變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

1、全國名校高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算、選擇題1.（優(yōu)質(zhì)試題惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=xcosx,則f（ n+f 'nn1 1解析 T f (x)= x2cosx + x( sinx). f( f扌=1 + - 1)= 3。故選 C。2丿n n'/ n答案 C2 .曲線y = ex在點A（0,1）處的切線斜率為（）D.e解析 由題意知y' = ex,故所求切線斜率k=exi x= o = e0= 1。故答案 A3 .設(shè)曲線y=七詈在點（2，1如的切線與直線X ay+ 1 = 0平行，則實數(shù)a等于（）A . 1B2C. 21 cosx

2、D. 2解析 V y= .2 ,sin x 二 y' 1 x=n= 1,o1全國名校高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)1由條件知-=1,二a= 1。故選A。a答案 A154.若存在過點(1,o)的直線與曲線y=x3和y= ax2+1；x 9都相切，則a等于()亠 25A 1 或64解析因為y= x3，所以y' = 3x2,設(shè)過點(1,0)的直線與y= x3相切于點(xo, x3), 則在該點處的切線斜率為k= 3x2,所以切線方程為y xO = 3x2(x Xo),即 y = 3xox 2xo o又點(1,0)在切線上，所以3Xo = o 或 Xo= 2。當(dāng)Xo= 0時

3、，切線方程為15y= o,由 y= o 與 y = ax2+才x 9 相切F曰25可得a= 64；3當(dāng)xo= 3時，切線方程為y=務(wù)-27由y=仝一27與 y= ax2+x 9相切，可得 a=1。25綜上，a的值為1或65。故選A。答案 A5. (優(yōu)質(zhì)試題 上饒模擬)若點P是曲線y=x2 Inx上任意一點,則點P到直線y = X 2距離的最小值為()B2D.y/3解析因為定義域為(0, + OO),所以y' = 2x x= 1,解得x= 1,2則在P(1,1)處的切線方程為x y= 0,所以兩平行線間的距離為d=f2=邊。故選B。答案 B6. (優(yōu)質(zhì)試題 安慶二模)給出定義：設(shè)f

4、9; (x)是函數(shù)y= f(x)的導(dǎo) 函數(shù)，f (x)是函數(shù)f' (x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f (x) = 0有實數(shù)解xo,則稱點(Xo, f(Xo)為函數(shù)y=f(x)的“拐點”。已知函數(shù)f(x) = 3x+4sinx cosx 的拐點是 M(xo, f(xo)，則點 M( )A .在直線y =- 3x上B .在直線y = 3x上C.在直線y= 4x上D .在直線y= 4x上解析 f' (x) = 3+4cosx + sinx, f (x) = 4sinx + cosx,由題意知 4sinx0 cosx0 = 0,所以 f(X0)= 3x0,故 M(x0, “心)在直線 y= 3x

5、 上。故選B。答案 B二、填空題7. (優(yōu)質(zhì)試題 天津高考)已知函數(shù)f(x) = (2x+ 1)ex, f'(X)為f(x) 的導(dǎo)函數(shù)，貝J f' (0)的值為解析 由題意得f' (x)= (2x+ 3)eX,則得f' (0)= 3。答案 38. 若直線I與幕函數(shù)y = xn的圖象相切于點A(2,8),則直線I的4全國名校高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）方程為解析由題意知，A(2,8)在y= xn的圖象上，2n= 8,.n = 3, y = 3x2,直線I的斜率k= 3X22= 12,又直線I過點(2,8)o y 8= 12(x 2),即直線 I 的方

6、程為 12xy 16= 0。答案 12X y 16= 09. （優(yōu)質(zhì)試題 沈陽模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M在曲線 C: y=X3 X+ 1上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線 C在點M處的切線 的斜率為2,則點M的坐標(biāo)為解析 y = 3x2 1,曲線C在點M處的切線的斜率為2,- 3X2 1 = 2, x= ±，又.點 M 在第二象限，二 x= 1, y= （ 1）3 （ 1） +1 = 1,二點 M 的坐標(biāo)為（一1,1）。答案（1,1）110. 若函數(shù)f（x） = 2X2 ax+Inx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是解析/ f(x) = -X2 ax+ Inx,1-f (

7、x) = X a + X o f（x）存在垂直于y軸的切線, f （X）存在零點，11即 x+ - a = 0 有解，又 T x>0,. a= x+ -2。XX答案 2,+乂）三、解答題11. 已知函數(shù) f(x) = X3 + X 16o6全國名校高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)(1) 求曲線y=f(x)在點(2, 6)處的切線的方程；(2) 直線I為曲線y= f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線I的方程及 切點坐標(biāo)。解析(1)可判定點(2, 6)在曲線y= f(x)上。V f' (X) = (X3 + X 16)' = 3X2 + 1, f(x)在點(2, 6)

8、處的切線的斜率為k= f' (2) = 13。切線的方程為 y+ 6= 13(x 2), 即卩 y= 13x 32。(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(X0，yo), 則直線I的斜率k為f' (xo)= 3x0 + 1,3yo= Xo + Xo 16,二直線 I 的方程為 y= (3x2+ 1)(x Xo) + x0+ Xo 16。 又直線I過原點(0,0),二 0= (3x2 + 1)( Xo) + x3 + x。 16,整理得，Xo = 8,xo= 2, yo= ( 2)3 + ( 2) 16= 26,得切點坐標(biāo)(一2, 26), k= 3X ( 2)2+ 1 = 13。直線I的方程為y=

