南開大學高等數(shù)學15不定積分ppt課件

1、第一章 微積分1.5 不定積分 上頁 下頁 返回 結(jié)束 主要教學內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式表不定積分的線性運算換元法分部積分法積分表的使用2.5 不定積分 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5.1 2.5.1 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分1. 1. 基本概念基本概念2. 2. 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義3. 3. 積分與微分的關(guān)系積分與微分的關(guān)系2.5 不定積分 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.基本概念 在小學和中學我們學過逆運算， 例如：加法的逆運算是減法; 乘法的逆運算是除法; 指數(shù)的逆運算是對數(shù)等。 2.5 不定積分微分是否有逆運算？若有微分是否有逆運算？若有, 是什么

2、？是什么？ 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分法：微分法： 互逆運算互逆運算 積分法積分法: :2.5 不定積分( )?(?)( )fxf x 微分有逆運算，不定積分是微分的逆運算！微分有逆運算，不定積分是微分的逆運算！ 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 1 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,若存在函數(shù)若存在函數(shù) 使得使得則稱則稱 為為 在在 內(nèi)的一個原函數(shù)。（原函數(shù)是整體性內(nèi)的一個原函數(shù)。（原函數(shù)是整體性質(zhì)）質(zhì)） （導函數(shù)也是（導函數(shù)也是整體性質(zhì)；導數(shù)？）整體性質(zhì)；導數(shù)？） 1. 1.什么條件下函數(shù)什么條件下函數(shù) 存在原函數(shù)？存在原函數(shù)？ 2. 2.假設(shè)假設(shè) 有原函數(shù)，共有多少？有原函數(shù)

3、，共有多少？ 3. 3. 的任意兩個原函數(shù)之間有何關(guān)系？的任意兩個原函數(shù)之間有何關(guān)系？ 2.5 不定積分( )( , )f xa b( )F x( )( ),( , )F xf xxa b( )F x( )( , )f xa b( )f x( )f x( )f x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明：1. 1. 原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。 2. 2. 假設(shè)假設(shè) ，則對任意常，則對任意常數(shù)數(shù) ， 都是都是 的原函數(shù)。的原函數(shù)。 例如：例如： 說明說明 是是 的一個原函的一個原函 數(shù)數(shù), , 而對任意常數(shù)而對任意常數(shù) 都都有有 ，因而，因而 的原函

4、數(shù)不惟一，有無窮多個。的原函數(shù)不惟一，有無窮多個。 3. 3. 設(shè)設(shè) 都為都為 的原函數(shù)，的原函數(shù)，那么那么 。2.5 不定積分( )( )F xf xC( )F xC( )f xsinxcosxC(sin )cosxx(sin)cosxCxcosx( ),( )F xG x( )f x( )( )F xG xC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分( )( )( )f xf x dxxF xC( )F x( )f x( )f x( )F xC( )f x定義定義2 2 假設(shè)假設(shè)為為的一個原函數(shù)，那的一個原函數(shù)，那么么的所有原函數(shù)的所有原函數(shù)稱為稱為的不定積分，記為的不定積分，記為積分號積

5、分號被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量一個原函數(shù)一個原函數(shù)任意常數(shù)任意常數(shù)符符號號說說明明 ( )( )f x dxF xC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分C1( )f xx( ).f x dx110(ln ),ln110ln(),ln()1ln |xxdxxCxxxxdxxCxxdxxCx時，；時，因此.2( )3f xx( ).f x dx3( ).f x dxxC例例1 1 知知 ，求，求 計算不定積分時，只需找到一個原函數(shù)，再加任意常數(shù)計算不定積分時，只需找到一個原函數(shù)，再加任意常數(shù) 即可。即可。檢驗不定積分運算是否正確，只需求導驗證。檢驗不定積分運算是否正

