圓錐曲線定點(diǎn)、定直線、定值問(wèn)題.

1、定點(diǎn)、定直線、定值專題1C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3 ，最小值為 1 、已知橢圓（）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線l : y kx m 與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)（ A， B 不是左右頂點(diǎn)） ，且以 AB 為直徑的圓過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn)，求證：直線l 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】 (I) 由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(ab0)a2b2ac3, ac 1 ， a2, c1,b23x2y21.43ykxm4k 2 ) x24(m2(II) 設(shè) A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，由x2y2得 (38mkx3) 0

2、，43164m2 k 216(34k 2 )(m23)0 ， 3 4k 2m20 .xx8mk, xx24(m23) .123 4k2134k2y1y2(kx1m) ( kx2m)k 2 x1 x2mk( x1x2 )m23(m24k 2 ).34k 2以 AB 為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D (2,0), kADkBD1，y1y21，x12x22(最好是用向量點(diǎn)乘來(lái)) y1 y2x1x22(x1x2 )40 ，3(m24k 2 )4( m23)16mk4 0 ，3 4k23 4k 23 4k 27m216mk4k 20 ，解得 m12k, m22k，且滿足 3 4k 2m20.7當(dāng) m2k 時(shí)，

3、 l : yk ( x2) ，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0), 與已知矛盾；當(dāng) m2k時(shí)， l : yk( x2) ，直線過(guò)定點(diǎn)( 2 ,0).77( 2 ,0).7綜上可知，直線l 過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為72、已知橢圓 C 的離心率 e3， A 22 , 0。（）求橢圓 C 的方程；，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為 A 1 2 , 02（）設(shè)直線 x my1 與橢圓 C 交于 P、Q 兩點(diǎn)，直線 A 1 P 與 A 2 Q 交于點(diǎn) S。試問(wèn)：當(dāng) m 變化時(shí)，點(diǎn) S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。Cx2y 21 ab01a2b2a2 ec3c3b 2a2c214a2

4、Cx 221542ym0, P1,3,Q1,333A 1 Pyx3,226A 2Qy3x3,S14,3.7 ,2P 1,3,Q1,3S24,3 .22S: x48m,A 1PA 2QSx2y21: x44xmy1my24y24,m24 y22my301P x1 , y1,Qx 2 , y2y1y 22m,y1 y2m239m244A 1PS0 (4, y 0 ),y0y1, y06y 1 .42x12x12A 2QS0 (4, y0),y02y2, y02y 2.104x 22x 22y0y 06y12y 26y1my 212y 2my134my1 y26 y1y2x12 x22x12 x 2

5、2x12 x 2212m12mm24 m24012x12x 22y0y0S0 S0mS: x413m0, P1,3,Q1,3A 1Py33x,A2Q2263y3 x3,S14,3.72m1, P8,3,Q0,1A 1P11A 2 Q1yx,yx24,1 .5561,S32S: x48m, 直線 A 1P 與直線 A 2Q 的交點(diǎn) S 均在直線x2y21 得以下證明對(duì)于任意的: x4 上。事實(shí)上，由4xmy122即24 y22my3 0，記Px,y， ,則Qmy14y4,112m2y1y2m,y y3。 9分2221m2m44A 1P 的方程是yy1x2 , A2Q 的方程是y2x2 , 消去

6、y, 得y1x 2y2x2x12y2x1 22x 2x2以下用分析法證明x4 時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明6y12y 2, 即證x 1 2x 2 23y1my21y2my13 即,證 2my 1y2 3 y1y2 .2my 1y3 yy6m6m20,式恒成立。 這說(shuō)明，當(dāng) m 變化時(shí)， 點(diǎn) S 恒在定直線: x4 上。m24m241x 2y21 得 my24y 24, 即 m24 y2解法三：（）由42my30 。1xmy1記 Px1 , y1,Qx 2 , y2，則 y1y 22m,y1 y23。 6 分22m4m4A 1P 的方程是 yy1x2 , A 2 Q 的方程是 yy2x

7、2 ,7 分x12x 2 2yy1x2,x12y1y2由得x2x2 ,9 分y2x 22y2x2,x1x 22即 xy2x12y1x 222y 2my13y1 my 212my1y 23y2y122 y1 x 2y 2 my13 y1 my223y 2y1y2 x1212m332my1y14m42m224.12 分2m3y1y14m2這說(shuō)明，當(dāng) m 變化時(shí)，點(diǎn) S恒在定直線: x4 上。 13 分3、已知橢圓 E 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為21 ，離心率為 e22（）求橢圓 E 的方程；（）過(guò)點(diǎn)1, 0 作直線交 E 于 P 、Q 兩點(diǎn)，試問(wèn)：在 x 軸上是

8、否存在一個(gè)定點(diǎn)M ，MPMQ 為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由x222ac21解：（ I）設(shè)橢圓 E 的方程為 x2y21 ,由已知得：c2。2 分aba2a22221橢圓E 的方程為x 2y21 。3 分c1bac2（）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)，又設(shè) P(x1 ,y 1),Q(x2 ,y 2 ) ，則：MP(x 1m, y1 ),MQ(x 2m, y2 ),MPMQ(x 1m)(x 2m)y1 y2x1x2m(x 1x 2 )m2y1y 2 。 5 分當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為： yk(x1) ，則由x2y21得 x22k2(x1)22

9、02yk(x1)(2k21)x24k2x(2k22)0 x1x 24k 2, x1x 22k227 分2k212k2122k2y1 y2k (x 1 1)(x21) k x 1x 2(x1x 2 ) 12k21所以 MP MQ2k 22m4k2m2k 2(2m24m1)k 2(m22)9 分2k212121212k2k2k5 ，對(duì)于任意的 k 值， MP MQ 為定值，所以 2m24m12(m22) ，得 m4所以 M(5,0),MPMQ7 ；11 分416當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，直線l: x1,x 1x 22,x 1x 21,y 1y 2125得MP MQ7由 m416綜上述知，符合條件的

