導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(導(dǎo)數(shù)好題解析版)

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型，總結(jié)歸納解題方法教學(xué)重點(diǎn)及相應(yīng)策略導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值最值和恒成立問題.分析相關(guān)題型進(jìn)行分類總結(jié).教學(xué)難點(diǎn)及相應(yīng)策略導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值最值和恒成立問題.熟悉掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用各類題型的出題方式，舉一反三.掌握典型例題的典型方法.教學(xué)方法建議在掌握導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的前提下，熟悉并掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型，典型例題與課本知識相結(jié)合，精講精練.復(fù)習(xí)與總結(jié)冋時(shí)進(jìn)行，逐步掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的方法.選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類(3 )道(3 )道(1O )道B類(5 )道(3 )道(1O )道C類(3 )道(3 )道(1O )道知識梳理1.函數(shù)

2、的單調(diào)性：在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)O，那么函數(shù)y = f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(X)cO，那么函數(shù)y= f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減如果f(x)=o，那么函數(shù)y = f(X)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)注：函數(shù) y = f(X)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f (x)0, f(x)aO是 y = f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件2.函數(shù)的極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為O,并且，曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為 正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正.般地，當(dāng)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)時(shí)，判斷f (xo)是極大(小)值的方法是:(1)如果

3、在xo附近的左側(cè)(2)如果在xo附近的左側(cè)(x)。，右側(cè)f (X)wO，那么f(Xo)是極大值.f(x)0，那么函數(shù)y = f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)cO，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果f(x)= 0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)注：函數(shù)y = f(X)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f (X)0 , f (X)0是y = f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件【例11 (B類)(2011 朝陽期末)已知函數(shù) f(x)=x2故所求的解析式是 f(x)=x -3x 3x+2.(n)因?yàn)?f (x)=3x2-6x3 ,令 3x2 -6x -3 = 0

4、 ,即卩 X2 -2x -1 = 0 ,解得 X1 =1-/2, X2 =1 +妊當(dāng)X蘭1-血或X蘭1+72時(shí)，f(x)0, +bx2+cx + d的圖象過點(diǎn)P(0, 2),且在點(diǎn)M(1, f(1)處的切線方程為6x-y + 7=0.(I)求函數(shù) y=f(x)的解析式；(n)求函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解題思路】注意切點(diǎn)既在切線上，又原曲線上.函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上遞增可得:f(x)0 ；函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上遞減可得：f(x)E0.【解析】(I)由f (x)的圖象經(jīng)過P (0, 2)，知d=2,32所以 f(x)=x +bx +cx+2.所以 f (x) =3x2 +2bx

5、+c.由在M(-1, f(1)處的切線方程是6x-y+7=0 ,知-6 f(1)+7 =0，即 f (1)=1 , f(-1)=6 .所以32b+cm即 pbcf 解得 b一3.l-1+b-c+2=1.lb-c = 0.當(dāng) 1720 ；函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上 遞減可得：f (X)0 在 1,1上恒成立 即 a-2 在 1,1時(shí)恒成立.3x1 1a-故a的取值范圍為-,+33a【例 31 (B 類)已知函數(shù) f(x)=lnx,g(x)= (a 0),設(shè) F(x) = f(x) +g(x).X(I)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)若以函數(shù)y = F(x)(x忘(0,3)圖像上任意一點(diǎn) P(x0

6、,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率1k 0 ) XXX X/ a。，由F(x):0= X乞a,丘)， F(x )在(a,址)上單調(diào)遞增.由 F(x)0= X巳0,a ), F(x )在(0,a)上單調(diào)遞減. F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a )，單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+Xa(II) F(X )=一(0 CX 3 ),Xk = F(X0 )=芒旦(0cx(1x(2 +X0X0V 2丿max1 1a 二一，- amin=2 2【課堂練習(xí)】) 已知函數(shù)1. ( B類)(山東省煙臺市2011屆高三上學(xué)期期末考試試題(數(shù)學(xué)文)f(x)=ax3+bx2的圖像經(jīng)過點(diǎn) M(1,4)，曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線 x+9

