不等世界的存在問題專題

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)高考數(shù)學(xué)壓軸難題歸納總結(jié)提高培優(yōu)專題2.13等或不等解存在轉(zhuǎn)化值域可實(shí)現(xiàn)【題型綜述】導(dǎo)數(shù)研究方程的根或不等式的解集利用導(dǎo)數(shù)探討方程f(x)_g(m)=O解的存在性，通?？蓪⒎匠剔D(zhuǎn)化為f(x)=g(m)，通過確認(rèn)函數(shù)f(x)或g(m)的值域，從而確定參數(shù)或變量的范圍;類似的，對于不等式f(x)g(m)30(E0)，也可仿效此法.【典例指弓】例1.已知函數(shù)f(x) = X .X +1(1) 若關(guān)于x的方程f(x)-3x-m = 0在x"1,址)上有解，求實(shí)數(shù)m的最大值;(2)是否存在xo <0，使得f (x )=3xo成立？若存在，求出

2、Xo，若不存在，說明理由;【思路引導(dǎo)】(1) 方程在xl,亦)上有解，等價(jià)于f(x)-3x=m有解，只需求f(x)-3x的最大值即可；(2)假設(shè)存在Xo<O，可推導(dǎo)出矛盾，即可證明不存在.試題解析:(1) H為_<(刃=上飛疋0(無次)，可知/Lko)上遞甌 所以/(對=3在匕皿)上逵瓶 其匕+ 1)最大值為所以1加蘭一一時(shí)有解，剛的最犬值-一(2) 不存在.假設(shè)存在觀"，則0<3切<L由于氏2臚成茁得g 土* <1,解得2牛<2,y<G矛盾故 花十12x2+ax+2的圖象關(guān)于y軸對稱.不存在<0 J使得(話二于成立例2.已知函數(shù)f(x

3、)=b-xlnx的最大值為-,g(x)= e全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)(I )求實(shí)數(shù)a,b的值;(n )設(shè)F(x)=g(x)+f(x),是否存在區(qū)間m, nG(1,P ),使得函數(shù)F(x)在區(qū)間m,n上的值域?yàn)閗(m+2),k(n+2)?若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明 理由.【思路引導(dǎo)】減，可得f (X )的最大值為f f-2丿(I )由題意得nx1，可得f(x )在fo,1上單調(diào)遞增，在(丄，母上單調(diào)遞 I e丿2 丿=-+b，可得b=0。由g(x) = x2+ax + 2的圖象關(guān)于y e軸對稱，可得 a=o。( n )由題知 F(x) = x2-XI nx

4、 + 2，貝J FYx) = 2x-1 nx-1，從而可得FO 在 (1嚴(yán))上遞增。假設(shè)存在區(qū)間m, ng(1嚴(yán))，使得函數(shù)F(x )在m, n上的2值域是k(m+2)k葉四，則胃鳥!：；2鳥m；2)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的 方程X2 -xlnx+2 = k(x+2 )在區(qū)間(1,畑)上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根的問題，即2 2X +2k = x -曲十2在區(qū)間(1嚴(yán))上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根，令 h(x)=x -x|nx + 2X迂(1,畑)，可得h(x )在區(qū)間(1,垃上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等實(shí)根。全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）試題解析：門由題青得/x） = -1qz-L令f（

5、K）=s得工=-, 當(dāng)兀0丄時(shí)門刈沁；/（刃單調(diào)遞増，當(dāng)時(shí)，f （劉5, /單調(diào)遞貳 乜 /二當(dāng)X J時(shí)，/（乂）有極大值，也是最大值，且為二丄十4二-+ b=-、解得* = 0,又耳（益=兀2 + £h；+2的團(tuán)象關(guān)于y軸對稱二函數(shù)琴CC為偶函數(shù), 二 £（-兀）=胃0a = 0 全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）11】由（1知二Jdflx、 g（刃=;?十2則F(兀)=jdiix+2 ,= 2kInx 1J魚&匕、=Fjf) = 2x-liuf-l、.Vxe(L). F(力在(L丹“上遞増.假設(shè)存在區(qū)間磯用匚（1*-Kffl） J使得iSl數(shù)F&am

