導(dǎo)數(shù)各類題型方法總結(jié)材料

1、實(shí)用文案導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)（解析版）題型一 :關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立 的主要解法：1、分離變量；2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（ 1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系（ 2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次， 分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令f ' (x)0 得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中 不等式恒成立

2、問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例 1：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 D上的導(dǎo)數(shù)為f ( x) ， f ( x) 在區(qū)間 D上的導(dǎo)數(shù)為 g( x) ，若在區(qū)間 D 上，g (x) 0恒成立，則稱函數(shù) yx4mx33x2f ( x) 在區(qū)間 D 上為“凸函數(shù)” ，已知實(shí)數(shù) m是常數(shù)， f ( x)6212（ 1）若 yf ( x) 在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)” ，求 m的取值范圍；（ 2）若對滿足 m2的任何一

3、個(gè)實(shí)數(shù) m ，函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上都為“凸函數(shù)” ，求 ba 的最大值 .解 : 由函數(shù) f ( x)x4mx33x2x3mx2126得 f ( x)3x232g (x) x2mx3（ 1）yf ( x) 在區(qū)間0,3 上為“凸函數(shù)” ，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案則g ( x)x2mx30 在區(qū)間 0,3上恒成立解法一：從 二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于gmax (x)0g(0)030m 2g(3)093m30解法二： 分離變量法： 當(dāng) x0時(shí),g( x)x2mx330恒成立 ,當(dāng) 0x3時(shí) ,g( x)x2mx30 恒成立x233的最大值（0x3 ）恒成立，等價(jià)于 mxxx3而 h(

4、x)x （ 0 x 3 ）是增函數(shù)，則 hmax ( x) h(3) 2 xm 2(2) 當(dāng) m 2 時(shí) f (x) 在區(qū)間 a, b 上都為“凸函數(shù)”則等價(jià)于當(dāng) m2時(shí) g(x)x2mx 30恒成立變更主元法再等價(jià)于 F (m)mx x230 在 m2 恒成立 （視為關(guān)于 m的一次函數(shù)最值問題）F (2)02xx230F (2)02xx231 x 10ba2-22例 2：設(shè)函數(shù)1x3223 2x b(0a1,b R)f ( x)axa3（）求函數(shù)f （ x）的單調(diào)區(qū)間和極值；標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案（）若對任意的xa1, a2, 不等式f (x) a 恒成立，求 a 的取值范圍 .（二次函數(shù)區(qū)間最值

5、的例子）解：（） f ( x)x24ax3a2x 3ax a0 a 1f (x)a3a3aa令 f ( x)0, 得 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3 a）令 f ( x)0, 得 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為（， a）和（ 3a， +）當(dāng) x=a 時(shí)， f (x) 極小值 =3 a 3b;當(dāng) x=3a 時(shí)， f ( x) 極大值 =b.4（）由 | f ( x) | a，得：對任意的 x a 1, a2,ax24ax3a2a 恒成立則 等 價(jià) 于 g(x) 這 個(gè) 二 次 函 數(shù)gmax (x)ag ( x)x24ax3a2 的 對 稱 軸 x 2agmin ( x)a0 a 1,a1

6、aa 2a （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，g( x) 這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。g( x)x24ax 3a2在 a1, a 2 上是增函數(shù) .g( x)maxg( a2)2a1.g( x)ming(a 1)4a4.a 1,a2于是，對任意 xa1, a2 ，不等式恒成立，等價(jià)于x2ag(a2)4a4a, 解得 4a1.g(a1)2a1a5又 0 a1, 4a1.5點(diǎn)評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案題型特征：f (x) g( x) 恒成立h( x)f ( x) g (x)0 恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二