6、確，只需求導驗證。例例2 2 知知 ，求，求 解：解： 解：解： 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分( )F x( )f x( )F x( )f x一個原函數(shù)對應(yīng)于一條積分曲線一個原函數(shù)對應(yīng)于一條積分曲線不定積分則對應(yīng)于積分曲線簇不定積分則對應(yīng)于積分曲線簇無數(shù)條積分曲線無數(shù)條積分曲線被積函數(shù)對應(yīng)于積分曲線在各點的切線斜率被積函數(shù)對應(yīng)于積分曲線在各點的切線斜率 同一橫坐標處，切線同一橫坐標處，切線平行平行2.不定積分的幾何意義 假設(shè) 為 的一個原函數(shù)，則稱 的圖像為 的 一條積分曲線。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分2x( )yF xx(1,2)( )2Fxx2( )2F xxd

7、 xxC(1,2)2211, 1.CCyx 將將 代入上式代入上式, ,例例3 3 已知曲線已知曲線 在任意一點在任意一點 處的切線斜率為處的切線斜率為 ，且，且曲線通過點曲線通過點 , ,求曲線方程。求曲線方程。解：依題意解：依題意 因而因而這樣的曲線這樣的曲線 有無窮多條，有無窮多條，而其中通過而其中通過 的曲線只有一條，的曲線只有一條，(1,2)因此得因此得故通過故通過 的曲線方程為的曲線方程為 y21yx21yxC22yxC23yxC0 x(1,2)2yxC(1,2) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分arcsinarccos.2xx2.1d xx例例4 4 求求221(arcs

8、in ),arcsin,11d xxxCxx221( arccos ),arccos.11d xxxCxx 解：解：而而這是因為這是因為不定積分答案形式不惟一，但本質(zhì)是一樣的不定積分答案形式不惟一，但本質(zhì)是一樣的! ! 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14 （2關(guān)于“不定積分與“原函數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別 的原函數(shù)，是 求導以前“原來的函數(shù)”；而 的不定積分，是 的“全部原函數(shù)”，它可以表示為“ 的一個原函數(shù)加任意常數(shù)C的形式。)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf15 為了讓文科學生形象地理解“ 的原函數(shù)的概念，我們用“填空的方式來說明“原來的函數(shù)的含義： 的括號中需要填的，就是 的原函數(shù) 。)(xfxc

9、os)(xcosxsin16 的不定積分，是一個集合，是 的“全部原函數(shù)的集合，它的表現(xiàn)形式是“ +C, C 是任意常數(shù)”，其中 是 的任意一個原函數(shù)。既然 是 的“任意一個原函數(shù)，所以解答的表現(xiàn)“形式”，某人可能與別人不一樣，但也許都是正確的；因為雖然其中的“一個原函數(shù)兩人選得不同，可是加上任意常數(shù)C以后，表達的“ 的全部原函數(shù)的集合就完全一樣了；并且，兩人選得不同的“一個原函數(shù)”，其間也僅僅相差某一個常數(shù)。 )(xf)(xf)(xF)(xF)(xf)(xf)(xf)(xF17 這里體現(xiàn)了“形式與本質(zhì)的矛盾統(tǒng)一，并且通過“加常數(shù)C的途徑發(fā)生轉(zhuǎn)化。 有些文科學生對此理解有困難，我們就用具體的例

10、子來說明上面一般的道理，還配以多媒體演示，效果較好。18 例：例： 這是因為這是因為 。 Cxxdxarcsin12)(arcsin x211x19但但 ，因而我們又有因而我們又有 。2211)arccos(11)(arccosxxxxCxxdxarccos1220 此例表明，不定積分的答案“形式往往不止一個；現(xiàn)在由于 與 都是 的原函數(shù)，所以兩個答案都是正確的。又由于 ，于是 ，兩人選擇的不同原函數(shù)之間僅僅相差一個常數(shù) 。 xarcsinxarccos211x2/arccosarcsinxx2/arcsinarccosxx2/21 再請看這兩個原函數(shù) 與 的圖象，就更加清楚了。xyarcsi