6、p; ）在胡同上的值域是fc（酬十2）,十2）,F（m）=異+2 =上（/）3 + 2） 人片（1；） = «，2 二疋w+2）'問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程X2 -XInx+2 = k（x+2 ）在區(qū)間（1,址）上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根,即方程"匕2在區(qū)間（1,址）上是否存在兩個(gè)不相等實(shí)根,令 h(x)=x2x|nx+2 ,xr1,如X +22則 h(x)=x +3x-4-2|nx2(x+2)設(shè) P(x) = , x-(1,+貝 J p '(X )=2x +3-22x Hx 2)ao， X 忘(1,畑 x故p（x ）在（1,址上遞增, 故p（x）：>p（1

7、） = 0，所以h（>0，故h（x）在區(qū)間（1嚴(yán)）上單調(diào)遞增,X +2故方程k=x jx+2在區(qū)間（1,垃）上不存在兩個(gè)不相等實(shí)根，全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）綜上，不存在區(qū)間m,門匸（1,母）使得函數(shù)F（x）在區(qū)間m, n上的值域是點(diǎn)睛：（1）解決導(dǎo)數(shù)綜合題時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性、極值是解題的基礎(chǔ)，在得到單調(diào) 性的基礎(chǔ)上經(jīng)過分析可使得問題得以解決。（2）對于探索性問題，在求解的過程中可先假設(shè)結(jié)論成立，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，則說明假設(shè)不成立；若無矛盾出現(xiàn)，則 說明假設(shè)成立，從而說明所證明題成立。1 1例 3 .已知函數(shù)為常數(shù) f（x） = ln-

8、+ -ax） + K-aK,（a > 0）（1）當(dāng)廠f在*弓處取得極值時(shí)，若關(guān)于X的方程fW-b = 0在0劉上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）若對任意的atVI,總存在心E1 、 ， 歹1 ,使不等式+ 23-3）成立，求實(shí)數(shù)酎的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）對函數(shù)恤），令丐）=0,可得卻的值，利用導(dǎo)數(shù)研究f列的單調(diào)性，然后求得甸的rl最值，即可得到b|的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出鬧在I訓(xùn)上的最大值，則問題等 價(jià)于對對任意日ES,不等式ln - + -aUl-a>m（3心-3）成立，然后構(gòu)造新函數(shù)h創(chuàng)，再對h求導(dǎo)，然后討論=得出h的單調(diào)性，即可求出m的取值范圍.

9、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)試題解折:Iaqi) 3心IT訂”呵才匚，時(shí)畑咖斗，臧 1*-H1 + 3m21 /13531又蝕"誕卜浮灼所吒心1- f&)u 的 +2xa =1 * ax1 + 5Xl+aK+(2 -) 斗2利-(J' 3)|Ed1 (a - 2Ya + I)- 2 1因?yàn)長 < a <所以=<:0?艮卩< -Xa 223232rl麗加COfi p 1上單調(diào)遞増n斷以奴= £-+沖 * - a* 1 -a > nn(日y即-可成立冋題等價(jià)于対任意并a釦不等式I設(shè)h。)=* 1 a - rn( J

10、 *2a - 3)(1 < a < 2)>總*牛 1)IF所以2 0|不可能使h(apq恒成立，故必有，因?yàn)?日+ 1"1若U1則h京 1 - 2ma * ?m .1 + a當(dāng)2 時(shí)，hGKO，所以呵在區(qū)間3)上單調(diào)遞減，此時(shí)hCa)< h(i)= 0，可知h在區(qū)間(1.2)上單調(diào)遞增，在此區(qū)間上有hCa)>h(l) = o滿足要求若帶me80,可知詢在區(qū)間卜叫亠胡)上遞減，在此區(qū)間上有 麗5山0|,與心qi11恒成立相矛盾，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合 性強(qiáng)，難度較大，屬于難題.在處理導(dǎo)

