導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)歸納及應(yīng)用1

1、導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)歸納及應(yīng)用、相關(guān)概念 1導(dǎo)數(shù)的概念 略二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式C 0; （C為常數(shù)）Xnn 1nx（sin X）COSX ；（COSX）sin X；（ex）ex;(ax)X a Ina；In XI og1;JX1. aX -logae.X例1：下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是12XA (x+ !)1X4IXX (log 2x) = C (3 ) =3 log 3exln 2(X cosX) =-2xsinxv)法則uv .若C為常數(shù)，則（Cu）' Cu'.法則u'vuv2v(v0)。3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如y=f (x )的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:分

2、解一一 求導(dǎo)一一 回代。法則：y / I x = y /丨U u，I X或者f (X) f ( )*(X).練習(xí)：求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):/ 八 Jx X5 sinX;（1）y 2;X(2)y (X 1)(x 2)(x 3);(3)Xsin 122 X2cos ;4三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (X)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f (X)在點(diǎn)p( x0， f (x0) )處的切線的斜率。也就是說，曲f '(x 0)。線y=f (x)在點(diǎn)P(x 0，f (x0)處的切線的斜率是 相應(yīng)地，切線方程為 yy0=f /(x0)(xx0)。例：曲線 f(x)= x3 + x- 2 在 p0

3、處的切線平行于直線y= 4x-1，則 p0 點(diǎn)的坐標(biāo)為(A (1,0)B(2,8)C (1,0) 和(1, 4)D (2,8) 和( 1, 4)四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1)如果 f ' (x) 0，f (x) 在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果 f ' (x) 0 ，f (x) 在此區(qū)間上為減函數(shù)。2)如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f (x) 0，則 f (x) 為常數(shù) 。例：函數(shù) f(x)x31 是減函數(shù)的區(qū)間為 ( )A (2, )B( ,2) C ( ,0)(0，2)2極點(diǎn)與極值：曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正， 右側(cè)為負(fù)； 曲線曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為

4、 0； 在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；例：函數(shù) f(x)x32ax3x 9,已知f(x)在x3時取得極值，則a =()A234在區(qū)間 a ，b 上連續(xù)的函數(shù)3最值：f (x)在a , b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間( a, b)內(nèi)連續(xù)函數(shù)f (x)不一定有最大值，例如 f (x) x3,x ( 1,1) 。函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的。 函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最 值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。例

5、：函數(shù) f(x) x3 3x 1在閉區(qū)間 -3 ， 0 上的最大值、最小值分別是3.、選擇題函數(shù)y二A. (0,4.6.(數(shù)學(xué)選修1-1)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用基礎(chǔ)訓(xùn)練組X3 + X的遞增區(qū)間是,1) C .() D . (1,)f(x) ax3函數(shù)yX43x24x2,若 f (16y3在區(qū)間1)2,34,則a的值等于上的最小值為(A. 72二、填空題.36.12 D1.若 f(x)f (Xo)3，則Xo的值為2.曲線X3 4x在點(diǎn)(1, 3)處的切線傾斜角為3.函數(shù)Sin的導(dǎo)數(shù)為X4.曲線In X在點(diǎn)M (e,1)處的切線的斜率是5.函數(shù)X3X25x 5的單調(diào)遞增區(qū)間是三、解答題求垂直于直線2x

6、1.6y 10并且與曲線y3.求函數(shù)f (X) X55x45x31在區(qū)間1,44.已知函數(shù)y ax3bx2,當(dāng)X 1時，有極大值(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)y的極小值。10亍，切線的方程為3x25相切的直線方程。上的最大值與最小值。例1.已知函數(shù)yxf（X）的圖象如圖所示（其中f（X）是函數(shù)f（X）的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中y f（X）的圖象大致是（）圖象過點(diǎn)(0,2）,且在點(diǎn)M（ 1, f （1）處的切線方程為6x y 70.（I）求函數(shù)yf（X）的解析式；（n）求函數(shù)yf（X）的單調(diào)區(qū)間.例4.設(shè)函數(shù)f X（I）求b、c的值。X3 bx2CX（X R），已知 g（X） f（X） f（X

7、）是奇函數(shù)。（n）求g（X）的單調(diào)區(qū)間與極值。例5.已知 f (X) =x3 ax22bx c在X=1, X=時，都取得極值。求 a、b的值。3已知函數(shù)f（x） （X2ax 2a2 3a)eX(x R),其中 a R（1） 當(dāng)a 0時，求曲線yf（x）在點(diǎn)（1,f （1）處的切線的斜率;2（2） 當(dāng)a 5時，求函數(shù)f（X）的單調(diào)區(qū)間與極值。導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)歸納及應(yīng)用教師、相關(guān)概念 1導(dǎo)數(shù)的概念 略二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式C 0; （C為常數(shù)）Xnn 1nx（sin X）COSX ；（COSX）sin X；（ex）ex;(ax)X a Ina；In XI og1；JX1. aX -loga

