第二十六章 反比例函數(shù)課件

1、第二十六章 反比例函數(shù)本章共安排了2小節(jié)，教學時間約需8課時，大體分配如下（僅供參考）。26.1反比例函數(shù) 3課時26.2實際問題與反比例函數(shù) 4課時數(shù)學活動小結 1課時一、本章內(nèi)容和學習目標（一）本章知識結構框圖（二）本章內(nèi)容 本章的主要內(nèi)容是反比例函數(shù)，從幾個學生熟悉的實際問題出發(fā)，引進反比例函數(shù)的概念，使學生逐步從對具體函數(shù)的感性認識上升到對抽象的反比例函數(shù)概念的理性認識。第26.1節(jié)的內(nèi)容是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象分布在兩個象限，當k0時，圖象分布在一、三象限，隨的增大（減小）而減?。ㄔ龃螅划敃r，圖象分布在二、四象限，隨的增大（減小）而增大（減?。?。

2、第26.2節(jié)的內(nèi)容是如何利用反比例函數(shù)解決現(xiàn)實世界的實際問題，以及如何用反比例函數(shù)解釋現(xiàn)實世界中的一些現(xiàn)象。本章主要涉及到如下的4個現(xiàn)實世界中的反比例函數(shù)模型：當圓柱體的體積V一定時，圓柱的底面積是高（深度）的反比例函數(shù)：；當工程總量一定時，做工時間是做工速度的反比例函數(shù)：；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數(shù)：；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù)：。（三）學習目標1使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；2能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進一步理解函數(shù)

3、的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點；3能根據(jù)圖象數(shù)形結合地分析并掌握反比例函數(shù)的函數(shù)關系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡單的實際問題；4探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關系，在解決實際問題的過程中，進一步體會和認識反比例函數(shù)這種刻畫現(xiàn)實世界中特定數(shù)量關系的數(shù)學模型；5使學生在學習一次函數(shù)之后，進一步理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進一步認識數(shù)形結合的思想方法。二、本章教學建議 （一）突出反比例函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系從日常生活、參加生產(chǎn)和進一步學習的需要看，關于（反比例）函數(shù)的知識是非常重要的。例如，在討論社會問題，經(jīng)濟問題時，越來越多地運用數(shù)學思

4、想、方法，函數(shù)的內(nèi)容在其中占有相當?shù)牡匚弧Ｔ诟咧袑⒏?、更深入地學習、研究函數(shù)。反比例函數(shù)是一種反映現(xiàn)實世界特定數(shù)量關系的數(shù)學模型，為了突出反比例函數(shù)與現(xiàn)實世界有著密切的聯(lián)系，對本章內(nèi)容的安排采取了如下的步驟：本章引用了大量的現(xiàn)實世界中的實際問題，尤其是專門安排一節(jié)來說明反比例函數(shù)的實際應用，一方面說明在現(xiàn)實世界反比例函數(shù)大量存在，另一方面說明如何用反比例函數(shù)的知識分析和解決實際問題。本章的“閱讀與思考”欄目提供了大量的，學生身邊的反比例函數(shù)的例子，可以使學生進一步體驗函數(shù)的重要性，提高靈活地分析解決問題的能力。（二）注重數(shù)學思想的滲透從數(shù)學自身的發(fā)展過程看，正是由于變量與函數(shù)概念的引入，標志

5、著初等數(shù)學向高等數(shù)學邁進，盡管本章講述的反比例函數(shù)僅是一種最基本、最初步的函數(shù)，但其中蘊涵的數(shù)學思想和方法，對學生觀察問題、研究問題和解決問題都是十分有益的。我們知道函數(shù)的定義不是唯一的，從不同的理解角度出發(fā)可以給出函數(shù)不同的定義。在“一次函數(shù)”已經(jīng)給出了函數(shù)定義，這個定義突出了數(shù)學中的變化與對應的數(shù)學思想，其內(nèi)涵主要有兩個：首先，兩個變量互相聯(lián)系，一個變量變化時另一個變量也發(fā)生變化；其次，函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。一方面十分注意具體題目的分析及求解過程，另一方面更加注重一些重要的數(shù)學思想，如變化與對應的數(shù)學思想、數(shù)形結合的思想以及轉(zhuǎn)化思想的傳授和

6、滲透。三、本章幾個值得關注的問題（一）注意做好與已學內(nèi)容的銜接在“一次函數(shù)”已經(jīng)給出了函數(shù)的一般概念以及自變量、函數(shù)值等概念，學生對函數(shù)已經(jīng)形成了初步的認識。反比例函數(shù)的教學，一方面要以前面所學的函數(shù)概念及相關知識為基礎，另一方面可以反過來進一步深化對函數(shù)內(nèi)涵的理解和掌握。學習好本章的關鍵是處理好新舊知識的聯(lián)系，盡可能地減少學生接受新知識的困難。例如，在引進反比例函數(shù)概念時，要適時復習函數(shù)、自變量、函數(shù)值、正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等定義或概念，為反比例函數(shù)的學習做好鋪墊。這樣，學生就能夠比較順利地接受和掌握反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)。（二）加強反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對比在復習“一次函數(shù)”內(nèi)