7、y=0垂直.(I)求實(shí)數(shù)a,b的值;(n)若函數(shù)f(x)在區(qū)間m,m+1上單調(diào)遞增，求 m的取值范圍.【解題思路】兩條直線垂直斜率互為負(fù)倒數(shù).在區(qū)間m,m + 1上單調(diào)遞增，即m,m + 1為函數(shù)的遞增區(qū)間的子集32【解析】(I) f(x)=ax +bx的圖象經(jīng)過點(diǎn) M(1,4) a+ b=4/ f(x)=3ax2 +2bx , f(1)=3a +2b1由已知條件知f(1) () =1即3a+2b=99解 I a+b=4I3a+2b =9得：pTlb =3(n)由(【)知 f(X)= X3 + 3x2, f (X)= 3x2 + 6x令 f(X)=3x2 +6x0貝U X 0函數(shù) f (x)在

8、區(qū)間m,m+1上單調(diào)遞增m,m+1g(,2U0,+) m0或 m+10或 m 31 2 1 22- (B類)設(shè)函數(shù)g(x)虧存x bgbR)，在其圖象上一點(diǎn)P(x, y)處的切線的斜率記為f (x).(1)若方程f(x)=O有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4,求f(x)的表達(dá)式;(2)若g(x)在區(qū)間-1,3上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2 +b2的最小值.【解題思路】注意一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用條件.在區(qū)間-1,3上單調(diào)遞減，即導(dǎo)函數(shù)在 相應(yīng)區(qū)間上恒小于等于 0.再者注意目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化【解析】（1 ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 f（X）= g （X）= X2 + ax - b由已知-2、4是方程X2 +ax b

9、=0的兩個(gè)實(shí)根由韋達(dá)定理，亠 4 一b4b=8，f（X）42X8（2） g（X）在區(qū)間1, 3上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在 1, 3區(qū)間上恒有f(x) =g(x) =x2 +ax-b0,即 f(x) =x2 +ax-b1這只需滿足(丿即可，也即aif(3)9而a2 +b2可視為平面區(qū)域a + b A1內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，b -3a 9其中點(diǎn)（一2， 3）距離原點(diǎn)最近，3. （A類）已知函數(shù)f（x）=1x2所以當(dāng)fjg+b2有最小值13-ml nx + (m-1)x，m 亡 R .當(dāng) m0 時(shí)，討論函數(shù) f (x)的單調(diào)性.【解題思路】注意函數(shù)的定義域在確定函數(shù)的定義域之后再對函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的討

10、論【解析】 f (X)=x -m +(m-1)= X2X +(mj)x-m (x-1)(x+m)XX（ 1）當(dāng)-1m0, f（x）為增函數(shù).（2）當(dāng) m0, f （x）為增函數(shù).知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值方法歸納:1.求函數(shù)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù) f (X)求方程f (X)=0的根.用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f (x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(X)在這個(gè)根處無極值.2.求函數(shù)在a，b上最值的步驟：(1

11、)求出f (x)在(a,b)上的極值.(2)求出端點(diǎn)函數(shù)值 f(a), f (b).(3)比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值注:可導(dǎo)函數(shù)y = f(X)在X =滄處取得極值是f (冷)=0的充分不必要條件.1 j【例4】(A類)若函數(shù)f(x)=mcosx+ sin 2x在x=二處取得極值,則m =2 4【解題思路】若在 x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)c0,且廠(怡)=0,那么f (X)是f(x)的極大值；若在X0附近的左側(cè)f(x) c0，右側(cè)f(x)0，且f(x0) =0，那么f (x0)是f (x)的極小值.I jTjTjT【解析】因?yàn)?f (x)可導(dǎo)，且 f (x)=-msinx

12、+ cos2x,所以 f () = -msin + cos= 0 , 442解得m=0.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f(x)=1Sin2x在x = 處取得極大值.【注】 若f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，注意 廠(冷)=0是X0為函數(shù)f (x)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在X0左右判斷單調(diào)性.【例5】(B類)(2011北京文18)已知函數(shù)f(x)=(x-k)e(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)求f(X)在區(qū)間O,1】上的最小值.【解題思路】注意求導(dǎo)的四則運(yùn)算；注意分類討論【解析】(I)k+DeX，令(x) =0= x = k-1 ；所以 f(x )在( = ,k-“上遞減，在(k T，母)上遞增;(I