11、nxyarccos22這兩個原函數(shù)的圖像可以通過這兩個原函數(shù)的圖像可以通過“上下平上下平移移 ”互變互變,表明這兩個函數(shù)在任一點的表明這兩個函數(shù)在任一點的函數(shù)值都只相差一個常數(shù)函數(shù)值都只相差一個常數(shù) 。1.00.50.5x1.51.00.50.51.0y01.00.50.5x3211y0 xyarccosxyarcsin2/2/23 然后啟發(fā)學生想象：“ 的全部原函數(shù) ”的圖像應(yīng)該是什么樣子的？并請學生舉手表述，把思維轉(zhuǎn)化為語言。211x24 這樣講授，可以讓學生的形象思維與邏輯思維相輔相成，產(chǎn)生很好的教學效果。許多學生這時會積極地動腦動手，課堂氣氛相當活躍。教師因勢利導，逐步展示出下面的圖形

12、。251.00.50.5x3211y0的圖形數(shù)上圖中的曲線分別為函5 . 0arccosarccos1arcsin5 . 0arcsinarcsin5 . 0arcsinxyxyxyxyxyxy261.00.50.5x1.51.00.50.51.0y01.00.50.5x3211y0 xyarccosxyarcsin1.00.50.5x3211y0的圖形數(shù)上圖中的曲線分別為函5 . 0arccosarccos1arcsin5 . 0arcsinarcsin5 . 0arcsinxyxyxyxyxyxy27 學生由此恍然大悟：不定積分 的答案，原來是“一簇函數(shù)，是包含無窮多函數(shù)的一個集合。 這樣

13、，學生不但對“全部原函數(shù)的概念具體化了，而且對該概念中“形式與本質(zhì)的矛盾統(tǒng)一，以及對于它們?nèi)绾瓮ㄟ^“加常數(shù)C的途徑發(fā)生轉(zhuǎn)化，理解得更加深刻了，全面了。21xdx 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分ln ln(), xxab baa b baa b baa b baexex ，3.積分與微分的關(guān)系 以前接觸的運算，先做運算再做逆運算相當于沒有變 化，例如：不定積分是微分的逆運算，對函數(shù)進行先微分再不定積分是微分的逆運算，對函數(shù)進行先微分再積分的運算和先積分再微分的運算，函數(shù)是否也積分的運算和先積分再微分的運算，函數(shù)是否也沒有變化？沒有變化？ 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè) 為為 的一個原函數(shù)

14、，的一個原函數(shù)，2.5 不定積分( )F x( )f x( )( )( )( )( )( )F xdF xdF xF x dxf x dxF xC微分積分( )( ( )( )df x dxd F xCf x dx先微分再積分先微分再積分先積分再微分先積分再微分 結(jié)論：結(jié)論：( )( ), ( )( ).Fx dxF xCf x dxf x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分2.5.2 2.5.2 基本積分公式表基本積分公式表 由于微分與積分是互逆運算，因而利用導數(shù)公式由于微分與積分是互逆運算，因而利用導數(shù)公式 即可求出基本初等函數(shù)的不定積分公式。即可求出基本初等函數(shù)的不定積分公式。 上

15、頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分 11. 04.(0,1)ln12.ln| |5.3.(1,0)6. cossin1xxxxmmadx Ca dxCaaadxxCe dx eCxxx dxC mxxdxx Cm 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分 22227. sincos11. csc cotcsc18. sectan12.arcsin119. csccot13.arctan110. sec tansecxdxxCxxdxxCxdxxCdxxCxxdxxCdxxCxxxdxxC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分3.d xxx例例5 5 求求解：原式解：原式41413333