7、容的基礎上，引進本章內(nèi)容。應該有意識地加強反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）之間的對比，對比可以從如下幾方面進行：1兩種函數(shù)的解析式有何相同與不同？兩種函數(shù)的圖象的特征有何區(qū)別？2在常數(shù)相同的情況下，當自變量變化時兩種函數(shù)的函數(shù)值的變化趨勢有什么區(qū)別？3兩種函數(shù)中的取值范圍有何不同？常數(shù)的符號改變對兩種函數(shù)圖象所處象限的影響如何？回答是這樣的：1兩種函數(shù)的解析式的相同點是，自變量只有一個，即，都有一個常數(shù)，且；不同點是自變量在解析式中的位置不同，正比例函數(shù)的解析式的右邊是一個整式，不為0的常數(shù)是自變量的系數(shù)，而反比例函數(shù)的解析式的右邊是一個分式，自變量處在分母的位置，不為0的常數(shù)處

8、在分子的位置。兩種函數(shù)的圖象都分布在兩個象限內(nèi)，這是相同之處；不同點在于正比例函數(shù)的圖象是一條直線，而反比例函數(shù)的圖象是兩支曲線。正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，而反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點。2在常數(shù)k0相同的情況下，當自變量增大（減?。r，正比例函數(shù)的值增大（減小），而反比例函數(shù)的值減?。ㄔ龃螅辉诔?shù)相同的情況下，當自變量增大（減?。r，正比例函數(shù)的減?。ㄔ龃螅?，而反比例函數(shù)的值增大（減?。?。3當常數(shù)的符號改變時，兩類函數(shù)圖象所處的象限都會隨之改變。當k0時，兩類函數(shù)的圖象都分布在一、三象限；當時，兩類函數(shù)的圖象都分布在二、四象限。對于這些問題，不要急于給出答案，應該注意鼓勵學生積極探究，在這樣

9、的氛圍中，學生的數(shù)學思維和興趣會被激發(fā)起來，對所學內(nèi)容的掌握也就更牢固。（三）把突出函數(shù)中蘊涵的重要數(shù)學思想作為本章的主要線索從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，都是函數(shù)的某種具體形式，都是為近一步深刻領會函數(shù)的內(nèi)涵提供了一個平臺。隨著學習的函數(shù)類型的增多，學生對函數(shù)內(nèi)涵的理解也會逐步提高?？梢哉f對函數(shù)內(nèi)涵的理解是一個漸進的過程，需要較長的時間。對于一個具體的反比例函數(shù)來說，它有其自身的獨特性質(zhì)，但其中蘊涵的變化與對應的數(shù)學思想是具有普遍性的。在教學時，尤其要注意在這種數(shù)學思想的滲透方面下功夫。通過對圖象的研究和分析可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，這體現(xiàn)的是數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，數(shù)形結合思想是數(shù)學中最重要的思想

10、之一。而數(shù)形結合的思想早在學習數(shù)軸、平面直角坐標系時就已經(jīng)學習到了。結合本章內(nèi)容可以進一步對數(shù)形結合的思想方法順其自然地理解，并逐步加以靈活運用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢。教學過程中，可以安排較多的通過圖象分析函數(shù)解析式、通過函數(shù)解析式分析圖象的題目，這體現(xiàn)的既是數(shù)形結合思想，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。深刻領會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，突出兩者間的轉(zhuǎn)化對分析解決問題的特殊作用。突出變化與對應的思想、數(shù)形結合思想和轉(zhuǎn)化思想是本章教學的重要任務，充分發(fā)揮教材中“思考”欄目應有的作用，對實現(xiàn)上述任務是大有裨益的。一些具體的數(shù)學知識對學生的影響也許是短暫的，但一些重要的數(shù)學思想方

11、法必將會使學生終身受益。（四）突破知識的難點和重點本章的重點是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，圖象是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具。教材中給出了大量的具體的反比例函數(shù)的例子，用以加深學生對所學知識的理解和融會貫通。本章的難點是對反比例函數(shù)及其圖象和性質(zhì)的理解和掌握，教學時在這方面要投入更多的精力。盡管本章中反比例函數(shù)的內(nèi)容還是比較初級的知識，但是對這些知識的掌握卻是為學習后續(xù)的函數(shù)知識打下基礎。因此，教學中對本章基本知識和基本技能的要求不能有絲毫降低。要適時安排適當難度的習題，以使學生對基礎知識形成深刻的印象、對基本技能達到熟練的程度。四：學法指導與教學反思 26.1 反比例函數(shù) 由于學生是在一