13、I )當(dāng)k 1蘭0,即k蘭1時(shí)，函數(shù)f (X )在區(qū)間0,1】上遞增，所以fWmin = f(0)=k ；當(dāng)0 k -1蘭1即1 2時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間O,1】上遞減，所以f (x)min = f(1)=(1-k)e【例6】(B類)設(shè)X=2是f(X)= alnx +bx + x函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)試判斷x=1，x=2是函數(shù)f(x )的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極值O【解析】(1) f (x) = -+2bx +1,xr a + 2b +1 = 0I f (1) = 0 由已知得：4 二if (2) = 0爲(wèi) +4b +1=022a =3I1b -16(2)

14、x變化時(shí) f(x), f (x)的變化情況如表:X(0，1)1(1 , 2)2f，( X)一0+0一f(x)極小值T極大值542故在X=1處，函數(shù)f(x 極小值6 ；在x = 2處，函數(shù)f(x)取得極大值3 3ln 2【課堂練習(xí)】1 1f (x) =x3 + - x2 + 2ax4.( A類)(2011江西理19)設(shè)32若f(x)在(汁)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.【解題思路】在某區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間等價(jià)于在該區(qū)間上有極值(2,亦)【解析】f(x)在3上存在單調(diào)遞增區(qū)間,2即存在某個(gè)子區(qū)間(m，nr使得f(x)0 2 12 1 f(X)= -x +x + 2a = (X 一)+ + 2a

15、 由242 嚴(yán))f(X)在區(qū)間3，上單調(diào)遞減，則只需即可.2 2由 f(3r2a0 a19解得x所以，當(dāng)(2嚴(yán))(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;1(2)討論g(x)與g(x)的大小關(guān)系;a -r z、(一嚴(yán))9時(shí)，f(x)在3上存在單調(diào)遞增區(qū)間.5.( B 類)(2011 陜西文 21 )設(shè) f(x)T nx, g(x) = f(x)+f(x)【解題思路】(1)先求出原函數(shù)f(x)，再求得g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(單 調(diào)區(qū)間)，并求出最小值；(2)作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；(3)對任意X 0成立的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) g

16、(x)的最小值問題.【解】(1)由題設(shè)知當(dāng)X (0,1)時(shí)，g(x)v 0,當(dāng)X (1,+8)時(shí),g(x) 0,因此，x=1是 g(x)的唯一極值點(diǎn)為g()=1.g(x)是減函數(shù)，故(g(x)是增函數(shù)，故f(X)= In x, g(x) =1 n Xgg-x-1X2 令 g(x) =0 得 x=1,0，1 )是g(x)的單調(diào)減區(qū)間.(1, +8)是 g (x)的單調(diào)遞增區(qū)間,，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以g(x)的最小值(X-1)21 亠 1 亠1 , g(_)=l nx+xh(x)=g(x)-g( ) =l nx-x+h (x)=，設(shè)XX，貝y_丄當(dāng) x=1 時(shí)，h(1)=0，即 g(

17、x)=g(；)，當(dāng) xr0,1)u(1，址)時(shí)，h(x)0【解析】(n)由(i)當(dāng)一時(shí)，f(x)沒有極小值;6.( C 類)(2011 全國n文 20)已知函數(shù) fMx +陽 +(3-6a)x + 12a-4亦 R)(I )證明：曲線y=f(x)在x=0的切線過點(diǎn)(2,2);(n)若f(X)在X = x0處取得極小值，冷-0,3)，求 a的取值范圍.【解題思路】在某點(diǎn)處取得極值可得f (X0) = 0(I ) fX)=3x2+6ax + (3-6a) , f0)=3-6a，又 f(0)=12a-4曲線y=f(x)在x= 0的切線方程是：y (12a-4) = (3-6a)x，在上式中令X =2

18、，得 y =2.所以曲線y = f(x)在x=0的切線過點(diǎn)(2,2);f (x) =0 得 x2 + 2ax -1 -2a =0 ,(ii)當(dāng)血-1 或 &-72-1 時(shí)，由 f(x)= 0 得Xi = -a - Ja2 +2a -1, X2 = -a + Ja2 +2a -1不等式0故 f (x)在0)遞增，二當(dāng) x 0時(shí)，f(x)Af(0),又 f(o)=e0-(1+0)=0 f(x)A0,即 ex1 +)0 ，故 exAl+x.【注】若要證的不等式兩邊是兩類不同的基本函數(shù)，往往構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性來證明【例8】(C類)(2010遼寧文)已知函數(shù) f(x)=(a+1)lnx + a