11、數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，一般涉 及求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后含參數(shù)的問題注意分類討論，對于恒 成立的問題，一般要構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，涉及到的 技巧較多，需多加體會(huì).【同步訓(xùn)練】21設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)l nx , g(x)=4，已知曲線y = f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與 e直線2x_y =0平行.(1)求a的值;(2) 是否存在自然數(shù)k ,使得方程f(x)=g(x 在 (k,k + 1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)求出f(x )的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可

12、得a =1;(2) 求出f(x卜g(x )的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點(diǎn)存在定理，即可判斷存在 k=1.試題解析： 由題tin.曲線y = /()在點(diǎn)(1/(1)處的坯辭率為乙所以f(1) = 2,又/(X)= lflX + - + l,所以 13=1.(2) 時(shí)方稈刃二列0在(L封內(nèi)存在唯一的根 設(shè)丙(刃=/仗)一列對=(乂+1)血一工0又 h(2 )=31 n2 -斗=1 n8-t>1T = 0 ,ee所以存在xo巳1,2 )，使h(xo )=0 .因?yàn)?h(x ) = 1 nx+ 2+1 +土二,所以當(dāng) X 巳 1,2 )時(shí)，- >0 ,當(dāng) X 巳 2,址)時(shí),Xeeh(X)

13、AO , 所以當(dāng)Xp,邑)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增, 所以k=1時(shí)，方程f(x)=g(x )在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，同時(shí)考查零點(diǎn)存在定理和分段函數(shù)的最值, 考查運(yùn)算能力，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題.處理導(dǎo) 數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點(diǎn)，一般 涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立 問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不 等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會(huì).2 .已知函數(shù)f(X ) =

14、a一31 nx .(1)若函數(shù)f(x )在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3) 設(shè)函數(shù)9(x1 = ，若在1,e 上至少存在一點(diǎn)xo，使得f(xo)：g(xo)成立，求X實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)由題意得導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)恒非負(fù)， 再根據(jù)二次方程恒成立條件得實(shí)數(shù)a 的取值范圍；(2)將不等式有解問題，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題, 再利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值，即得實(shí)數(shù) a的取值范圍.全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）試題解析: 廠（工）十號丄事嚴(yán) J因?yàn)楹瘮?shù)/（刃在其定義域內(nèi)為増國如JX stX.所以CC?口蘭0?小0恒成立丿當(dāng)口<0時(shí)，顯熱不成豈；

15、當(dāng)時(shí)， >0,要滿足Li/-3jr+«>0, A>0a4'恒成立貝IA=9牡？ <0 2a_ 0 王一2 設(shè)函數(shù)/i(x) = fx)-s(x =J 1 1 丸r 1a X31m J Jce hq ,X則原問題轉(zhuǎn)化為在1,e上至少存在一點(diǎn)X0，使得h（X0）:>0，即hxhaxAO .a >0時(shí),f 1 ) 3eh(x) = a x- -一一31 nx ,I X丿XX-丄二0, 3e>0 ,In x0,則 h(x)<0，不符合條件;XX2a+3e 3 ax2 -3x+(a+3e) a(x +1)+(3e-3x)h4x) = a+

16、2X X由 1,e,可知hx戶a(x2 +1 )+(3e-3x )>0,X2整理得6e則 h(x )在 &,e單調(diào)遞增，h(x hax = h(e ) = ae- - 6 >0 ,e綜上所述，a亡,畑 點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來, 使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把 問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分 離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難 研究，就不要使用分離參數(shù)法.3.已知函數(shù) f(x) = (a+1)lnx + x-，其中

17、a-R.x(I)求f (X )的單調(diào)區(qū)間;(n)若在1,e上存在xo，使得f(Xo)<O成立，求a的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)的符號相關(guān)，而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(xAM + yx + a)X故可以根據(jù)a的符號討論導(dǎo)數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若不等式f(x)<0在1,e上有解，那么在1,e上，HxhcO .但f(x)在l,e上的單調(diào)性不確定，故需分a >_1,_eva c_1,a <_e三種情況討論.試題解析：廣(釜)=四+1+號=宀巴2十3吟+叫“0XXXX 當(dāng)口 >0時(shí)，在咒E (仇代)上才丫兀)>0,/&)在(0.-W