9、 13x，切點坐標(biāo)為(2, 26)。答案(1)y= 13x 32(2)y= 13x，切點坐標(biāo)為(2, 26)12. 設(shè)函數(shù)y = X2 2x + 2的圖象為 G，函數(shù)y= x2+ax+ b的 圖象為C2，已知過G與C2的一個交點的兩切線互相垂直，求 a+ b 的值。解析對于 C1: y= X2 2X+2,有 y' = 2x 2,對于 C2: y= X2 + ax+ b,有 y' = 2x+ a,設(shè)C1與C2的一個交點為(Xo, yo),由題意知過交點(xo, yo)的兩條切線互相垂直。(2xo 2) ( 2xo + a) = 1, 即 4x0 2(a+2)Xo + 2a 1 =

10、 0,又點(x0， y。)在Ci與C2上，故有yf +2，blyo = X0 + ax0 + b,? 2x0 (a + 2)x0 + 2 b= 0。5由消去Xo，可得a+ b=2。答案5If禪屈U(時間：20分鐘)1.(優(yōu)質(zhì)試題 江西五校聯(lián)考)已知函數(shù)fn(x) = xn+1, n N*的圖象 與直線x= 1交于點p,若圖象在點P處的切線與X軸交點的橫坐標(biāo)為 Xn,貝J log2 016X1 + log2 016X2 + , + log2 016x2 015 的值為()B. 1 log2 0162 012C. log2 0162 012解析由題意可得點P(1,1), F n(x) = (n+

11、1)xn，所以點P處的切線的斜率為n+1,故可得切線的方程為y1 = (n+ 1)(x 1)，所以與X軸交點的橫坐標(biāo)Xn= n+l則 lOg2 016X1 + lOg2 016X2 + , + lOg2 016X2 015 =1丄比_lOg2 016X1X2, x2 015= log2 0162 016= 1 ,故選 D。答案 D2.曲邊梯形由曲線y= X2+ 1, y= 0, x= 1, x = 2所圍成，過曲 線y= X2+ 1(x 1,2)上一點P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出 一個面積最大的普通梯形，則這一點的坐標(biāo)為()A JC 13A.!©2丿B.R4丿_13、(5 J

12、丿D.®2丿C.lg 刁解析 設(shè)P(x。, x2+ 1), X0 1,2，則易知曲線y=X2+ 1在點P 處的切線方程為y(x0 + 1) = 2x0(x X0), y= 2xo(x X0)+ x2+ 1,設(shè) g(x) = 2xo(xX0)+ x2+ 1,則 g(1 ) + g(2) =2(x0+ 1) + 2X0(1 Xo + 2 Xo),.g(1)+ g(2). S普通梯形=點坐標(biāo)為(|, 7”,S普通梯形最大。故選B。X 1 = x0+ 3x0 + 1 = Xo H 學(xué)二 P答案 B3.函數(shù)f(x)= eX+ x2 + x+ 1與g(x)的圖象關(guān)于直線2xy-3= 0 對稱，P

13、, Q分別是函數(shù)f(x), g(x)圖象上的動點，則|PQ|的最小值為解析 因為f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線2x y 3= 0對稱，所以 當(dāng)f(x)與g(x)在P, Q處的切線與2x y 3= 0平行時，|PQ|的長度最 小。F (x)= ex + 2x+1,令 ex + 2x+ 1= 2,得 x= 0,此時 P(0,2),且 P到2x y 3 = 0的距離為/5,所以尸Q|min =么/5。答案2躬4.(優(yōu)質(zhì)試題 廣州一模)已知函數(shù)f(x)= ex+ m x3, g(x)= ln(x+ 1) + 2o(1)若曲線y = f(x)在點(0, f(0)處的切線斜率為1,求實數(shù)m的值;10全國

14、名校高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）當(dāng) mA 1 時，證明：f(x)>g(x) X3。解析(1)因為 f(x)= ex+ m X3,所以 f (x)= ex+ m 3x2。因為曲線 y= f(x)在點(0, f(0)處的切線斜率為1,所以 f (0) = em= 1,解得 m= 0。(2)證明：因為 f(x)= ex+ m X3, g(x)= ln(x+1) + 2, 所以 f(x)>g(x) X3 等價于 ex+ m ln(x+1) 2>0。當(dāng) mA 1 時，ex+ m ln(x + 1) 2aex+1 ln(x+ 1) 2。要證 eX+ m ln(x+ 1) 2>0,只需證明 ex+1 ln(x+ 1) 2>0,設(shè) h(x) = ex+1 ln(x+ 1) 2,貝J h (x)=古+1 土。X + I設(shè) p(x) = ex+11 1XZ1則 P(X)=eX 1+(XZ1?0。12所以函數(shù) P(x)= h (X) = ex+11x+i在（1,+乂）上單調(diào)遞增。因為 h 2J= e1 2<0, h (0) = e 1>0,所以函數(shù)h (X) = ex+11x+1 在（ 1,+乂）上有唯一零點X0，且1因為 h (X0)= 0,所以 ex