10、點(diǎn)M 存在，起坐標(biāo)為513 分(,0) 4法二：假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0) ，又設(shè) P(x1 ,y 1),Q(x2 ,y 2 ), 則： MP(x 1m,y 1),MQ(x 2m,y 2 )MPMQ(x 1m)(x 2m)y1y 2 = x1x 2m(x 1x2 )2y1y2 .5 分m當(dāng)直線 l的斜率不為0 時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 xty1，由x2y 21得 (t22)y 22ty10y1y22ty 217 分2t2,y 122xty12tx1x2(ty11) (ty 21)t2 y1y2t(y1y 2 )1t22t 2t 222t 22t22t22x1x 2t(y 1y2 )22t 22t 2

11、44t 22t22MP MQ2t 224mm21(m22)t22m24m19 分t22 t22t22t 22設(shè)MP MQ則 (m22)t 22m24m1t22(m22)t22m24m1(t22)m220m545M(11 分(m 22 )t 22m 24m 1 2 02m24m 1 2 07,0)416當(dāng)直線 l的斜率為 0時(shí)，直線 l : y0，由 M(5 ,0) 得：4MP MQ(25252527) (4)16416綜上述知，符合條件的點(diǎn)M 存在，其坐標(biāo)為(5。 13 分,0)44、已知橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x24y的焦點(diǎn)，離心率e2，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) F 作與坐標(biāo)軸不

12、垂直的直線l ，交橢圓于 A 、 B 兩點(diǎn)。5（ I ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn) M ( m,0)是線段 OF 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(MA MB)AB ，求 m 的取值范圍；（）設(shè)點(diǎn) C 是點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x 軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得 C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解法一：（ I）設(shè)橢圓方程為x2y21(ab0) ，由題意知 b1a2b2a2b2225故橢圓方程為x2y21a 25a5（）由（ I）得 F (2,0)，所以 0m2 ，設(shè) l 的方程為 y k( x2)（ k0 ）代入 x2y21，得 (5k 21)x220k2 x20k

13、 250設(shè) A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),5220k2則 x1x220k5y1y2k ( x1x2 4), y1y2k( x1x2 )5k 2, x1 x25k 2,11MAMB( x1 m, y1)(x2m, y2 )( x1x22m, y1y2 ), AB(x2x1, y2y1)(MAMB)AB,( MAMB )AB0,( x1x22m)( x2x1)( y2y1 )( y1y2 )020k212m4k 20,(85m)k 2m0 由 k 2m0,0m8 ，5k25k 2185m5當(dāng) 0m8(MAMB)AB 成立。時(shí)，有5N ( 5 ,0) ，使得 C 、 B 、 N 三

14、點(diǎn)共線。依題意知（）在 x 軸上存在定點(diǎn)C(x1,y1 ) ，直線 BC 的方2程為 y y1y2y1 ( xx1 ) ， 令 y0 ，則 xy1 (x2x1 )x1y1 x2y2 x1x2x1y2y1y2y1l 的方程為 yk ( x2), A 、 B 在直線 l 上，y1k( x12), y2k( x22) xk( x1 1)x2k ( x21)x12kx1x22k( x1x2 )k( x1x2 ) 4kk( x1x2 ) 4k2k20k 252k20k2555k 2125k 21在 x 軸上存在定點(diǎn)20k2N ( ,0) ，使得 C B N 三點(diǎn)共線。k4k25k21解法二：（）由（ I

15、 ）得 F (2,0)，所以 0m2 。設(shè) l 的方程為 yk( x2)( k0),代入 x2y21，得(5k 21)x220k 220k250設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 則5x1x220k 220 k25y1y2k ( x1x24)4k, y1y2k( x1 x2 )5k 2, x1 x25k 215k 211(MAMB) AB,|MA| |MB|,(x1m) 2(x1x2 2m)( x1x2 ) ( y1 y2 )( y1y2 )0,222y1( x2m)2y2 ,(1 k )( x1x2 )2m 4k0,(8 5m)kmm8k2188) k 0, k205

16、k255(5k21當(dāng) 0m8時(shí)，有 (MAMB )AB 成立。500m85（）在 x 軸上存在定點(diǎn)N(5,0) ，使得 C、 B、 N 三點(diǎn)共線。2設(shè)存在 N (t,0), 使得 C 、 B 、 N 三點(diǎn)共線，則 CB / CN ，C B ( xx,yy) , C N ( t1,x，)y (x2 x1 ) y1(t x1 )( y1y2 ) 012211即 (x2x1 )k( x12) (t x1 )k (x1x24) 0 2x1x2 (t 2)( x1x2 ) 4t 020k 25(t2)20k 20 ，5存在 N(5C B N 三點(diǎn)共線。214tt,0) ，使得5k25k 21226、（福

17、建卷） 已知橢圓 x 2y 21 的左焦點(diǎn)為 F ，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。2（）求過(guò)點(diǎn)O、F ，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l 相切的圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F 且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線與x 軸交于點(diǎn) G，求點(diǎn) G 橫坐標(biāo)的取值范圍 .本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解：（I）a22, b21c1,F(1,0), l : x2.圓過(guò)點(diǎn) O、 F，1M 在直線 x上。2設(shè) M (1 ,t ), 則圓半徑 r(1)(2)3 .222由 OMr , 得 (1 )2t 23 ,解得 t2.22所求圓的方程為( x1 )2( y2) 29 .24（ II ）設(shè)直線