12、次函數(shù)、二次函數(shù)的基礎上學習本節(jié)內(nèi)容，所以建議指導學生用類比歸納法來學習本節(jié)內(nèi)容。同時，從實際問題中抽象出函數(shù)表達式是比較困難的，所以部分內(nèi)容的學習建議引導學生用合作探究法來學習，這樣既能使學生學會知識，又能使他們體會合作與交流的意義。 教學反思：在教學過程中引導學生得出反比例函數(shù)的形式，注意反比例函數(shù)的變形形式，以及反比例函數(shù)三種形式之間的關系和具體的應用。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，本課的教學設計與實施中，通過“描點法”作圖、觀察幾個具體的反比例函數(shù)的圖象、課件演示展示“由動點生成函數(shù)圖象”，很好地反映了“數(shù)”、“形”之間的這種內(nèi)在的聯(lián)系。26.2實際問題與反比例函數(shù)

13、讓學生用數(shù)學的眼光去觀察和分析實際問題,提高對數(shù)學的興趣,增強學好數(shù)學的信心,達到養(yǎng)成創(chuàng)新精神和能力的目的.本節(jié)實際問題的解決過程，實際上就是要求學生作為主體去面對解決的問題，主動去探索、討論,尋找問題解決的途徑,用數(shù)學的方法和技術來處理實際模型,最終得出結論。在學習過程中應注重對學生觀察的目的性、敏銳性和思辨性結合的培養(yǎng) ,優(yōu)化觀察的對象,透過現(xiàn)象看本質(zhì),迅速從繁雜無序問題中捕捉最有價值的信息.此能力是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的關鍵。另外學生還學會與他人分享和合作。教學反思：首先簡單復習反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式、圖像、圖像象限和增減性，其次利用基礎訓練的題目求反比例函數(shù)表達式和圖像及增減性，復

14、習一下代入法和待定系數(shù)法；例題精講，在例題的處理上建議注重了學生解題步驟的培養(yǎng)；同時通過題目難度層次的推進；拓寬了學生的思路。在變式訓練之后，又利用導學案補充了一個綜合性題目的例題；達到在課堂中就能掌握比較大小這類題型。用函數(shù)的觀點處理實際問題的關鍵在于分析實際情境，建立函數(shù)模型，并進一步提出明確的數(shù)學問題，注意分析的過程，即將實際問題置于已有的知識背景之中，用數(shù)學知識重新理解（這是什么？可以看成什么？），讓學生逐步學會用數(shù)學的眼光考察實際問題。同時，在解決問題的過程中，要充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結合的思想。五：易錯點例析1. 利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)關系式.2. 【例1】已知反比例函

15、數(shù)的圖象經(jīng)過點M(2,1).(1)求該函數(shù)的表達式;(2)當2x4時,求y的取值范圍(直接寫出結果).【解析】(1)利用待定系數(shù)法把(2,1)代入反比例函數(shù)y=中可得k的值,進而得到解析式;(2)根據(jù)y=可得x=,再根據(jù)條件2x4可得24,再解不等式即可.【答案】(1) 反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M(2,1). k=21=2,該函數(shù)的表達式為.(2) ,2x0,k=4.【誤區(qū)糾錯】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)的圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.3. 利用數(shù)形結合解決反比例函數(shù)與不等式相關問題.【例3】如圖,一次函數(shù)y1

16、=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象相交于點A(2,5)和點B,與y軸相交于點C(0,7).(1)求這兩個函數(shù)的解析式;(2)當x取何值時,y1y2.【解析】(1)將點C、點A的坐標代入一次函數(shù)解析式可得k,b的值,將點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得m的值,繼而可得兩函數(shù)解析式;(2)尋找滿足使一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下面的x的取值范圍.一次函數(shù)解析式為y=-x+7.將點(2,5)代入反比例函數(shù)解析式,m=10.反比例函數(shù)解析式為.點D的坐標為(5,2),當0x5時,y11或-4x0時,一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值.【誤區(qū)糾錯】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題,用待定系數(shù)法求出

17、一次函數(shù)的解析式,三角形的面積,一次函數(shù)的圖象等知識點,用了數(shù)形結合思想.老師點撥1. 掌握反比例函數(shù)的定義,會判斷反比例函數(shù).2. 會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.3. 會畫反比例函數(shù)的圖象并能說明其性質(zhì).4. 借助函數(shù)思想解決實際問題.提分策略1. 反比例函數(shù)值的大小比較.比較反比例函數(shù)值的大小,在同一個象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較,在不同象限內(nèi),不能按其性質(zhì)比較,函數(shù)值的大小只能根據(jù)特征確定.A. 負數(shù)B. 非正數(shù)C. 正數(shù)D. 不能確定又點(-1,y1)和均位于第二象限,-1-,y1y2.y1-y20)的圖象上,橫坐標為1,過點B分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為A,C,則矩形O