18、)上單調(diào)遞増？ 當(dāng)口"時(shí)，在xe(),)±/Xx)<0；在 xe (-«,-Ko)±/'(x)>O)所liA/(x)在(Hr?)上單調(diào)遞減，在-口，燉)上單調(diào)逛增.綜上所述，為4豆0吋，fW的單調(diào)遞増區(qū)間為蘭1x0時(shí)，/V)的單調(diào)遞減區(qū)間為qt, 單調(diào)遞增區(qū)間為(-仏柚).(2)若在1,e】上存在X0，使得f(X0)成立，則f(x)在l,e上的最小值小于|o .f(X )在l,e上的f(x )在l,e上的當(dāng)-a蘭1，即a>-1時(shí)，由(1)可知f(x )在l,e上單調(diào)遞增, 最小值為f(1 ),由f(1)=1-acO，可得aAl,

19、當(dāng)-a工e，即a<-e時(shí)，由(1)可知f(x )在l,e上單調(diào)遞減,最小值為f (e )，由f (e ) = (a+1 )+e-旦0，可得a* 門； eeT當(dāng)1<v<e，即e<a1時(shí)，由（1）可知f（x）在（1,a）上單調(diào)遞減，在（-a,e）上單調(diào)遞增，f (X 在 1,e上的最小值為 f ( V )=(a +1 )ln (a )a + 1，因?yàn)?0<ln (-a)<1 ,所以(a + 1)<(a +1)ln( _a)<0，即(a+1 ) n( -a)-a + 1A(a +1)-a +1 = 2，即 f(-a)A2，不滿足題意，舍去.綜上所述，實(shí)

20、數(shù)a的取值范圍為L-，一竺）1（1嚴(yán)）.I e 1 丿點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性往往需要考慮導(dǎo)數(shù)的符號，通常情況下，我們需要把導(dǎo)函數(shù)變形，找出能決定導(dǎo)數(shù)正負(fù)的核心代數(shù)式，然后就參數(shù)的取值范圍分類討論.又不等式的恒成立問題和有解問題也常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值討論,比如：“ f (x)<0在a,b上有解”可以轉(zhuǎn)化為“在a,b上，有f （xm, <0 ”，而“ f (x)<0在a,b恒成立”可以轉(zhuǎn)化為“在a,b上，有f（xmax<0”.34 .已知函數(shù) f（X ） = （x2-2x ）1 nx3X2+4x .（1）若f（x ）在（a,a中1 上遞增，求a的取值范圍；(2)若 Px叮 1,

21、e2, f(x)vm與 f(x):>20m-1 至少一個(gè)成立，求m的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：e止2.7,e4止54.6 ）【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得f（x ）在（0,1 ）,（e嚴(yán)）上遞增，又f（x ）在（a,a + 1）上遞增，故（a,a+1F（0,1或（a,a+1F（e,丘），解得a=0或淪e,即為所求。（2）結(jié)合（1）中結(jié)論及條件可得 f(X m = f (e )= - e2 中2e , f (x hax =*4。分 20mT m ,和e41120m-1-m兩種情況可求得 m + 或me2+2e .40 202試題解析:(1T/(K)= (f 2jrliix+4jt， 2二 f (兀

22、) =(2jt - 2)liix+(jt? -2jt)丄一 3jc+4 = 2jt - 2)1酥十 22兀_Xj=2乂一2）（応一 1）,解（昌0咒1或耳：密"6）在9學(xué)（務(wù)+X）上遞増,又+1）上遞增,+或(探4 + 1)匚 S+DD),二實(shí)數(shù)門的取值范圍為低他）5® -（2）由（1）知，f（x ）在1,e）上單調(diào)遞減，在（e,畑）上單調(diào)遞增1 2二 f (xh = f(e)=-+2e,又 f (1 ) = 5 , f (e=當(dāng)20m-1 cm,即m c丄時(shí)，顯然成立； 19當(dāng) 20m-1m，即 ml 時(shí)，可得-eS-201 或-e2m， 1922 m<£