7、種題型例 3；已知函數(shù) f ( x)x3ax2 圖象上一點(diǎn) P(1,b) 處的切線斜率為3 ，g (x) x3t 6 x2(t 1)x 3(t 0)2（）求 a, b 的值；（）當(dāng) x 1,4 時(shí)，求 f ( x) 的值域；（）當(dāng) x1,4 時(shí)，不等式 f (x)g( x) 恒成立，求實(shí)數(shù)t 的取值范圍。解：（） f / ( x) 3x2f/(1)3 ，a32ax 解得b2b1 a（）由（）知，f ( x) 在 1,0上單調(diào)遞增，在0, 2 上單調(diào)遞減，在 2,4 上單調(diào)遞減又 f ( 1)4, f (0)0, f (2)4, f (4)16 f ( x) 的值域是 4,16（）令 h( x)

8、f (x) g (x)t x2(t1)x3 x1,42思路 1：要使 f ( x)g ( x) 恒成立，只需h( x)0，即 t( x22x) 2x 6 分離變量思路 2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、參數(shù)問題題型一： 已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法 1：轉(zhuǎn)化為f ' (x)0或f ' (x)0 在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎(chǔ)題型解法 2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b ）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例 4：已知 a R ，函

9、數(shù) f ( x)1 x 3a 1 x 2(4a1) x 122（）如果函數(shù)g( x) f(x) 是偶函數(shù)，求 f (x) 的極大值和極小值；（）如果函數(shù)f (x) 是 (,) 上的單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案解： f ( x)1 x 2(a1) x(4a1) .411 x2（）f (x) 是偶函數(shù)，a1.此時(shí) f ( x)x33x ， f( x)3 ，124令 f ( x)0 ，解得： x23 .列表如下：(,( (23 ,+x 232323 )2 3,23 ) )f ( x)+00+f (x)遞增極大值遞減極小值遞增可知： f( x) 的極大值為 f (23)43 ，f ( x

10、) 的極小值為 f (23)4 3 .（）函數(shù)f ( x) 是 (,) 上的單調(diào)函數(shù)， f(x)1 x2(a1)x(4 a1)0 ，在給定區(qū)間 R 上恒成立 判別式法4則(a1)241(4 a1)a22a0，解得： 0 a2 .4綜上， a 的取值范圍是 a 0a2 .例 5、已知函數(shù)f ( x)1 x3 1 (2 a) x2 (1 a)x(a 0).3 2（ I ）求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間；（ II ）若 f ( x) 在0 ， 1 上單調(diào)遞增， 求 a 的取值范圍。 子集思想（ I） f (x)x2(2 a)x1a(x 1)(x1a).1、 當(dāng)a0時(shí), f (x)(x1)20恒成立 ,當(dāng)

11、且僅當(dāng)x1 時(shí)取“ =”號，f (x)在(,) 單調(diào)遞增。2、 當(dāng)a0時(shí)由, f (x)0,得x11, x2a1,且 x1x2 ,單調(diào)增區(qū)間： (, 1),( a 1, )f (x)單調(diào)增區(qū)間：( 1,a1)-1a-1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案（ II ）當(dāng)f ( x)在0,1 上單調(diào)遞增 ,則 0,1 是上述增區(qū)間的子集：1、 a0 時(shí)， f ( x)在(,) 單調(diào)遞增符合題意2、 0,1a1,，a10a1綜上， a 的取值范圍是 0 ， 1 。三、題型二：根的個(gè)數(shù)問題題 1 函數(shù) f(x) 與 g(x) （或與 x 軸）的交點(diǎn) =即方程根的個(gè)數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖” （即解導(dǎo)數(shù)

12、不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減” ；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0 的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例 6、已知函數(shù) f ( x)1 x 3(k1) x 2 ， g( x)1kx ，且 f ( x) 在區(qū)間 (2,) 上為增函數(shù)323（ 1）求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；（ 2）若函數(shù) f ( x) 與 g( x) 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍解：（ 1）由題意 f( x)x 2(k1)x f (x) 在區(qū)間 (2,) 上為增函數(shù)， f (x) x2( k 1) x0在區(qū)間 (2,) 上