16、.413xxdxCxC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分2.5.3 2.5.3 不定積分的線性運算不定積分的線性運算 對比求導運算中的公式對比求導運算中的公式不定積分也有類似運算不定積分也有類似運算(),().fgfgk fk f(),.fg d xf d xgd xk f d xkf d x 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分221(35cos).xxxd xxx例例6 6 求求23222135cos3225sin2.23xd xxd xd xx d xd xxxxxxxCx解：原式解：原式注：本題化為五個積分，應(yīng)出現(xiàn)五個任意常數(shù)，但由其任注：本題化為五個積分，應(yīng)出現(xiàn)五個任意常

17、數(shù)，但由其任意性，可寫成一個任意常數(shù)。意性，可寫成一個任意常數(shù)。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分42.1xd xx例例7 7 求求解：原式解：原式422223221 1(1)(1)1111(1)arctan.13xxxd xd xxxxxd xd xxxCx 22.(1)d xxx例例8 8 求求解：原式解：原式221111arctanarccot.1d xxCxCxxxx 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分例例9 9 求求3(32).xxxed x解：原式解：原式432.ln34xxxeC例例10 10 求求22cos2.sincosxd xxx解：原式解：原式222222c

18、ossin11sincossincoscottan.xxd xd xxxxxxxC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分sincos?xexd x利用前幾節(jié)學過的知識無法解決上述問題，因此要引入新利用前幾節(jié)學過的知識無法解決上述問題，因此要引入新的方法的方法換元法。換元法。2.5.4 2.5.4 換元法換元法 問題引出：求問題引出：求 （提示：（提示： ） 換元法換元法第一換元法第一換元法 湊微分法湊微分法第二換元法第二換元法cossinxd xdx 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分1.第一換元法 湊微分法 形如形如( ( )( ).fxx d x( )( ( )( )( ( )(

19、 )( )( )( ( ).uxfxx d xfx dxf u duF uCFxC令注：注：1.1.驗證。驗證。 2. 2.不要忘記將不要忘記將 換回！換回！( )ux適用情況：適用情況：具體方法：具體方法： 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分sincos.xexd x例例11 11 求求解：原式解：原式sinsinsinsin.uxxuuxedxe dueCeC令 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分sin 2.xd x例例12 12 求求此題可用兩種方法求解。此題可用兩種方法求解。方法一：（直接用第一換元法）方法一：（直接用第一換元法）原式原式2111sin 22sin 22si

20、n22211coscos2.22uxxd xx d xu duuCxC 令 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分方法二：（利用三角函數(shù)倍角公式）方法二：（利用三角函數(shù)倍角公式）原式原式sin222sincos2 sinsin2sin.uxxxd xx dxu duuCxC令發(fā)現(xiàn)：兩種方法得出答案形式上不一樣，但本質(zhì)一樣，你可發(fā)現(xiàn)：兩種方法得出答案形式上不一樣，但本質(zhì)一樣，你可 算算看！算算看！ 又是又是“形式與實質(zhì)的矛盾統(tǒng)一形式與實質(zhì)的矛盾統(tǒng)一”！ 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分(), (1,0).maxbd xma 例例13 13 求求解：原式解：原式1111()()111()

21、.1(1)axbmmmmaxbd axbuduaauCaxbCama m令u=熟練掌握熟練掌握“湊微分法湊微分法后后,中間換元的步驟可以省略。中間換元的步驟可以省略。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分tan.xd x例例14 14 求求解：原式解：原式sincosln |cos|.coscosxdxd xxCxx 22(0).d xaxa例例15 15 求求解：原式解：原式211arctan.( )1xdxaCxaaaa 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分22(0).d xaxa例例16 16 求求解：原式解：原式111()()()211(ln |ln |)(ln |).22d

22、xd xxaxaaxaxaxaxaxaCCaaxa22. (0)d xaax例例17 17 求求解：原式解：原式2arcsin.1( )d xxCaxaa 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分sec.xd x例例18 18 求求解：原式解：原式22221cossincoscos1 sin111() sin21 sin1 sin1 ln |1 sin|ln |1 sin|211 sin1(1 sin )ln |ln21 sin2cos1 sinln |ln |sectan|.cosxdxd xd xxxxdxxxxxCxxCCxxxCxxCx 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分.(1)

