線性代數(shù)練習(xí)題2及答案

1、線性代數(shù)練習(xí)題一 選擇題1 A, B 都是 n 階矩陣，且 AB0 ,則必有 :（）(A)A0 或 B0 .(B)AB0.(C)A0或 B0.(D)AB010ab11ab2 設(shè)1cd0,則cd（）11(A)01.11(C)11.(D)1111(B).110.1013若 A 為m n,R( A) r m n則()必成立.矩陣 且（ A ） A 中每一個階數(shù)大于r 的子式全為零。（ B） A 是滿秩矩陣。（ C） A 經(jīng)初等變換可化為E r0（ D） A 中 r 階子式不全為零。004向量組1 ,2 ,s , 線性無關(guān)的充分條件是()（ A）1 ,2 ,s 均不是零向量 .（ B）1 ,2 ,s

2、中任一部分組線性無關(guān) .（ C）1 ,2 ,s 中任意兩個向量的對應(yīng)分量都不成比例.（ D）1 ,2 ,s 中任一向量均不能由其余S-1 個向量線性表示 .5齊次線性方程組AX0 是非齊次線性方程組AXB 的導(dǎo)出組 ,則 ()必定成立 .（A） AX0只有零解時 ,AXB 有唯一解 .（B） AX0有非零解時 ,AXB 有無窮多解 .（ C）是AX的任意解, 0 是AXB的特解時 , 0是 AXB 的全部解 .（ D ）1 ，2是 AXB的解時, 12 是AX0的解.6 若 B方程組 AXB 中 , 方程個數(shù)少于未知量個數(shù)，則有 (),1(A)AXB 一定無解。(B)AX只有零解。(C)AX必

3、有非零解。(D)AXB 一定有無窮多組解。7 線性方程組axby1， 若 ab ,則方程組()bxay0(A) 無解(B) 有唯一解(C) 有無窮多解(D) 其解需要討論多種情況8 設(shè) A 、 B 都是 n 階矩陣，且 AB0, 則A和B的秩（）A必有一個為 0,B必定都小于 n ,C必有一個小于 n ，D必定都等于 n二填空題x12x2x301 方程組2x14x27x30 的通解為 _.2 設(shè) 5 階方陣 A的行列式為A2，則2 A_.3 已知20521X3，求 X14三計算題25311D13130115142311112D1342解： D(31)(41)(21)(43)(2 3)(2 4)

4、 1212222341334323x002x 002x 02x003 D解： D x 2 x 0 2( 1)1 4 0 2 x x4 1602x00 2x00 2002x2axxxxaxx4D、xxaxxxxa11111111D 3xaxaxx0ax003x aa3xxax3x a0ax0x0xxxa000ax4682345 設(shè) A234,求矩陣 A 的秩。解： A010， R(A)2234000222222116設(shè)A123,BA1,求B解：A 123 2，B A1136136A220312037 解矩陣方程 : 146X1 解 :1463230323012551101992112751252

5、0311解矩陣方程 :X143201215515111019990211172751251353182603630053012155203119解 :1460993232112751250121551822031821X036146031069005323009511227512520164275135761795451011272710x12 x23 x34x45求線性方程組x1x2x3x41的通解1057123452解 :B33 知 R(A)R(B) 2 4 , 故原方程111110124313組有無窮多組解 ,x15x32 x4733同解方程組為：x22 x3x

6、44， x3 , x4 為自由未知量 ,33x3x 3x4x44x175233x24k12k21原方程組的通解為：33, k1 ,k2 任意常數(shù)x30x401100x12x2x3x4210 求線性方程組2x15x2x34 x45的通解， 并指出其對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基x2x32x41x13x23x43礎(chǔ)解系。1211210330解 : B2514501121知 R( A) R(B) 24 , 故原方程組有01121000001303300000無窮多組解 ,同解方程組為：x13x33x4， x3 , x4 為自由未知量 ,x2x32x41x1033原方程組的通解為：x21k11k22x3

7、01, k1 ,k2 任意常數(shù)0x4001x1x2x3x4111求線性方程組3x12x2x3x42的通解，并指出其對應(yīng)的齊次線性方程組的一個x2 2x3x455x14x23x33x40基礎(chǔ)解系。1111110114解 :B32112012253 4 , 故原方程組012150001，知 R(A) R(B)054330000005x1x3 4有無窮多組解,同解方程組為：x22 x35， x 為自由未知量,原方程組的通解為：3x40x141x25k2x30, k 任意常數(shù)1x40012 當(dāng) a 為 何 值 時 下 列 線 性 方 程 組 有 解 ？ 有 解 時 用 向 量 形 式 表 示 出 它