13、恒成立 （分離變量法）即 k 1x 恒成立，又 x2 ， k 12 ，故 k 1 k 的取值范圍為 k1（ 2）設(shè) h(x)f (x) g( x)x 3( k1) x 2kx1 ，323h ( x)x 2(k1)x k( xk)( x 1)令 h ( x)0得 xk 或 x1 由（ 1）知 k1 ，當(dāng) k1 時(shí)， h (x) (x1) 20 ， h(x) 在 R上遞增，顯然不合題意 當(dāng) k1 時(shí)， h( x) ， h ( x) 隨 x 的變化情況如下表：x(, k )k(k,1)1(1,)h ( x)00標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案h( x)極大值極小值k 3k 21k12623由于 k 10 ，欲使 f

14、 ( x) 與 g( x) 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程 h( x)0有三個(gè)不同的實(shí)根，故2需k 3k 21，即(1)(22 2)0k1，解得k1 30kk623kk 22k20綜上，所求k 的取值范圍為 k13根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。例 7、已知函數(shù) f ( x)ax 31 x22x c2（ 1）若 x1 是 f (x) 的極值點(diǎn)且f ( x) 的圖像過原點(diǎn)，求f ( x) 的極值；（ 2）若1bx2x d1b ，使得函數(shù)g (x)f ( x)g (x)的圖像與函數(shù)的2，在（ ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)圖像恒有含 x1 的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)b 的取值范圍；否則說明理由。高

15、1考1資1源2網(wǎng)解：（ 1） f (x) 的圖像過原點(diǎn)，則f (0)0c0f ( x)3ax2x 2 ，又 x1 是 f ( x) 的極值點(diǎn)，則f ( 1)3a120a1f (x)f (x)3x2x2(3x2)( x 1)0f極大值 ( x)f (1)3f 極小值 ( x)f (2)22237-123（ 2）設(shè)函數(shù) g(x) 的圖像與函數(shù)f ( x) 的圖像恒存在含x1的三個(gè)不同交點(diǎn)，等價(jià)于 f ( x)g (x) 有含 x1 的三個(gè)根，即：f (1)g( 1) d1 (b 1)2x31 x22x1 bx 2x1 (b 1) 整理得：222即： x31 (b1)x2x1 (b1)0 恒有含 x

16、1的三個(gè)不等實(shí)根22（計(jì)算難點(diǎn)來了： ） h( x)x31 (b1)x2x1 (b1)0 有含 x1 的根，22標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案則 h( x) 必可分解為 ( x1)(二次式 )0 ，故用 添項(xiàng)配湊法因式分解，x3x2x21 (b 1)x2x1 (b 1) 022x2 (x 1)1 (b 1)x2x1 (b 1)022x2 (x1)1(b1)x22 x(b1)012十字相乘法分解： x2 ( x1)(b1)x(b1)x102(x1)x21 (b 1)x1 (b1)022x31 (b1)x2x1 (b1)0 恒有含 x1 的三個(gè)不等實(shí)根22等價(jià)于 x21 (b1)x1 (b1)0 有兩個(gè)不等于

17、-1的不等實(shí)根。221 (b 1)241 (b1)042b(,1)(1,3)(3,)1 (b1 (b(1)21)1)022題 2：切線的條數(shù)問題=以切點(diǎn) x0 為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例 7、已知函數(shù) f (x)ax3bx2cx 在點(diǎn) x0 處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)f '( x) 0 的 x 的取值范圍為 (1,3) ，求：（ 1） f ( x) 的解析式；（ 2）若過點(diǎn) P(1,m) 可作曲線 yf ( x) 的三條切線，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍（ 1）由題意得： f '(x) 3ax22bxc3a(x1)(x3),( a0)在 (,1)上 f'(x)0 ；在 (1,3)