19、x2+1.(I)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性;(n)設(shè) aO，故 f(x)在(0,+ =c)單調(diào)增加;當(dāng)aW 1時(shí)，f x) O,故f(x)在(0,+ k)單調(diào)減少;當(dāng)1 a0;.當(dāng) x (O,2ax (十2a+K)時(shí)，f(X)4為-X2 .【例9】(C類)設(shè)函數(shù)f(x) =(x-a)2x,a R.(I )若X =1為函數(shù)y = f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a ;(n)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意的X (亠,2，恒有f (X) W4成立.【解析】(I ) . f(X)=(x-a)(3x-a)f (1) =(1 -a)(3-a) =0a = 1或a = 3，檢驗(yàn)知符合題意2(n) (X a) X

20、 4在 x (=, 2時(shí)恒成立當(dāng)X 0時(shí)，顯然恒成立2 2由(X - a) X 4 得|a - X 在 x (0,2時(shí)恒成立 Jxx-*ax + * 在 X (0, 2時(shí)恒成立VXVX2 2令 g(x) =x -,h(x) =x + ,x 巳0,2,V X7 XQ_g(x) = x 廠在(0, 運(yùn) 單調(diào)遞增- g(x)max = g(2) = 2 - J2h(x)=1 一斗=乍XVX xVx0x1時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，1CXC2時(shí)h(x)單調(diào)遞增- h(X)min = h(1) = 3 2-J2a/x + 1 alnx( a 亡 R)3.求f(x)的單調(diào)區(qū)間;4.證明：h X Jx +1【解題

21、思路】注意求導(dǎo)時(shí)的定義域；先移項(xiàng)，再證左邊恒大于0【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +處),f7x)=-a2Jx+1X當(dāng)a 0, f(x)在(0,七切上遞增 當(dāng) a 0 時(shí)，令 X = 2aJx + 1 得 x2 4a2x -4a2 = 0 解得:xi =2a2 -2aja2 +1, x? =2a2 +2a Ja2 +1，因 x 0 (舍去)，故在(0,2a2 +2aja2 +1)上 f(x)0，f(x)遞增.(2)由(1)知g(x)=jrrT-lnx在(0,2 +2j2)內(nèi)遞減，在(2+邁知內(nèi)遞增.g(x)min =g(2+272)=1+72-1 n(2+272)故-lnx1+72

22、-ln(2 +22)，又因 2+22 lnx8. (C類)(全國I卷理20)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x + 1(I)若Xf(x2x2+ax+1，求a的取值范圍;(n)證明：(x-fgHO，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)、【解題思路】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識 不等式問題，考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力以及計(jì)算能力，同時(shí)也考查了函 數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想X +11I 解析】(I) f(x)=+lnxT=lnx+； ,xf(滬 Xn 改，1 題設(shè) xf(X)x2 +ax+1 等價(jià)于 In x-x0；當(dāng) x1 時(shí)，g(x)wo, x = 1 是 g(x)的最大值

23、點(diǎn),g(x)wg(1-1，綜上，a的取值范圍是T戶(n )有(1)知，g(x)wg(1) = T 即1n Xx+1w0當(dāng) 0vXV1 時(shí) f(x) =(x+1)ln x-x+1 =xln x + (ln x-x +1)w0 .1、I,八=In X + x(ln X +1)當(dāng) x1 時(shí)，f(x)=l nx+(xl nx x+1)x=ln x-x(ln 丄-1 +1)X X 0所以（X1）f（X）01329. (C 類)設(shè)函數(shù) f(X)=-x3 -(1 a)x2 +4ax + 24a，其中常數(shù) a13恒成立，求a的取值范圍.（I）討論f（x）的單調(diào)性；（n）若當(dāng)X寸，f（x）0【解題思路】本題考查