8、的 通 解2x1x2x3x42x12x2x3x43x1x22x32x4ax1x3x4121112121131211301102， 當(dāng) a1 時 , R(A) R(B)3 ,線解 : B122a000121101110 00 0 a 11211310103性方程組有解。 B01102011024 , 故000120001，知 R( A) R(B) 320000000000x1x33原方程組有無窮多組解, 同解方程組為：x2x32， x3 為自由未知量 ,x42x131原方程組的通解為：x22k1,k 任意常數(shù)x301x42013 判斷下列向量組的線性相關(guān)性并求它的一個最大無關(guān)組（ 1） 1 (2

9、,1,3);2 (1, 1,2);3 (0,3,1);（ 2） 1=(1,0,1),2=(0,1,-1),3=(2,0,1)4=(0,1,2)6210113解：（ 1） A113012321001向量組 1, 2,3 線性無關(guān)，且1,2 , 3 就是 一個最大無關(guān)組10201020解：（ 2） A0101010111120013向量組 1, 2,3 ,4 線性相關(guān)，1 ,2,3 或1 ,2, 4 是 最大無關(guān)組14 已知向量組11 2 34，22345 ，33456，4 4 5 6 7 ，求向量組的秩。解:12341234111111112345111112340123A45611110000

10、000034567111100000000R( 1, 2, 3,4 )215 已知向量組11211，22 0t0， 304 52的秩為2，求 t。120120120204044011解 : A502 t 502 t 51 t102022000若R(1,2,3) 2則 2t5,所以 t3.,16 討論向量組1111，21 23，31 3t，當(dāng) t 為何值時，向量組線性相關(guān)。7111111111解:A 12301201213t02 t 100t 5若向量組線性相關(guān),則 R(1, 2, 3)R(A)3所以 t 50 ,即 t5四 證明題1設(shè) A, B 相乘可交換，且A 可逆，證明 A1 與 B 相乘

11、也可交換 .證：由 ABBA得 BA 1BA故BA 1A 1B.2設(shè) A 是可逆的 n 階矩陣，求證A 1A 1 .證： 由A 1A A1A E.故 A 1A 1 .線性代數(shù)練習(xí)題答案一選擇題（）|AB| | A|B| 0 |0 。（）可代入驗算。1000（ , ,）例如 A 0100（ ,）部分組也含向量組000034本身。（）是 AX的任意解，0是 AXB 的特解時， 0是AX B 的全部解 B（）（）abb20，由克萊姆法則知有唯一解。Da2ba（）二填空題8x1256x2k ， k 是任意常數(shù)12|A|28x305211，有關(guān)的20110X 211311211三計算題解：化為三角形行列

12、式得：D4013135511650115115515126D11154005101025011100解：由范得蒙行列式結(jié)論得： D(3 1)(41)(2 1)(43)( 2 3)( 2 4)解：按第一行展開計算得：Dx 416解：將 ,行加到第一行提公因式化三角形得：D(3xa)( a102解： A010 ，R(A)2000解： |B| |A 1| |A| 1 11| A |2112203055 解 ：(A,E)初行變 (E,1) ,146111A2223231253151515XA1B1171512x)3，901534631515解： A1同上題， XBA17233121010524333解

13、：增廣矩陣12345初行變10A1111011陣)，52733(行最簡階梯21433x152x47x15273 x3333x22x3x44x221433 ，3kk23, k,k 為任意常數(shù).x3x3x3110012x4x4x40100. 解：對增廣矩陣做初行變后類上題可得：x13x3 3 x4x1330x2x32 x4 1x212k212為任意常數(shù) .x3x3，1k1, k1 , kx300x4x4x401033令 11,22,1 , 2 為對應(yīng)導(dǎo)出組 AX的一個基礎(chǔ)解系。10011. 解：對增廣矩陣做初行變后類上題可得：x1x34x114x22x35，x22k5x3x3x31, k為任意常數(shù)

14、 .0x40x4001令2 ,為對應(yīng)導(dǎo)出組 AX的一個基礎(chǔ)解系。10102111210101312. 解： A1 2 113初行變011021122a00012310111000011a3對增廣矩陣做初行變后可知當(dāng)a11 時，原方程組有解，3x1x31x11133x2x32x212x3x3，通解為：x3k, k為任意常數(shù) .10x42x4023321010013. (1)解： A113010 ,1 ,2 , 3線性無關(guān) ,為其最大無關(guān)組 .初行變32100110201006(2)解： A01010101,1,2,3為其最大無關(guān)組 .111200131, 2 , 3,4線性相關(guān) .1234101214.解： A2345初 行變0123, 1 , 2為其最大無關(guān)組 . 秩為 2.3456000045670000120102204011滿足要求 .15.解