18、 上 f'( x)0 ；在 (3,) 上 f '( x)0因此 f (x) 在 x01處取得極小值4 ab c4 ， f '(1)3a2bc0 ， f '(3)27 a6bc 0 a1由聯(lián)立得：b6 ， f ( x)x3 6x29xc9（ 2）設(shè)切點(diǎn) Q(t,f (t) ， yf (t )f , (t)( xt )y( 3t212t 9)(xt )(t 36t 29t)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(3t 212t9) xt (3t212t9) t(t 26t9)(3t 212t9) xt (2t26t ) 過 ( 1,m)m (3t 212t9)(1)2t 36t 2g (

19、t )2t32t 212t9m0令 g '(t ) 6t26t 126(t 2t2) 0，求得： t1,t2 ，方程 g(t )0 有三個(gè)根。需：g ( 1) 02 3 12 9 m 0m 16g (2)01612 249 m0m 11故： 11m16 ；因此所求實(shí)數(shù)m 的范圍為： (11,16)題 3：已知f ( x) 在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有 導(dǎo)函數(shù) =0 的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例 8、解：函數(shù)的定義域?yàn)镽（）當(dāng)時(shí)， fx1372x， xx 10m4( )32f ( x) x2 7x 10，令 f ( x)0 ， 解得 x5, 或 x2 .令 f ( x)0 ， 解得

20、 2 x 5可知函數(shù)f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(,2) 和（ 5，），單調(diào)遞減區(qū)間為 2,5 （）f (x) x2 ( m3) x m6,要使函數(shù)y f ( x) 在（ 1，）有兩個(gè)極值點(diǎn),f ( x) x2 ( m3) x m 6=0 的根在（ 1，）根分布問題：1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(m3)24(m6)0;則f (1) 1( m3)m 60;， 解得 3mm31.2例 9、已知函數(shù) f ( x)a x 31 x 2，( a R,a0)（ 1）求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 2）令 g( x) 1 x4 f（ x）324（ x R）有且僅有 3 個(gè)極值點(diǎn)，求a 的取值范圍解：（ 1）f &

21、#39; (x)ax2xx(ax 1)當(dāng) a0 時(shí)，令 f ' ( x)0 解得 x1 或 x0 ，令 f '(x) 0 解得1x0 ，1) (0,a1,0).a所以 f ( x) 的遞增區(qū)間為 (,) ，遞減區(qū)間為 (aa當(dāng) a0 時(shí)，同理可得f (x) 的遞增區(qū)間為 (0， 1 ) ，遞減區(qū)間為 (,0)(1 ,) .1 x4a x31 x2 有且僅有aa（ 2） g(x)3 個(gè)極值點(diǎn)432g (x)x3ax2xx(x2ax 1)=0 有 3 個(gè)根，則 x0 或 x2ax10 ， a2方程 x2ax10有兩個(gè)非零實(shí)根，所以a24 0,a2或 a2而當(dāng) a2 或 a2 時(shí)可證

22、函數(shù) y g(x) 有且僅有3 個(gè)極值點(diǎn)其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）. 已知定義在R 上的函數(shù)f ( x)ax32ax2b（ a0）在區(qū)間2,1上的最大值是5，最小值是11.標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案（）求函數(shù)f (x) 的解析式；（）若 t1,1 時(shí)， f ( x） tx0 恒成立，求實(shí)數(shù)x 的取值范圍 .解：（）f (x)ax32ax2b,f ' ( x)3ax24axax(3x4)令 f ' ( x) =0, 得 x10, x242,13因?yàn)?a0 ，所以可得下表：x2,000,1f ' (x)+0-f ( x)極大因此 f ( 0) 必為最大值 , f（0