24、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力,涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)， 從而確定函數(shù)的單調(diào)性,第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值,由恒成立條件得出不等式恒成立條件從而求出的范圍 【解析】(丨)f (x) =x2 -2(1 +a)x +4a =(X 2)(x 2a)由a 1知，當(dāng)X 2時(shí)，f （x） aO，故f（x）在區(qū)間（述,2）是增函數(shù);當(dāng)2 C X 2a時(shí)，f （X）1時(shí),（II ）由（I）知，當(dāng)當(dāng)X 2a時(shí)，f （X）aO，故f （X）在區(qū)間（2a,畑）是增函數(shù).f（x）在區(qū)間（=,2）和（2a,七）是增函數(shù)，在區(qū)間（2,2a）是減函數(shù).x0時(shí)，f （x）在x = 2a或x=0處

25、取得最小值.1 3f(2a) =3(2a)3-4 3=a3(1 + a)(2a)2 +4a 2a +24a+4a2 + 24 af (0) =24a由假設(shè)知|a1f (2a) 0,f(0)A0,a 1,4即* a(a+3)(a -6) 0,解得 1a0.故a的取值范圍是（1, 6）【例11】（C類）（兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以 AB為直徑的半圓弧 衛(wèi)我上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān),對城A和城B的總影響度為城 A與城B的影響度之和，記 C點(diǎn)到城A的距離為X km，建在C處的垃圾處理廠對城 A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理

26、廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城 A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4;對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比， 比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在H月的中點(diǎn)時(shí)，對城A和城B的總影 響度為0.065.(1 )將y表示成x的函數(shù);(11)討論(1 )中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧 亙上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說明理由.【解題思路】先把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)式子，再利用導(dǎo)數(shù)求最值【解析】 解法一 ：(1)如圖，由題意知224 kAC 丄 BC, BC =400 -x ,y=+ (0xc20)X 400 X其中當(dāng)X =10j2

27、時(shí)，y=0.065,所以k=949所以y表示成X的函數(shù)為yy =篤+J (0 C X C 20)X 400-x(n)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r .X 400 X，=4護(hù)=噲警”令y，= 0得x3(400 -x2)218x4 =8(400-X2)2,所 以 X2 =160 ,即 x=4jT0 ,當(dāng) OVXV4/10 時(shí)，18x4 8(400-X2)2,即y0所 以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)4 J6 C X 8(400 X2)2，即yA0所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)x = 4Ji0時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為4 J10時(shí)，函數(shù)y =牛+(0 X 2r .假設(shè)該容3器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形

28、部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為部分每平方米建造費(fèi)用為 c(c3)千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.(I)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;【解題思路】先把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)式子，再利用導(dǎo)數(shù)求最值【解析】（I）設(shè)容器的容積為 V，2|+4兀r3,又V且33V Sr3 故I =務(wù)一jir=卑斗4（?0一）3r233 r2由于丨2r因止匕0 r 2.24 202所以建造費(fèi)用y =2兀rI X3+4兀r2c = 2兀rx-（第-r）x3 + 4兀r2c,3 r因此 y =4兀（c-2）r2 +16,0 cr 3,所以c-20.當(dāng)3-號=0時(shí)

29、_住所以y=,_8兀2-2）（r_m）（r2 +rm+m2）.r29（1 ）當(dāng) 0 cm c2即c 時(shí),2當(dāng) r=m 時(shí),y =0;當(dāng) r （0,m）時(shí),y 0.所以r =m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)9（2）當(dāng) m 2即 3vc0）的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】（丄，+）e1【解析】由f (x) =1 n x+1 0可得x ,答案:. e5.若函數(shù)f（xH在x=1處取極值，則a =X +1【答案】2【解析】f(x) = 2x(x+1)-(x +a) , f，偉匕=0 = a= 3 (x+1)240，2單調(diào)遞增區(qū)間是（ 兀），極小值為f（22)=，極大值為f（兀）=兀+ 226.設(shè)函數(shù) f(X)

30、=6x3 +3(a+2)x& 設(shè)函數(shù) f(x) =ln(x + a)+x +2ax（1 ）若f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為X1,X2，且XiX2,，求實(shí)數(shù)a的值;（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是（-述，址）上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存 在，說明理由.2【解析】f(x)=18x +6(a+2)x + 2aXX上“（1 ）由已知有 f （G = f（X2）=0，從而 XM 18 ，所以 a =9 ；(2由 =36(a +2)2 -4咒 18咒2a =362 +4) 0所以不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是R上的單調(diào)函數(shù).7設(shè)函數(shù)f（x）= si nx-cosx+xr , 0x2兀，求函數(shù)f（x