23、+丄或 口>-丄£ +2e402024-e£2.7,e 止 54.6 ,eS-5 ,2_2 2二 f (xhx -e-1 2. e . 1 e +2e十24020，全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解).丄細(xì) < 厶丄或-1e2e1940202綜上m+£0或卜2+2e -所以m的取值范圍為e41 ） +'4020 J丄丄e2+2e- 1。V 2丿點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的方法(1)若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間容易求出，可轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，在此基礎(chǔ)上得到關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解。(2)若函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不易求出，可利用f 7x0(&q

24、uot;)在所給區(qū)間上恒成立解決,解題時(shí)可根據(jù)分離參數(shù)的方法求解出參數(shù)的范圍。1a5 .已知函數(shù) f（X ）=xainx, g（X ）=（a 壬 R）.X若a=1，求函數(shù)f(X)的極值;設(shè)函數(shù)h(x)=f(X)-g(x )，求函數(shù)h(x )的單調(diào)區(qū)間；若在區(qū)間1,e(e=2.71828)上不存在x。，使得f(Xo)<g(Xo )成立，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍.【思路引導(dǎo)】(1)先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)符號，確定極值(2)先求導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，討論1+a與零大小，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性(3)正難 則反，先求存在一點(diǎn)X0,使得f(X0)<g(x0 )成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取

25、值范圍，由存在性問 題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，結(jié)合(2)單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取補(bǔ) 集得結(jié)果試題解析;工一1當(dāng) 0=1 時(shí)，/(x)=x-llkx /'fjc) =>a=> X>1，列極值分布表Jtf（工十1）工一（1十口）二/0）在co,i）上遞減，在（1,+8）上遞魯j（A）的極小值為/=1；(II)內(nèi)(jc)二 JC一 431llX +匕竺肝仗)X當(dāng)口玉1時(shí)，臚（X） 0,- -丙（工）在©十00）上遞増;當(dāng) 口>一1 時(shí)，kx)>Qx>+a ,在（0十口）上遞溉 在（1+化他）上遞増;（111先解區(qū)間T上存在一點(diǎn)，使得/（

26、對Y貞吒）成立0丙匕）二/（兀）-£（Jc）uO在胡上有解o當(dāng)xet e時(shí)鳳兀鳥0由（IO知當(dāng)口玉一1時(shí)，恥刃在he上逛増，-再"=呱1） = 2+兇0二1-2©當(dāng)3-1時(shí)內(nèi)6）在+在（1十吃F）上逼増為一15"時(shí)，列刃在胡上遞増二虬也=血（"=2斗郡vOn盤C2_上無解 當(dāng)O 土 EI時(shí)乩町在Le上遙減2 2,、f 、丄 1 +a /ce+1e +1 ；二 hmin =h(e )=e-a +(0= a；，a>；ee-1eT當(dāng)0ae-1時(shí)，h（x ）在I1,1+a】上遞減，在（1+a,e）上遞增/. hmin =h(1+a )=2 + a

27、-aln(1+a)令 F(a)=2+a-a|n (宀)=2 + _門(亡)，貝 J3)=-$- 1 aa二 F (a 在(0,e-1)遞減，/. F(a)：>F(e-1 ) = Zo ,二 F(a)<0無解, eT即 hmin =2+aaln(1+a)v0無解;全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)綜上：存在一點(diǎn)xo,使得f(Xo)<g(Xo)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為:- 2S宀Xo，使得f(Xo)vg(Xo)成立，頭數(shù)|a|的取值范圍為e H 1所以不存在一點(diǎn)a<_2或呂點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的

