立體幾何中的常見題型及基本思路

1、立體幾何中的常見題型及基本思路解決一切空間幾何問題的核心目標(biāo)是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。1.線線平行（是線面平行和面面平行的基礎(chǔ) ）的證明思路：（1）找到或者構(gòu)建含兩線的平行四邊形（2）看兩直線是否構(gòu)成一個(gè)三角形的中位線或者等分線的關(guān)系（3）垂直于同一平面的兩直線平行。即：若 a壽,b二則a/b.（4）平行于同一直線的兩直線平行。即：若 a/b,b/c則all c（5）線面平行性質(zhì)得到線線平行：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和已知平面相交，那么這條直線和交線平行。即: 若 a/ - ,a - ,且:-"-二 b,則a/b .（6）面面平行性質(zhì)得到線線平行：兩平行平面與

2、同一個(gè)平面相交， 那么兩條交線平行。即：若：/廠且= a,w=b,則a/b（7）如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行。即若 a/: ,a/ -,且-一：=b,則a/b。2線面平行的證明思路：（1）定義：若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平 行（不常用）。（2）判定定理：在平面內(nèi)找到一條和已知直線（在平面外）平行的 直線。即：若 a 二，b 二：s 且 a/b,則 a/:（3）由面面平行得到的線面平行：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi) 的直線平行于另一個(gè)平面，即：若/廠且a :-,則a/"。例見T9山東12年高考(4) 如果一個(gè)平面和平面外的一條

3、直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若_ :,a_ 二則a/。(5) 如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平 行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若a / b, a /a ,b /a (或b a )(6) 兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè) 平面平行，即若a / B月二a , a二B , a/ a，貝y a / B .(7) 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直 線與該平面平行，即若 a丄a ,b a , b丄a,貝y b / a .(8) 在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平

4、行，即若A" a , B a , A、B在a同側(cè)，且A、B到a等距，則AB / a .3面面平行的證明思路：(1) 定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無 公共點(diǎn)=a / B .(不常用)(2) 判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若 a,b a , an b=P,a/ 3 ,b/ 3，則a /B .(3) 垂直于同一直線的兩平面平行即若a丄a, 3丄a,則a / 3 .(4) 平行于同一平面的兩平面平行.即若a / 3 , 3 / Y ,則a / Y .(5) 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線， 則這

5、兩個(gè)平面平行，即若a,b a ,c,d 3 ,an b=P,a/ c,b/ d,則a / 3 4.線線垂直(是線面垂直和面面垂直的基礎(chǔ))的證明思路：(1) 勾股定理(2) 等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直(3) 矩形(正方形)臨邊，菱形(正方形)對角線相互垂直(4) 線面垂直性質(zhì)(a _ ,b二卅a _ b)(5) 定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.(6) 條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即 若b II c,a丄b,則a丄c(7) 三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.(8) 如果一條直線與

6、一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂 線垂直.即若a I a ,bX a，則a丄b.(9) 三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若a丄B邙丄丫，丫 丄 a，且 a A p =a, p A y =b, y n a 二c,貝U a丄 b,b丄 c,c丄 a.例見T8陜西12年文，T14安徽12年文5線面垂直的證明思路：(1) 判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。即：若m a , n a , mA n=A , l丄 m,l丄n，則l丄a(2) 找一個(gè)面或者線的平行面或者線，將問題轉(zhuǎn)化：I :,a _ _ 或 a I b, a .= b _(3) 面

7、面垂直性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂 直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。即：:；p| ：二 b, a 二：；，a _ b= a -:(4) 定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條 直線和這個(gè)平面垂直.(不常用)(5) 如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直 于同一平面.即若l / a,a丄a則I丄a .(6) 條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一 個(gè)平面，即若a / B ,1丄B，則I丄a .(7) 如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直 于第三個(gè)平面，即若a丄Y , B丄丫，且aA B = a貝y a丄Y .6

8、. 面面垂直的證明思路：(1) 判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這 兩個(gè)平面互相垂直。即：y-,a _=-.-(2) 定義法(二面角是直角)：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直。即：二-a - ： =90 ：=:-:(3) 個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。即： 若aB, a丄丫，貝卩 B丄丫例見T6天津12年文科7. 求角：一作二證三計(jì)算(1) 線線角(異面直線所成角)轉(zhuǎn)化成相交直線，并且交點(diǎn)往往取其中一條直線的端點(diǎn)或中點(diǎn)(2) 線面角射影轉(zhuǎn)換法：做垂線、找射影，求夾角（3）二面角 定義法：在兩平面內(nèi)分別做交線的垂線，解三角形、 三垂線法 垂面法8. 求體積：例見T8陜西12文，T10湖南12文，T11廣東12文9. 折疊：例見T13北京12文10. 最值:例見福建12文11交點(diǎn)與交線問題：1）線面交點(diǎn)：求直線a與平面的交點(diǎn)，可通過直線a做一個(gè)平面 二且與的交 線記為b,則a與b的交點(diǎn)即為直線a與平面的交點(diǎn)2）面面交線： 在兩個(gè)平面內(nèi)找到兩個(gè)公