23、dxxx例例19 19 求求解：原式解：原式(1)2(1)2ln(1).dxxxC1,1d xx但是若遇到這樣的題：但是若遇到這樣的題：我們無法應(yīng)用上述方法，我們無法應(yīng)用上述方法，需要引入第二換元法。需要引入第二換元法。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分2.第二換元法1( )( )1( )( ( )( )( )( ).ttxf x d xftdtF tCFxC令x被積函數(shù)中含有被積函數(shù)中含有222222,xxaxaax(0).a 具體方法：具體方法：適用情況：適用情況： 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分1.1d xx例例20 20 求求解：原式解：原式21122 11112(l

24、n |1|)2(ln |1|).x ttdtdtdttttttCxxC令 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分221(0).d xaxa例例21 21 求求解：做后，介紹一種直觀的圖解法，解：做后，介紹一種直觀的圖解法，作一個直角三角形，其中一銳角為作一個直角三角形，其中一銳角為三邊為三邊為22, ,.a xxa22tan, cos.xaattax22tan ,cosaxaat xt將將 代入原式有代入原式有222222111ln |sectan |tancoscosln |ln |.ad xddtttCatttxaxxaCxxaCaa由圖可見，由圖可見，, t t22xaax, t 上頁

25、 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分221(0).d xaxa例例22 22 求求解：做后，解：做后，由圖可見由圖可見22tan, cos.xattaxa原式原式22cos1tancosln |sectan |ln |.tdatdtatttCxxaC綜上，綜上，22221ln |.d xxxaCxa t22xaax 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分例例23 23 求求解：做后，解：做后，由圖可見由圖可見原式原式22(0).ax d xa22sin, cos.xaxttaa22222222cossincos1cos2sin 2224arcsin.22atdatatdttaaadtttCa

26、xxaxCa t22axax 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分2.5.5 2.5.5 分部積分法分部積分法有連續(xù)導數(shù)，當有連續(xù)導數(shù)，當 不易計算，不易計算， ( ),( )u xv x( )( )u x dv x而而 比較容易計算時。比較容易計算時。( )( )v x du x( )( )( ) ( )( )( ).u x dv xu x v xv x du x適用情況：適用情況：具體方法：具體方法：這就是這就是分部積分公式分部積分公式 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分.udvuvvdu( ), ( )u xv x設(shè)設(shè) 具有連續(xù)導數(shù)，那么具有連續(xù)導數(shù)，那么(),u vu vuv

27、() ,uvu vu v即即 兩邊同時取積分，得到分部積分公式兩邊同時取積分，得到分部積分公式 分部積分公式關(guān)鍵是選擇適當?shù)姆植糠e分公式關(guān)鍵是選擇適當?shù)?和和 。一般地，按照。一般地，按照指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反函數(shù)的優(yōu)先指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反函數(shù)的優(yōu)先順序選擇順序選擇 。uvv 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分.xxe d x例例24 24 求求解：解：.xxxxxxxe d xx dexee d xxeeCcos.xxd x例例25 25 求求解：解：cossinsinsinsincos.xxd xx dxxxx d xxxxC假設(shè)假設(shè) 選擇不當會使積分變得更復(fù)雜，你可試試！選擇不當會使積分變得更復(fù)雜，你可試試！v 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分cos.xexd x例例26 26 求求解：解：coscoscoscoscossincossincossincos.xxxxxxxxxxxexd xxdexee dxxeexd xxexdexexeexd x由此可推出由此可推出cos(cossin ).2xxeexd xxxC 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.5 不定積分3ln.xxd x例例27 27 求求解：解：3444443411lnln(lnln )4411(ln)(ln).444xxd xxd xx