18、ABC的面積為().A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】點B在反比例函數(shù) (x0)的圖象上,過點B分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為A,C,故矩形OABC的面積S=|k|=2.【答案】B3. 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題解法.主要題型:利用k值與圖象的位置關系綜合確定系數(shù)的符號或圖象位置;已知直線與雙曲線表達式求交點坐標;用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達式;應用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例值的大小等.解題時,一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識,并結合圖象分析、解答問題.【例3】如圖,一次函數(shù)y=-x+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點,與x軸交于D點,且C,D兩點關于y

19、軸對稱.(1)求A,B兩點的坐標;(2)求ABC的面積.【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題得到方程組然后解方程組即可得到A,B兩點的坐標;(2)先利用x軸上點的坐標特征確定D點坐標,再利用關于y軸對稱的點的坐標特征得到C點坐標,然后利用SABC=SACD+SBCD進行計算.(3)根據(jù)坐標與線段的轉(zhuǎn)換可得出AC,BD的長,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【答案】(1)根據(jù)題意,得解方程組,得或所以A點坐標為(-1,3),B點坐標為(3,-1).(2)把y=0代入y=-x+2,得-x+2=0,解得x=2,所以D點坐標為(2,0).因為C,D兩點關于y軸對稱,所以C點坐標為(-2

20、,0).所以SABC=SACD+SBCD4. 利用反比例函數(shù)解決實際問題.把實際問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)應用題的關鍵是建立反比例函數(shù)模型,即列出符合題意的反比例函數(shù)解析式,然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)綜合方程(組)、不等式(組)及圖象求解.【例4】實驗數(shù)據(jù)顯示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小時內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時間x(時)的關系可近似地用二次函數(shù)y=-200x2+400x刻畫;1.5小時后(包括1.5小時)y與x可近似地用反比例函數(shù) (k0)刻畫(如圖所示).(1)根據(jù)上述數(shù)學模型計算:喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值?最大值為多少?當x=5時,y=45,求k的值.(2)按

21、國家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數(shù)學模型,假設某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否駕車去上班?請說明理由.【解析】(1)利用y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200確定最大值;直接利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可;(2)求出x=11時,y的值,進而得出能否駕車去上班.【答案】(1)y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,喝酒后1時血液中的酒精含量達到最大值,最大值為200(毫克/百毫升).當x=5時,y=45,y=(k0),k=xy=455=225.(2

22、)不能駕車上班.理由如下晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小時,第二天早上7:00不能駕車去上班.5. 利用反比例函數(shù)與幾何知識相結合解題.在近幾年的中考題目中,常常把幾何知識和反比例函數(shù)相結合在一起,綜合性強,對學生的思維能力要求高.解決此類問題的關鍵是熟悉常見幾何圖形的特征,將幾何圖形的隱含性質(zhì)結合反比例函數(shù)知識挖掘出來.【例5】如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數(shù) (x0)的圖象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x軸,且AB=2,AD=4,點A的坐標為(2,6).(1)直接寫出B,C,D三點的坐標;(2)若將矩形向下平移,矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數(shù)的圖象上,猜想這

23、是哪兩個點,并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式.【解析】先根據(jù)矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)得到B,C,D三點的坐標,再從矩形的平移過程發(fā)現(xiàn)只有A、C兩點能同時在雙曲線上,把A、C兩點坐標代入中,得到關于a,k的方程組,從而求得k的值.【答案】(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).如圖,矩形ABCD平移后得到矩形ABCD,設平移距離為a,則A(2,6-a),C(6,4-a).點A,點C在的圖象上,2(6-a)=6(4-a), 解得a=3.點A(2,3).反比例函數(shù)的解析式為.專項訓練一、 選擇題1. 如圖,已知點(m,y1),(m-3,y2),(m-4,y3)在反比例函數(shù)的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系是().A. y1y2y3B. y2y1y3C. y1y3y2D. y3y2y1(第1題)(第2題)2. 如圖,過x軸正半軸上的任意一點P,作y軸的平行線,分別與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點.若點C是y軸上任意一點,連接AC,BC,則ABC的面積為().A. 3B. 4C. 5D. 103. 如圖,矩形ABOC的面積為3,反比例函數(shù)的圖象過點A,則k的值為().(第3題)A. 3B. -1.5C. -3D. -6二、 填空題4. 如圖,點P1(x1,y1),點P2(x2,y2),點Pn(xn,yn)在函數(shù)