28、問題(有解，恒成立，無解等)，而不等式有解或恒成立 問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題.6.已知函數(shù) f (X ) = x2 -(a+2 )x+alnx( a為實(shí)常數(shù)).(1)若a = -2,求曲線y = f (X )在x = 1處的切線方程； 討論函數(shù)f(X )在1,e上的單調(diào)性； 若存在l,e,使得f (X )蘭0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)求出切線的斜率，f'(1) = 0，即可得出切線方程；(2) f，(x)=(2x-aXXT),x1,e，分a蘭2、2<a<2e a>2e三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號，即可得出結(jié)論；分a <2、2

29、丈a<2e a>2e三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性并求出最值，則易得結(jié)論.全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)試題解析:d=2吋=所求切線方程初尸1./3 = 2廠十2)上=左-G十-鎖"1)K 詢 XXX當(dāng)¥蘭1即口乞時(shí)疋調(diào)f(5二匕此時(shí)y(刃在胡上單調(diào)増;當(dāng)叫“即2 5汕辿勺時(shí)，rtx)<o：/(x)； I-上單謂減j 2丿時(shí)f(刃在(J4上單調(diào)増:當(dāng)專仝即>天叭 雄胡=)<)減 川對在L司上單調(diào)甌當(dāng)a蘭2時(shí)，因?yàn)閒(x)在1,e上單調(diào)增，所以f(x)的最小值為f (1 )= -a -1,所以一1 <a <2當(dāng)2<a&

30、lt;2e時(shí)，f(x誑T上單調(diào)減,在l2,e12丿上單調(diào)增,"a 'ia2/ a=-a + al n =a42 1所以f (X )的最小值為fa a因?yàn)?2 <a cZe所以0 <1 n a 幻上 <: +1 <£ +1. 2242所以f=a In 旦一旦1 <0,所以 2cav2e. I 24丿當(dāng)a 3 2e時(shí)，f(X )在l,e上單調(diào)減,所以f(X )的最小值為f (e) = e2 -(a+2 )e + a ,因?yàn)閍>2eA匚空所以f(e)£0,所以a>2e，綜上,a >-1 e T7.已知 f(x)=x

31、- -alnx，其中 a忘 R . X全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）（1）求函數(shù)f （X ）的極大值點(diǎn);(2)當(dāng)a _QC,1+1L 1+e,母）時(shí)，若在1,el上至少存在一點(diǎn)x0，使fMpel成I e卜 立，求a的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）求導(dǎo)，對a進(jìn)行a-1 <0,0 < a-1（1, a-1=1, a-如四類討論，得到極大值的情況;（2）在Ji1,/!上至少存在一點(diǎn)xo，使f（Xo）:>e1成立，等價(jià)于當(dāng)xp,e時(shí),Bgf（xmax>e-1,結(jié)合（1）的單調(diào)性情況，求f （X max，得到a的取值范圍.試題解析: 由銅八刃=1+二1上=宀駕（一

32、1）=（工-1）罕（T,XXJCJC當(dāng)口一1蘭0,艮卩口£1時(shí)，/（工）在（0.1）上逛涮J在（L-KU）上遞鬻無極大值;即13C2時(shí)在（0衛(wèi)一 1）上遞増?jiān)谝?）上遞減在増，所以_/（兀）在=處取極大值扌 當(dāng)口-1=1,即"2時(shí)，/（刃在（Eg）上遞増無極大値,當(dāng)0-1>1吋，即dn2時(shí)，/（打在（0J）±i$e.在（!,"】）上遞爲(wèi)在y-h七0）上遞亀在 無=1處取根大ti綜上所述當(dāng)&劉或"2時(shí)，刃無極大值, 當(dāng)1切：2吋，/（力的®大值點(diǎn)為豈日A 2時(shí)/（X）的極大值點(diǎn)為X=1 .上至少存在一點(diǎn)使/（兀）>