8、e.X例1：下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是11A (x+ -)1 -2XX1解析:A錯，(X+丄)X (log 2x) =-7xln 2XXC (3 ) =3 log 3e D(X cosX) =-2xsinxB 正確，（log1尹2X)，= 1xl n22 =2xcosx+ X (-sinx)法則(uv)法則uv .若C為常數(shù)，則（Cu）Cu .法則u'vuv2v(v0)。C錯， (3X) =3Xln3D錯，(x cosx) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如y=f (x )的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:分解一一 求導(dǎo)一一 回代。法則：y/ I x = y / l u u，I X 或

9、者 f (X) f ( )*(X).練習(xí)：求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1x(1) y亦 X5 sinx2X(2) y (x 1)(x 2)(x 3);(3) yX2 X, 、1sin_ 1 2cos _ ;(4) y24解：(1) y125X2X2XsinxX3sin X,X y'(x32)y=(X(4)-y=(x3) (x 2 sinx)2+3X+2) (x+3)1 . -sin X, 2.X sin- 2X COS-2=x52 3x2 2x 3 sin X X3 -X2322+6x+11x+6,.y' =3x+12x+11.2COSx.1 sinx2-(sin x)21 -COSx

10、.21y rTX1 TX 1 仮 2(1 7X)(1 仮)r2(1 X)(1 X)22(1 X)2四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (X)在點(diǎn)X 0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(X)在點(diǎn)p ( x0, f (x0)處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f ( x)在點(diǎn)P(x0, f (x0)處的切線的斜率是f '(X0)。相應(yīng)地，切線方程為y y0=f/ (x。) (X x。)。例：曲線f(x)= x3 + x- 2在P0處的切線平行于直線y = 4x-1,則po點(diǎn)的坐標(biāo)為(A . (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1, 4)D. (2,8)和(1, 4)四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的

11、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)如果f(X)0，則f (x)在此區(qū)間上為增函數(shù);如果f(X)0 ,則f (x)在此區(qū)間上為減函數(shù)。(2)如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f (X)0,則f(x)為常數(shù)。例：函數(shù)f(x) X33x21是減函數(shù)的區(qū)間為()A (2,)B.,2) C . (,0)解析:由 f/(X) 3x26x<0,得 0<x<2函數(shù) f(x)X3 3x21是減函數(shù)的區(qū)間為(0,2)2 .極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正;0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù)；曲線3x2例: 函數(shù) f(x) xax2 3x9,已知f(x)

12、在x3時取得極值，則 a= ()A2345解析:- f/(x)2ax3，又 f(X)在x3時取得極值 f/( 3)306a 0故函數(shù) f(x) x3 3x 1在-3 , 0上的最大值、最小值分別是3、-17 。則 a=53最值：在區(qū)間 a， b 上連續(xù)的函數(shù)f (x)在a , b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間( a, b)內(nèi)連續(xù)函數(shù)f (x)不一定有最大值,例如 f (x) x3,x ( 1,1)。函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的。 函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未

13、必有最 值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。例: 函數(shù) f(x) x3x 1 在閉區(qū)間-3， 0 上的最大值、最小值分別是解析：由 f'(x)3x3=0,得1，f / (x) >0，當(dāng)x 1 時，&)<0,當(dāng) x 1 時，(x)。.故 f(x) 的極小值、極大值分別為f ( 1)3、 f (1)1，而 f ( 3)17、f(0) 13.、選擇題函數(shù)y二A. (0,4.6.(數(shù)學(xué)選修1-1)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用基礎(chǔ)訓(xùn)練組X3 + X的遞增區(qū)間是,1) C .() D . (1,)f(x) ax3函數(shù)yX43x24x2,若 f (16y

14、3在區(qū)間1)2,34,則a的值等于上的最小值為(A. 72二、填空題.36.12 D1.若 f(x)f (Xo)3，則Xo的值為2.曲線X3 4x在點(diǎn)(1, 3)處的切線傾斜角為3.函數(shù)sin的導(dǎo)數(shù)為X4.曲線In X在點(diǎn)M (e,1)處的切線的斜率是5.函數(shù)X3X25x 5的單調(diào)遞增區(qū)間是三、解答題求垂直于直線2x1.6y 10并且與曲線y3.求函數(shù)f (X) X55x45x31在區(qū)間1,44.已知函數(shù)y ax3bx2,當(dāng)X 1時，有極大值(1)求 a,b 的值；(2)求函數(shù)y的極小值。10亍，切線的方程為3x25相切的直線方程。上的最大值與最小值。（數(shù)學(xué)選修1-1 ）第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用基礎(chǔ)

