)上。桁架中每根桿件均為二力桿桁架中每根桿件均為二力桿考慮如下幾點(diǎn)假設(shè)：考慮如下幾點(diǎn)假設(shè)：理想桁架理想桁架二、建立平面桁架力學(xué)模型 力學(xué)模型力學(xué)特性分析計(jì)算1.1.各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)。各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)。3.3.載荷作用在節(jié)點(diǎn)上且位于桁架幾何平面內(nèi)。載荷作用在節(jié)點(diǎn)上且位于桁架幾何平面內(nèi)。6.1桁架 桿件號(hào)桿件號(hào)12345理想桁架模型理想桁架模型3000-4242.642000-40000實(shí)際桁架模型實(shí)際桁架模型1實(shí)際桁架模型實(shí)際桁架模型2不同力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比假設(shè)假設(shè)2 2：桁架中桿件間均用光滑鉸鏈連接。

3、：桁架中桿件間均用光滑鉸鏈連接。假設(shè)假設(shè)3 3：載荷作用在節(jié)點(diǎn)上。：載荷作用在節(jié)點(diǎn)上。2991.52 -4229.49 1988.01 -3991.11 13.6393040.57 -4319.12 1961.86 -4219.15 40.5896.1 桁架由三根桿與三個(gè)節(jié)點(diǎn)組成一個(gè)基本三角形，再附加桿件形成更多的三角形，則所構(gòu)成的桁架稱為簡單桁架 總桿數(shù)mn總節(jié)點(diǎn)數(shù)32 nm平面簡單桁架（平面靜定桁架）三、簡單理想桁架的內(nèi)力計(jì)算 6.1 桁架 對(duì)于簡單理想桁架，各桿所傳遞的力均可通過力系的平衡方程來計(jì)算。 節(jié)點(diǎn)法 應(yīng)用平面匯交力系平衡條件，逐一研究桁架上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡。截面法 應(yīng)用平面任意力

4、系的平衡條件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。 無論采用哪種方法，往往都應(yīng)先求支座的約束反力。 應(yīng)注意正確選取節(jié)點(diǎn)的順序（截面），使未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目相等，避免求解聯(lián)立方程，簡化計(jì)算過程。 為了便于用計(jì)算結(jié)果的正、負(fù)來判斷各桿的受力特性，一般在分析各桿受力時(shí)，先假定各桿受拉。注 意三、簡單理想桁架的內(nèi)力計(jì)算 6.1 桁架已知已知: :平面桁架節(jié)點(diǎn)E處受載荷P，各桿長度均為l；求求: : 1、2、3桿受力。解解: :取整體,求支座約束力由平面力系平衡條件列平衡方程 0 xF0AxF0BM032AylFlPPFAy32節(jié)點(diǎn)法 依次取節(jié)點(diǎn)A，C，E為研究對(duì)象 對(duì)節(jié)點(diǎn)A由平面匯交力系平衡條件

5、列平衡方程 060sin0ACAyyFFF，060cos0ACAExFFF，得 PFPFFAEAyAC39239460sin例例1 16.1 桁架對(duì)節(jié)點(diǎn)C由平面匯交力系平衡條件列平衡方程 030cos30cos, 0CECAyFFF, 0 xFPFPFCE1394394對(duì)節(jié)點(diǎn)E由平面匯交力系平衡條件列平衡方程 PFFF2ECy60sin60sin0，060cos60cos023ECEAxFFFFF，PFPF3233392060cos60cosCACE1FFF 依次取各節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象并畫出相應(yīng)的受力圖；應(yīng)用相應(yīng)的匯交力系的平衡條件列平衡方程求出各桿件的未知力。 節(jié)點(diǎn)法求解要點(diǎn)6.1 桁架 0EM

6、0130cos10Ay1FF0yF 060cos0231FFF用截面m-n分桁架為兩部分，取桁架左邊部分截面法 0 xF060sin0PFF2Ay)(394壓PF1（拉）PF2392（拉）PF333 假想用一截面截取出桁架的某一部分作為研究對(duì)象，此時(shí)被截桿件的內(nèi)力作為研究對(duì)象的外力，可應(yīng)用一般力系的平衡條件列平衡方程求出被截桿件的未知內(nèi)力。 截面法求解要點(diǎn) 摩擦的類別：摩擦的類別：干摩擦固體對(duì)固體的摩擦。流體摩擦流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力?；瑒?dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢引起的摩擦。滾動(dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滾動(dòng)或有相對(duì)滾動(dòng)趨勢引起的摩擦。6.2摩擦 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體

7、具有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。若僅有滑動(dòng)趨勢而沒有滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。6.2 摩擦在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力FN的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當(dāng)拉力F由零值逐漸增加但不很大時(shí)，物體仍保持靜止?？梢娭С忻鎸?duì)物體除法向約束反力FN外，還有一個(gè)阻礙物體

8、沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。6.2.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFNPFSF6.2 摩擦靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質(zhì)。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力F的增大而無限度地增大。當(dāng)力F的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，物塊處于將要滑動(dòng)、但尚未開始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)，只要力F再增大一點(diǎn)，物塊即開始滑動(dòng)。當(dāng)物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。這就是靜

9、摩擦力的特點(diǎn)；6.2.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFSF0:0 xSSFFFFF6.2 摩擦max0sFF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即 由實(shí)驗(yàn)證明：最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：maxsNFf F這就是靜滑動(dòng)摩擦定律。式中fs稱為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)。6.6.2靜摩擦定律（庫侖摩擦定律）靜摩擦系數(shù)的大小需由實(shí)驗(yàn)測定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無關(guān)。6.2 摩擦1 摩擦角 當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)平衡物體的反力包含法向反力FN和切向摩擦力Fs ,這兩個(gè)力的合力稱為支承

