圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

1、.圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用尹建堂一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)源于它的切線和法線的性質(zhì)，因而為正確理解與掌握其光學(xué)性質(zhì)，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質(zhì)。設(shè) P（）為圓錐曲線（A 、B、C 不同時(shí)為零）上一定點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為：。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規(guī)律就是通常所說(shuō)的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。該方程的推導(dǎo)，原則上用“法”求出在點(diǎn)P 處的切線斜率，進(jìn)而用點(diǎn)斜式寫出切線方程，則在點(diǎn)P處的法線方程為。1、拋物線的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)作一條直線平行于拋物線的軸，那么經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)的法線平分這條直線和這一點(diǎn)的焦半徑的夾角。如圖1 中。事實(shí)

2、上，設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，則切線MT 的方程可由替換法則，得，即，斜率為，于是得在點(diǎn)M 處的法線方程為令，得法線與x 軸的交點(diǎn)N 的坐標(biāo)為，.所以又焦半徑所以，從而得即當(dāng)點(diǎn) M 與頂點(diǎn) O 重合時(shí)，法線為x 軸，結(jié)論仍成立。所以過(guò) M 的法線平分這條直線和這一點(diǎn)的焦半徑的夾角。也可以利用點(diǎn)M 處的切線方程求出，則，又故，從而得也可以利用到角公式來(lái)證明拋物線的這個(gè)性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸”。2、橢圓的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)的法線，平分這一點(diǎn)的兩條焦點(diǎn)半徑的夾角。如圖2 中證明也不難，分別求出，然后用到角公式即可獲證。橢圓的這個(gè)性質(zhì)

3、的光學(xué)意義是：“從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上”。3、雙曲線的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線，平分這一點(diǎn)的兩條焦點(diǎn)半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。.這個(gè)性質(zhì)的光學(xué)意義是： “從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是散開(kāi)的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣”。二、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用光學(xué)性質(zhì)在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛地應(yīng)用。這里僅舉例說(shuō)明這些光學(xué)性質(zhì)在解圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用。應(yīng)用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)解題，特別是切線問(wèn)題是十分方便的。其間要注意一個(gè)基本關(guān)系式的應(yīng)用，即“過(guò)投射點(diǎn)的曲線的切線與入射線、反射線成等角”

4、。如圖4，MN 切曲線 C 于點(diǎn) P，則 APM BPN。這是很容易由物理學(xué)的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來(lái)證明的。例 1 求證：橢圓和雙曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直。分析：如圖5，用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)證明1 3 90即可。證明：如圖5，兩曲線的公共焦點(diǎn)，設(shè) P 為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，PQ、PR 分別為橢圓、雙曲線的切線，連，并延長(zhǎng)，由橢圓光學(xué)性質(zhì)，推得12；由雙曲線光學(xué)性質(zhì)，得3 4。.又 2 5， 4 6（對(duì)頂角相等），所以 1 5， 3 6（等量代換）。又 1 3 5 6180，所以 1 3 90，即 PQ PR，命題得證。評(píng)注：（ 1）本題也可采用代數(shù)運(yùn)算證出的方法來(lái)證明

5、，但比較復(fù)雜。這里采用光學(xué)性質(zhì)證明法則直觀簡(jiǎn)捷。（2）由本題得到一個(gè)一般性命題：焦點(diǎn)相同的一個(gè)橢圓與一雙曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直，于是有定義： 兩圓錐曲線在交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，叫做這兩曲直交。例 2 如圖 6，已知是橢圓的焦點(diǎn)，分別是在橢圓任一切線 CD 上的射影。（ 1）求證：為定值；（2）求的軌跡方程。分析：（ 1）欲證為定值，即證為定值（由光學(xué)性質(zhì)推得），從而知應(yīng)用余弦定理于即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。證明：（ 1）設(shè) Q 為切線，由橢圓光學(xué)性質(zhì)推知設(shè)為，則所以又，則在中，.則所以為常數(shù)，即定值。（ 2）設(shè)點(diǎn) O 在 CD 上的射影為M，則 OM 是

6、直角梯形的中位線，于是有。在中，同理所以的軌跡是以O(shè) 為圓心， a 為半徑的圓，其方程為例 3 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，以 F 與 A （ 4， 4）為焦點(diǎn)作橢圓，使其與已知拋物線有公共點(diǎn)（如圖7），當(dāng)長(zhǎng)軸最短時(shí)，求橢圓方程。分析：求解的關(guān)鍵是光線FP 的反射線PA 平行于 x 軸。解：設(shè)以點(diǎn)A （ 4， 4）、 F（ 4，0）為焦點(diǎn)的橢圓為（ a 為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)）。再設(shè) P 為拋物線與橢圓的公共點(diǎn)，由橢圓第一定義知：.即長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a 等于拋物線上一點(diǎn)P 到兩定點(diǎn)A 、 F 距離之和，若2a 最小，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓與拋物線相切。此時(shí)，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知，光線FP 的反射線PA 平行于 x 軸。所以 P（1， 4）。由知所以所求的橢圓方程為例 4 如圖 8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行于對(duì)稱軸的光線于此拋物線上的入射點(diǎn)、反射點(diǎn)分別為P、 Q，設(shè)點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)為，當(dāng) a 為何值時(shí)，從入射點(diǎn) P 到反射點(diǎn)Q 的路程 PQ 最短？分析：設(shè)，由拋物線光學(xué)性質(zhì)知PQ 過(guò)焦點(diǎn)，故可用弦長(zhǎng)公式建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值條件a 即可。解：由拋物線光