15、訓(xùn)練A組、選擇題3.y' = 3x2+ 1> 0對于任何實(shí)數(shù)都恒成立4.f'(x) 3ax2 6x, f'( 1) 3a 66.y' 4x34,令y30,4x40,x1時,y0;當(dāng) x 1 時,y 0得y極小值y|x 10,而端點(diǎn)的函數(shù)值y|x27, y |x3 72 ,得 ymin 01.二、填空題3x0 3, x0 12.3x24,k y |x11,tan1,3.xcosx2xsin x(sin x) x sin x(x)xcosx2xsin x4.5.1-,x ey 0 e5(,3),(1,l,kx令y'y |x3x21e -, ye2x0,

16、得x、 1e),y -xe5,或 x 13三、解答題1.解：設(shè)切點(diǎn)為P(a,b)，函數(shù) y3x25的導(dǎo)數(shù)為y' 3x26x切線的斜率k y' |x a 3a26a3，得a 1，代入到y(tǒng) x3 3x25得 b 3，即 P ( 1, 3), y3(x 1),3x y 60。3解：f (x) 5x420x3 15x25x2(x 3)(x 1),當(dāng)f（X）0得x 0,或x1，或 x 3 ,- 0 1,4,1 1,4 ,3 1,4列表：x1(1,0)0(0, 4)f'(x)0+0+f(x)01又 f(0)0, f( 1) 0 ;右端點(diǎn)處 f(4)2625 ;函數(shù)y x5 5x4

17、5x3 1在區(qū)間1,4上的最大值為2625，最小值為0。' 2 '4.解：(1) y 3ax 2bx，當(dāng) x 1 時，y |x 1 3a 2b 0, y |x 1 a b 33，a6，b9即 3a 2b 0 a b(2) y6x3 9x2,y'18x2 18x，令 y'0,得 x0,或 x 1y極小值y lx經(jīng)典例題選講xf(X)的圖象如圖所示(其中f(X)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個圖象中y f(X)的例1.已知函數(shù)y解析:由函數(shù)y xf(X)的圖象可知:I Jf弋1文f(x)增1 時，xf (x) <0, f (x) >0,此時x 0 時

18、，xf (x) >0， f (x)<0，此時 f (x)減x 1 時，xf (x)<0， f (x)<0，此時 f (x)減1 時，xf (x) >0， f (x) >0，此時 f (x)增故選C例2.已知函數(shù)32f (x) x bx ax d的圖象過點(diǎn)p ( 0,2,且在點(diǎn)M( 1, f ( 1)處的切線方程為6x y 70.(I)求函數(shù)y f(x)的解析式;(n)求函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(I)由f(x)的圖象經(jīng)過P( 0, 2)，知d=2,所以 f (x) x3 bx2 cx 2,2f (x) 3x 2bx c.由在M( 1, f ( 1)處的

19、切線方程是6x y 70，知3 2b c 6,1 b c 2即1.bbcc03解得b c 3.故所求的解析式是f(x)3 x3x2 3x 2.(n) f (x)3x2 6x3.令3x2 6x 30,即 x2 2x 10.解得x11返x21J2.當(dāng) x 1 邁,或x 172時,f (x)0;當(dāng) 172x172時,f (x)0.故 f (x)x33x23x2在(,172)內(nèi)是增函數(shù)，在(172,1J2)內(nèi)是減函數(shù)，在(1J2,)內(nèi)是增函數(shù).例4.設(shè)函數(shù)f x3 xbx2cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是奇函數(shù)。(I)求b、c的值。(n)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：(I)T

20、f x3 xbx22cx , f x 3x 2bx c。從而6 f( 1) 70,即f( 1)1, f ( 1)6.g(x) f (x) f (x)一個奇函數(shù)，所以(n)由(I)知 g(x)(,運(yùn))和(72,g(x)在x72時，取得極大值，極大值為g(x)在x J2時，取得極小值，極小值為32232x bx cx (3x 2bx c) = x (b 3)x (c 2b) x c是 g(0)0得c 0，由奇函數(shù)定義得b 3 ;32x 6x，從而g (x) 3x 6，由此可知，)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；(J2, J2)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減區(qū)間;W2 ,4/2 。例5.已知32f (x)=x ax bx c在 x=1，x=2時，都取得極值。3(1)求 a、b的值。解：(1)由題意f/(X)=3x2 2ax2b的兩個根分別為1和 2由韋達(dá)定理，得:2a b