31、）的單調(diào)區(qū)間與極值.【解析】 解:由 f(X)=sin X cosx + x + 1,0 -a , x2 , f(X)在f (x)的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值1【解析】(I) f(x)=+2X , X +a3 依題意有f (1) = 0 ,故a =-.22從而S+T)X+32(丿 x+32f(x)的定義域?yàn)?，?dāng)3-2 0 ；1當(dāng)1 CX V-時(shí)，f (X)c0 ；2當(dāng) x 時(shí)，f(x)0 .2從而，f (X)分別在區(qū)間f-3,1K-1，+g12 八2 丿單調(diào)增加，在區(qū)間1,(n) f (x)的定義域?yàn)?a,+比),f(X)=22x +2ax+1X + a方程 2x2 +2ax +1=0

32、的判另式 A =4a2-8 .(i)若i 0,故f (x)的極值.(ii)若 i =0,則 a =近或 a = J2.若 7，XT3 ) )=1.當(dāng) X運(yùn)時(shí)，fix)=0,當(dāng) xaa ,+g、2I2 丿 12時(shí)，f(x)0,所以f (x)無極值.若a=-J2, X忘(J2,心),廠(x)=(層丁0 , f (X)也無極值. X - J2(iii )若 A 0 ,即 a 近或a7 , 則2x2 + 2a x+ 1 = 0有兩個(gè)不同的實(shí)根-a-Ja2-2-a + Ja2 -2兒=廠，X廠廠當(dāng)a1一1 n2 = ln-.2 29.設(shè)函數(shù) f（X）=ax2 +bln X，其中 ab HO .證明：當(dāng)a

33、bAO時(shí)，函數(shù)f(X)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)abcO時(shí)，函數(shù)f (x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值.【解析】因?yàn)閒(x)=ax2+blnx, ab hO，所以f (x)的定義域?yàn)?0,，處).f（x）=2ax+叭當(dāng)ab :O時(shí)，如果aO, bO, f(x)O, f(x)在(O,處)上單調(diào)遞增;如果a CO, bcO, f(x)0, f (X)在(0,，處)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)abAO，函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn).當(dāng)ab O時(shí),z2a X +令 f （X）=O,得 xi=na 疋(O,處)(舍去)，X2=2a 氣O,畑)，,當(dāng)aAO, b CO時(shí)，f (x), f (x)隨X的變化情況如下表:o隔f (x)

34、0+f(x)極小值從上表可看出,I 2a丿函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為加V 2aJ當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f (x)沒有極值點(diǎn);當(dāng)ab c0時(shí),若 a:0, b 丄時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;2(n)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);1 1 1(川)證明對任意的正整數(shù)n,不等式In(丄+1) An23)都成立.n n2【解析】(I)函數(shù)f(x) =x +bln(x + 1)的定義域?yàn)?1,母2f(x)=2x+b 2x+ 2x+bX +1X +1上遞增，在-1-上遞減,2丿2f 1令 g(x) =2x +2x +b，貝U g(x)在 i -,母I 2 丿1 1 g(x) 嚴(yán).1 1當(dāng)2時(shí)，

35、gwmm 2+b0, g(x) =2x1 2 +2x + b 0在(一1,邑)上恒成立.f(x) 0,1即當(dāng)b-時(shí)屈數(shù)f(x)在定義域(-1,母)上單調(diào)遞增.(II )分以下幾種情形討論:(1 )由(I)知當(dāng)b丄時(shí)函數(shù)f (x)無極值點(diǎn).21(2)當(dāng) b=-時(shí),2f(x)皿x+12f(x)0,f(x)0,二b 時(shí)，函數(shù)2f(x)在(1,乜)上無極值點(diǎn).(3)當(dāng) b?時(shí),1 - j1-2b1 + J1 2b解f(X)=0得兩個(gè)不同解X1 =， X2 =當(dāng)b0時(shí)，人)兀(-1,乜此時(shí)f(X)在(-1,兄)上有唯一的極小值點(diǎn)X2l2l2b1f（x）在（-1,Xi）,（X2，兄）都大于 0, f（x）

