不定積分-分部ppt課件

1、第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv )(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計(jì)算 .:)d(的原則或及選取vvu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 分部積分法 第四章 例例1. 求求.dcosxxx解解: 令令,xu ,cosxv 那么, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin考慮考慮: 如何求如何求?dsin2xxx提示提示: 令令,2xu ,sin xv 那么原式xx cos2xxxdcos2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 求求.dlnxxx解解: 令令,

2、ln xu xv 那么,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 求求.darctanxxx解解: 令令,arctan xu xv 那么,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求求.dsinxxex解解: 令令,sin xu xev , 那么,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 那么,sin xu

3、xev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21說明說明: 也可設(shè)也可設(shè)veux,為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型必須一致 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解題技巧解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對(duì)冪指三” 的順序, 前者為 后者為u.v例例5. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu 1 v, 那么,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 反: 反三角函數(shù)對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù)

4、冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù)例例6. 求求.dcoscosln2xxx解解: 令令,coslnxu xv2cos1, 那么,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxxtan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 求求.dxex解解: 令令, tx那么,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 令例例8. 求求. )0(d22axax解解: 令令,22axu, 1 v那么,22axxuxv 22ax

5、xxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9. 求求.)(d22nnaxxI解解: 令令,)(122naxu, 1 v那么,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得遞推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:遞推公式nnaxxI)(d22知CaxaIa

6、rctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例10. 證明遞推公式證明遞推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn證證:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:分部積分題目的類型:1

7、) 直接分部化簡(jiǎn)積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ;(注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C )3) 對(duì)含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 .例4 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例11. 知知)(xf的一個(gè)原函數(shù)是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2說明說明: 此題若先求出此題若先求出)(xf 再求積分反而復(fù)雜.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例例12. 求求.d xI23)1

8、 (2x解法解法1 先換元后分部先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 那么teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部積分法用分部積分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xexa

9、rctan211xd 23)1 (2xxexarctanvu內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式xvuvuxvudd1. 使用原則 :xvuvd易求出,易積分2. 使用經(jīng)驗(yàn) : “反對(duì)冪指三” , 前 u 后v3. 題目類型 :分部化簡(jiǎn) ;循環(huán)解出;遞推公式4. 計(jì)算格式 :vu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例13. 求求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 那么texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部積分機(jī)

10、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 uexexuudd,例例14. 求求.d)(ln43xxx解解: 令令那么原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsinc

11、osxxxxxx得 0 = 1答答: 不定積分是原函數(shù)族不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 .xxsinsindCx sinln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 求求xbxaeIxkd)cos(提示提示:)cos(bxa )sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè) P210 4 , 5 , 9 , 14 , 18 , 20 , 21 , 22第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 備用題備用題.求不定積分解：解：.d1xexexx方法1(先分部 , 再換元)xexexxd1) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xexxexd12令, 1xeu那么uuuxd12d2uuud122212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414