第19章第08課時矩形的判定

1、第8課時矩形的性質(zhì)（3）【目標(biāo)導(dǎo)航】1會證明矩形的兩個判定定理.2. 會根據(jù)矩形的定義和判定定理判定一個四邊形是矩形，并能進(jìn)行有關(guān)的論證或計算.3. 經(jīng)歷探究矩形判定條件的過程，通過觀察一一總結(jié)一一猜想一一證明，發(fā)展學(xué)生的合情 推理能力，培養(yǎng)主動探究的習(xí)慣.4. 讓學(xué)生在探究過程中加深對矩形的理解，激發(fā)他們的求知欲望；【要點梳理】1有一個角是 的平行四邊形叫矩形.2. （ 1） 相等的平行四邊形是矩形.c（2）有三個角是 的四邊形是矩形.【問題探究】例1:已知如圖1,在口 ABCD中，對角線 AC , BD相交于點O,圖2/ OBC= / OCB .求證：四邊形 ABCD是矩形.變式：已知：如

2、圖 2, ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于 點E, F, G H.求證：四邊形 EFGH是矩形.例2：農(nóng)村家庭建房打地基時，不像城市蓋大樓有專門的儀器放樣，他們往往采用土辦法， 先用繩子拉成四邊形，分別量出房基的長a和寬b （如圖3）,但還要一道重要的工序，才能保證房基是矩形，你能根據(jù)所學(xué)知識說出這道工序嗎？請說明理由.abt變式：工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進(jìn)行： 先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖4），使AB=CD，EF=GH ； 擺放成如圖 4的四邊形，則這時窗框的形狀是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是：； 將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖4），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框

3、無縫隙時（如圖4），說明窗框合格，這時窗框是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:IrEDIH【課堂操練】1.要使Yabcd成為矩形，需添加的條件是()90A. AB BC B. AC BD C. ABC2下列給出的條件中，不能判斷一個四邊形是矩形的是(A 一組對邊平行且相等，有一個內(nèi)角是直角B .有3個角是直角C.兩條對角線把四邊形分成兩對全等的等腰三角形D .一組對邊平行，另一組對邊相等，且兩條對角線相等( )6 cm為一條對角線，3 cm、10 cm為兩條鄰邊10 cm、10 cm為對角線，12 cm為一邊14 cm為對角線，7 cm、8 cm為兩條鄰邊50cm為一條對角線，30 cm、40 cm為兩

4、條鄰邊3. 在給定的條件中，能畫出矩形的是A .以B .以C .以D .以4. 已知四邊形 ABCD中，/ A= / B= / C=90,則該四邊形的形狀是 .5. 工人師傅在做門框或矩形零件時，常用測量平行四邊形兩條對角線是否相等來檢測直角的精度，請問工人師傅根據(jù)的幾何道理是 .6. 已知如圖5,平行四邊形 ABCD中，M為AD的中點，且BM = CM .試說明：四邊形ABCD 是矩形.7.如圖6,在四邊形(1 )若四邊形AECF(2 )若四邊形AECFABCD中，點E、F是對角線 BD上的兩點，且 BE=DF .是平行四邊形，求證四邊形 ABCD也是平行四邊形；是矩形，試判斷四邊形 ABC

5、D是否也是矩形.不必寫理由.圖6【每課一測】一、選擇題（每題 65分，共30分）1下列說法錯誤的是（）A .有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形 B.矩形的四個角都是直角，并且對角線相等C .對角線相等的平行四邊形是矩形D .有兩個角是直角的四邊形是矩形2. 如圖7,四邊形ABCD的對角線互相平分，A . AB=CDB . AD=BCC .3. 平行四邊形內(nèi)角平分線能夠圍成的四邊形是（要使它變?yōu)榫匦?，AB=BCD.）需要添加的條件是（AC=BD).A .梯形 B .矩形 C .正方形 D .不是平行四邊形4. 在四邊形ABCD中，AC和BD的交點為0,則不能判斷四邊形A . AB = CD ,

6、AD = BC, AC= BDB . AO = CO, B0= DO , / A = 90 C./ A=/ C,/ B+/ C= 180 / AOB=/ BOCD . AB / CD , AB = CD , / A= 90 5. 如圖8, E, F, G H分別是四邊形 ABCD四條邊的中點，要使四邊形 EFGH為矩形，四邊 形ABCD應(yīng)具備的條件是（）.A .一組對邊平行而另一組對邊不平行C.對角線互相垂直；ABCD是矩形的是（B.對角線相等.對角線互相平分圖7D圖9圖86分，共24 分）二、填空題（每空延長等腰 ABC的腰BA到D, CA到E,分別使 AD=AB , AE=AC，則四邊形

7、BCDE 是，其判定根據(jù)是 .如圖，在四邊形 ABCD中，AB / DC ,/ C=90若再添加一個條件，就能推出四邊形ABCD是矩形，你所添加的條件是 .（寫出一種情況即可）如圖9,在矩形ABCD中，過對角線BD上任一點K作MN / AD分別交AB , DC于M , N，作PQ/ AB，分別交AD , BC于P, Q,則圖中面積相等的矩形共有 對.三、解答題（9-11每題12分，12題10共46分）9.如圖10, O是矩形ABCD的對角線AC與BD的交點，E、F、G、H分別是AO、B0、 CO、DO 上的一點，且 AE = BF = CG = DH .求證： 四邊形EFGH是矩形.6.7.1