33、一1成立，等（介于當(dāng)Jce -.e時(shí)/（劉由cn抽 當(dāng)<1+上時(shí)，在1J上園氐在L司上遞增, _皂=max f -"屢使/（工）皿咸立必煎使/ -e-ljSiZ或已-1成立"由/卩卜丄一W l）e + 口 X-1,解得 巳丿由/(e) = e- -oe-1 ,解得acl . e/.fl < 1 .<be u._ + 1+圄數(shù)/（對在：1上謹(jǐn)増，在山住上誦減,|_e J綜上所述，當(dāng)戊時(shí)J在-上至少存在一點(diǎn)使/（花）AE-1成立.8.已知函數(shù) f(x) = x-alnx ( a>0)（1）若a=1，求f（x ）的極值;Xo（2）若存在xo-l,e ，使得

34、f（Xo）+m<O成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）- g（ X）Ln <0 , 31, e】）成立，設(shè)h（x） = f（x） g（X）= X alnx +二，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.x試題解析: 時(shí)7 /(X)= lux,a數(shù)/（刃的定義域是（0.+®）.I y 1 門劉=1-丄JT X令廣（刃0,解得：乂1,令_/丫工）0,解彳導(dǎo)=-故/G）在 1）遞;亦在1，+時(shí)逼醫(yī)故/（x）ll/（l） = b無極大值（2）存在Xo忘1,e，使得f （Xo

35、廣1 +aXo0成立,等價(jià)于f（X）+上X丿、min cO，（ x亡 1, e）成立設(shè) h(x )=f(X)+上=x-alnx+Lxx則 hsxn令 h'（x）=0，解得： x = -1 （舍），x = 1+a ； 當(dāng)1 +e, h(x )在1, e遞減二 h(x h =h(e) = e2-ea+1+ae2+4令 h(xmin<0，解得：a：1當(dāng)1+ae時(shí)，h（x ）在（1,a+1遞減，在（a+1,e ）遞增全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)二 h（x hin =嘰1+心=珅_1 n（a+1） + 2>2與 h（x）

36、min <0矛盾2嚴(yán) Ue +1綜上， a >e 19 .已知函數(shù)+ m ,E（x） = f（X）+ 4x + aillnx（a 主 0）.(1)求函數(shù)冏的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于的方程盼戸日有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)白的取值范圍.【思路引導(dǎo)】/ 八 P 來Zr+sA, (l+2xXl-2x,從而得單調(diào)區(qū)間; 1(1) 函數(shù)求導(dǎo)f 00 =1 _(2) 方程- + 3lllin)i-a = 0有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)h(x) = - + aInx - a存在零點(diǎn)，分類討論函數(shù) 呦的 單調(diào)性，從而得有零點(diǎn)時(shí)參數(shù)的范圍.試題解析:依題意，得心)"篤心口+吋XXW令f&）A0,即2

37、1;>0-f'（K）<0,即L 2x<0-故函數(shù)伽的單調(diào)遞増區(qū)間為單調(diào)遞刪區(qū)間為(尹1- + allin)tX解那斗(2)由題得，g(x) = fCx) + 4x + ainx =1依題意，方程-+拗咸有實(shí)數(shù)根,X1即函數(shù)h(x) = - + aInx - a存在零點(diǎn).X,1 a ax -1又hW+；廠 K K X令 hg二0,得* =-. 3當(dāng) 3 3時(shí)，h&cO.即函數(shù)在區(qū)間（6十呵上單調(diào)遞減，而 h(l) = l-a>0,所次hg =所以函數(shù)咖存在零點(diǎn);T(T)1丄a（T-+*）0+ft小萌J當(dāng)"00寸威小hO）隨X的孌化情況如下表:a4alr-a=-祈陽為函數(shù)h何的搬卜值，也是最丿卜值a即站XI時(shí)，函數(shù)h疝沒有零點(diǎn)i 即a總1時(shí),注意到h（l） = l-asyh（e） = 一 + 33 = ->0,Ee所臥函數(shù)h何存在零點(diǎn).綜上所述*當(dāng)a （吧0）U 口«）時(shí)F方程聽0*有實(shí)數(shù)根.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)常用的方法和思路:（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題解決;(3) 數(shù)形結(jié)合