36、在（Xi,X2）上小于 0 , 此時(shí)f （X）有一個(gè)極大值點(diǎn)為=-1-山-生和一個(gè)極小值點(diǎn)X2 = 1 +宀2b -1+j1-2b綜上可知，bc0時(shí)，f（x）在（-1）上有唯一的極小值點(diǎn) X2二1“ 0b-時(shí)，函數(shù)f（X）在（一1,丘）上無極值點(diǎn).2(III )當(dāng) b = 1 時(shí)，f(x) =x -In(x+1).令 h(x) =x3 - f(X)=x3 -x2 +1 n(x+1),則 h(x)=3x3+(xj)2 在0,P)上恒正,x+1/. h（X）在0,址）上單調(diào)遞增，當(dāng) x（0,丘）時(shí)，恒有h（x）h（0）=0.即當(dāng)X巳0,址）時(shí),有 X3 -X2 +1 n(x+1) 0, In(x+

37、1)x2 -X3，對任意正整數(shù)n ,取X得 In(丄+n n n n提高訓(xùn)練（B類）X21.曲線y =e2在點(diǎn)（4, e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為A. 9e22DB. 4e2c. 2e2D. e2【答案】【解析】1 2= （e2 -e2 ,曲線在點(diǎn)（4, e2）處的切線斜率為-e2，因此切線方程22.設(shè)函數(shù)2 12 2ye2 =5e2(x4),則切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A(2,0), B(0,-e2),所以:1 2 2S加B -VlQe2.1f(X)= - X Tn x(x 0),則 y = f (x)3A在區(qū)間B在區(qū)間C在區(qū)間D在區(qū)間【答案】(,1),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn). e(1,1

38、),(1,e)內(nèi)均無零點(diǎn). e1(_,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間e，1(一,1)內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間eD(1,e)內(nèi)無零點(diǎn).(1,e)內(nèi)有零點(diǎn).1 1【解析】由題得f(X)=丄-丄=3 x 3xx 3，令 f(X)0 得 X 3 ；令 f(X)c0 得 0 V X V 3 ；f(x) = 0得x=3，故知函數(shù)f(X)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,代)為增函數(shù),在點(diǎn)X = 3處有極小值1 一 In 3 c 0 ；又1e11f(1) = , f(e) = -1 C0, f() = +103 3e3e3.若曲線f(x) =ax2 +lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是【答案】(亠,0

39、)【解析】由題意該函數(shù)的定義域r1由f(x)=2ax+.因?yàn)榇嬖诖怪庇?y軸的切線,x故此時(shí)斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為Xp10范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f (x)=2ax+存在零點(diǎn).x解法1 (圖像法)再將之轉(zhuǎn)化為當(dāng)a aO時(shí)，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點(diǎn)，當(dāng)1g(x )=-2ax與h(x) = 存在交點(diǎn).當(dāng)a = 0不符合題意,xacO如圖2,此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有a v 0應(yīng)填(,0 J或是a I a V 0.(J解法2 (分離變量法)上述問題也可等價(jià)于方程2ax + l=0在(0,垃)內(nèi)有解，顯然可得x1 -a =-巳-,0 )2x故選擇D.1 2 24.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)= X +2

40、ax, g(x)=3a In x+b，其中a0 .設(shè)兩曲2線y = f(X), y = g(X)有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同(1)若a =1，求b的值;(2)用a表示b，并求b的最大值.【解析】(1)設(shè)y = f(x)與y=g(x)(xO)在公共點(diǎn)(Xoy。)處的切線相同f(X)=x+2,g(x)=2 5.(山東濟(jì)南2011屆高三二模數(shù)學(xué)(文)已知函數(shù)f(x)=mx +2nx -12x的減區(qū)間是X-X2 +2x0 =3ln X0 + bI 2由題意知 f(X0)=g(X0), f(X0)=g(X0)，“3X0+2 = 2X03 5由 x0 +2 =得，Xfj =1，或 x0 = 3 (舍去) 則有 b =Xo2(2)設(shè)y = f(X)與y = g(x)(x 0)在公共點(diǎn)(Xo,yo)處的切線相同f(x)=x+2a,g(x)=a：XI- X2 +2ax = 3a2 In x0 + b I 2由題意知 f(X0)=g(X0), f(X0)=g(X0)，. 23aXoX0+2a=3a2由 x。+2a = 得，x。= a，或 x =-3a (舍去)X0即有 b =-a2 +2a2 -3a2 In a = 5a2 -3a2In a2 2令 h(t) =-t2 3t2I