23、） 5因此 b5 ，f ( 2)16a 5,f (1)a 5,f (1) f ( 2)，即 f ( 2)16a511， a1 ，f (x） x 32x 25.（）f(x) 3x24x， f ( x） tx0 等價(jià)于 3x24xtx0 ，令 g (t)xt3x 24x，則問題就是 g(t )0 在 t1,1 上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)x 的取值范圍，為此只需g( 1)0，即3x 25x0，g（0x2x01)解得 0 x1，所以所求實(shí)數(shù)x 的取值范圍是 0 ， 1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（ 1）已知函數(shù) f ( x)2 x3ax2bxc3( ) 若函數(shù) f ( x) 在 x1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的

24、點(diǎn)(0,1) 處的切線與直線3xy0平行,求f (x) 的解析式；( ) 當(dāng) f (x) 在 x(0,1) 取得極大值且在x(1,2) 取得極小值時(shí) ,設(shè)點(diǎn) M (b2,a 1) 所在平面區(qū)域?yàn)?S,經(jīng)過原點(diǎn)的直線L 將 S 分為面積比為1:3 的兩部分 ,求直線 L 的方程 .解： ( ). 由 f ( x)2x22ax b , 函數(shù) f ( x) 在 x1時(shí)有極值 , 2a b 2 0f (0)1c1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案又f ( x) 在 (0,1) 處的切線與直線3xy 0 平行 ,f (0)b3故a12f ( x)2 x31 x23x1. 7分32() 解法一:由 f ( x) 2x22a

25、xb 及 f ( x) 在 x(0,1) 取得極大值且在x (1,2) 取得極小值 ,f(0)0b0xb2f(1)02ab20令 M ( x,y) ,即則a1f(2)04ab80yay1x202 yx20故點(diǎn) M 所在平面區(qū)域 S 為如圖 ABC,x2b4 yx60易得 A(2,0) ,B( 2,1) ,C (2,2) ,D (0,1) ,E(0,3 ) ,S ABC22S DEC1同時(shí) DE為 ABC的中位線 ,S四邊形 ABED3所求一條直線L 的方程為 :x0另一種情況設(shè)不垂直于x 軸的直線L 也將 S 分為面積比為1:3 的兩部分 ,設(shè)直線 L 方程為 ykx , 它與 AC,BC分別

26、交于F、 G,則k0 ,S四邊形 DEGF1由由ykx得點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)為 :22yx2xF102kykx得點(diǎn) G的橫坐標(biāo)為 :64yx6xG104k S四邊形 DEGFS OGES OFD136111211 即 16k 22k 5 0224k22k解得 :k1或k5(舍去 )故這時(shí)直線方程為 :y1 x282綜上 , 所求直線方程為 :x0或 y1 x.12分2() 解法二 :由 f ( x)2x22axb及 f ( x) 在 x(0,1) 取得極大值且在 x(1,2) 取得極小值 ,f (0)0b0xb2f (1)02ab20令 M ( x,y) ,即則a1f (2)04ab80y標(biāo)準(zhǔn)文檔

27、實(shí)用文案ay1x202 yx20故點(diǎn) M 所在平面區(qū)域S 為如圖 ABC,x2b4 yx60易得 A(2,0),B( 2,1) ,C (2,2) ,D (0,1),E(0,3 ) ,SABC22同時(shí) DE為 ABC的中位線 ,S DEC1 S四邊形 ABED所求一條直線L 的方程為 :x 03另一種情況由于直線BO方程為 :y1 x ,設(shè)直線 BO與 AC交于 H ,2y1 x得直線 L 與 AC交點(diǎn)為 :H( 1,1)由22yx202S ABC2,SDEC1121 ,S ABSABOSAOH12 1 12 11222H2222 所求直線方程為 :x0 或 y1 x23、（根的個(gè)數(shù)問題）已知函數(shù) f(x)ax3bx2(c 3a2b)xd (a0) 的圖象如圖所示。（）求 c、 d 的值；（）若函數(shù) f(x) 的圖象在點(diǎn) (2,f(2) 處的切線方程為3xy110 ，求函數(shù) f ( x )的解析式；（）若 x05, 方程 f(x)8a 有三