8、0.如圖11,在 ABC中，D是BC邊上的一點, A點作(1)(2)E是AD的中點，過 BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連結(jié)BF . 求證：BD=CD;如果AB=AC,試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.11.如圖 12,在 ABC 中，/ C=9O0,AC=BC,自 AB 上任一點 P作 PE丄 BC 于 E, PF丄 AC 于F,M為AB的中點.求證： MEF是等腰三角形圖1212.如圖13, ABC中，點0是AC邊上一個動點，過點0作直線 MN / BC,設(shè)MN交/ BCA 的平分線于E，交/ BCA的外角平分線于點 F .(1) 求證：E0= F0(2) 當(dāng)點

9、0運動到何處時，四邊形 AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.參考答案】【要點梳理】1直角2（ 1）對角線；（ 2）直角 【問題探究】 例1證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， AO = CO , BO = DO .又/ OBC= / OC ,OB = OC,AO = BO = CO= DO , - AO+CO = BO+DO ,即 AC = BD,平行四邊形 ABCD 是矩形變式：證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，/ BAD+ / ABC=90 , / BAD+ / ADC=90 .又 AE 平分/ BAD , BF 平分/ ABC ,/ BAF+ / ABF=90 ,/ AFB=90 .同理可

10、得/ AED=90 , / BGC=90 , 四邊形 EFGH 是矩形.例 2：分析：判斷一個四邊形是否是矩形時，在無法根據(jù)矩形定義判定時，可先根據(jù)它是否 是平行四邊形，然后再根據(jù)判定方法判定是否是矩形 .解：由兩組對邊分別相等， 可知圖 1是平行四邊形， 然后重要的一道工序應(yīng)該是使對角線相 等或使任意一個角是直角 .因為對角線相等的平行四邊形是矩形或一個角為直角的平行四邊 形是矩形 .變式：分析 :本題是以實際問題為背景， 形的有關(guān)性質(zhì)與具體的實際問題相結(jié)合， 解:根據(jù)已知條件 AB=CD ， EF=GH ， 組對邊相等的四邊形是平行四邊形 .如圖4，這時說明平行四邊形有一個角是直角，其它的

11、三個角也可知是直角，這時四邊形是矩形，根據(jù)：有一個角是直角的平行四邊形是矩形 .【課堂操練】答案：答案：解析：答案：123設(shè)計的一道考查特殊四邊形性質(zhì)的問題 使得考題具有創(chuàng)新性 .當(dāng)擺成圖4時，所得到的圖形是平行四邊形 .根據(jù)是兩.將特殊四邊C 四條邊都相等的菱形也被對角線分成兩對全等的等腰三角形D二、填空題4. 矩形5. 對角線相等的平行四邊形是矩形三、解答題7.V四邊形 ABCD是平行四邊形， AB = CD , / A+/ D = 180 / M為AD的中點，且BM = CM . ABM DCM ,/ A=/ D, / A = / D = 90 四邊形 ABCD 是矩形&解：連接AC交B

12、D于點O.(1) 因為四邊形 AECF是平行四邊形，所以 OE = OF, OA = OC因為BE = DF,所以O(shè)B = OD 所以四邊形 ABCD是平行四邊形；(2) 不是矩形，還是平行四邊形 .【每課一測 】1BCC矩形 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 答案不唯一，如： AB = CD答案： 32346.758解析： AMKP 與 KQCN ， ABQP 與 MBCN ， AMND 與 PQCD 的面積相等 9.證明/四邊形ABCD是矩形， AC= BD （矩形的對角相等） ，AO = BO = CO = DO （矩形的對角線互相平分）./ AE = BF = CG= DH , OE

13、=OF=OG=OH， 四邊形 EFGH 是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）/ EO + OG = FO + OH , 即 EG= FH，對角線相等的平行四邊形是矩形)/ AFE / DCEAE DE 四邊形 EFGH 是矩形10（ 1 ） Q AF / BC ，Q E是AD的中點，AFE DCE/ AE DE, AEFDECAEF DECAF DC , Q AF BD , BD = CD（ 2）四邊形 AFBD 是矩形BD , AF / BC 四邊形AFBD是平行四邊形/ AB = AC , D 是 BC 的中點， AD 丄 BC , / ADB = 90 Q AF又/ ADB

14、90o四邊形 AFBD 是矩形本題考查矩形的有關(guān)知識，以及直角三角形的中線定理，等腰三角形的知識.思11 分析：路比較明顯，就是利用中點 M,連結(jié)MC,證明 CMF BME(或 AFM CEM),由中線定 理易證一邊相等，只要再能找出其他條件，就可以得到結(jié)論，證題時，注意結(jié)合圖形，靈活 運用知識，連結(jié) CM, / ACB= 90 ,M 是 AB 的中點， CM=MB=MA, / B= / MCB, / A= / MCA.又 AC=CB, / A= / B= 45. MCA= 45 = / B. PF 丄 AC, P E 丄 BC, / PFC= 90 = / PEC= / ACB.四邊形 PECF 為矩形 .圖5 PE=FC 且 PE / AC, / BPE= / A= 45 = / B. P E=EB=FC. CMFBME,ME=MF. MEF是等腰三角