10、面的全約束反力，即FR= FN + Fs ，它與支承面間的夾角j將隨主動(dòng)力的變化而變化，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，j角達(dá)到一最大值jf。全約束力與法線間的夾角的最大值j f稱為摩擦角。6.2.2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象FNFsFRjFNFmaxFRjjf6.2 摩擦由圖可知，角jf與靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)f的關(guān)系為：maxsNfsNNtanFf FfFFj即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)?？梢?，摩擦角與摩擦系數(shù)一樣，都是表示材料的表面性質(zhì)的量。當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線將畫出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系

11、數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。FNFmaxFRjjf6.2 摩擦6.2 摩擦 2 自鎖現(xiàn)象物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束反力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過最大值，因此全約束反力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束反力必在摩擦角之內(nèi)。f0jjFNFmaxFRjjf6.2 摩擦qjfjfjfFRFRAAj (1)如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內(nèi)，則無論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力FR與法線間的夾

12、角q jf，因此， FR和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且q j j f，而j j f ，支承面的全約束反力FRA和主動(dòng)力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。6.2 摩擦斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當(dāng)物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是faj2 自鎖現(xiàn)象6.2 摩擦6.2.3 考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦?xí)r，求解物體平衡問題的步驟與前幾章

13、所述大致相同，但有如下的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)分析物體受力時(shí)，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數(shù)目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補(bǔ)充方程，即Fs fsFN，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同；(3)由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即0FsfsFN)，所以有摩擦?xí)r平衡問題的解亦有一定的范圍，而不是一個(gè)確定的值。工程中有不少問題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時(shí)靜摩擦力等于其最大值，補(bǔ)充方程只取等號(hào)。有時(shí)為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。6.2 摩擦 解解:1)物塊在自重作用下即將下滑，受力圖為：物塊在自重作用下即將下滑，受力圖為： 建

14、立如圖坐標(biāo)系，列平衡方程有建立如圖坐標(biāo)系，列平衡方程有 xyFN0 xF0sin1apF0yF0cos1apNNfF 解得解得ffarctantan11或aa 這個(gè)角度這個(gè)角度 稱為靜摩擦角稱為靜摩擦角1a1a例例1 將重為將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾的物塊放在斜面上，斜面傾角角 ，已知靜摩擦系數(shù)為，已知靜摩擦系數(shù)為 f ,問問1)斜面的傾角斜面的傾角 增到多少時(shí)物塊將下滑？增到多少時(shí)物塊將下滑？2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)若加一水平力時(shí)若加一水平力 使物塊平衡，使物塊平衡，求力求力 的范圍。的范圍。aQQ1aaa6.2 摩擦 aPQ2)物塊上加一水平力如圖物塊上加一水平力如圖 以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處

15、于向下以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。圖坐標(biāo)。minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minaaPFQX0cossin:01minaaPNQY1max1fNF聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQaaaasincoscossinmin6.2 摩擦PxymaxQmax2F2N 當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。0sincos:0max2maxaaPFQX0cossin:02maxaaPNQY2max2fNF聯(lián)立求解得：聯(lián)

16、立求解得：PffQaaaasincoscossinmax故力故力 應(yīng)滿足的條件為：應(yīng)滿足的條件為：QPffQPffaaaaaaaasincoscossinsincoscossin6.2 摩擦6.3.16.3重心的概念及其坐標(biāo)公式重心的概念及其坐標(biāo)公式 重心 重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無數(shù)的重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其這力系的合

17、力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過一個(gè)確定的點(diǎn)，重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心物體的重心。CPxyzCxCyCziP),(iiiizyxMixiyizO如圖，由合力矩定理（對(duì)軸如圖，由合力矩定理（對(duì)軸oy和軸和軸ox取矩）：取矩）：PxPxCPyPyC 將坐標(biāo)繞將坐標(biāo)繞y軸轉(zhuǎn)過軸轉(zhuǎn)過 ，由合力矩，由合力矩定理：定理：90PzPzC6.3.1重心 由以上三式可得物體由以上三式可得物體重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式為：為：PPzzPPyyPPxxCCC, 對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均

18、質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：坐標(biāo)分別為： VVzzVVyyVVxxCCC,SSzzSSyySSxxCCC,llzzllyyllxxCCC,6.3重心的概念及其坐標(biāo)公式重心的概念及其坐標(biāo)公式形心:平面圖形的中心.(均質(zhì)等厚的板很薄,薄到厚度可以忽略不計(jì)時(shí),板的重心)當(dāng)平面圖形的外邊緣為光滑連續(xù)曲線時(shí),變?yōu)椤＜矗簒c= sdx/S yC= sdx/S二、實(shí)驗(yàn)法1、懸掛法：（用于小型物體）將物體懸掛，如圖，由二力平衡知AB直線。換另一懸掛點(diǎn)得DE直線，則AB、DE的交點(diǎn)C即為重心。ABABDEC6.3重心的概念及其坐標(biāo)公式重心的概念及其坐標(biāo)公式2、稱重法（用于大型、復(fù)雜的物體）已知物體的重力G，稱與固定的距離L，物體放置稱上時(shí)，指針讀數(shù)F，由合力矩定理可求重心到定點(diǎn)的距離。OCAxLFGMo=0 Gx=FL6.3重心的概念及其坐標(biāo)公式重心的概念及其坐標(biāo)公式6.3重心 求圖示均質(zhì)板重心的位置。 解一：（組合法）建立如圖坐標(biāo)：aaxyaaO1C2CaaaaaaAAxAxAxC65221222122