平面向量壓軸題13

1、最新高考向量專題（附經(jīng)典解析）1.在 ABC 中，已知 AB= 4, AC 3, P 是邊 BC的垂直平分線上的一點(diǎn)，則BC aP【答案】解析:BC AP(AC AB) (AQ QP) (AC AB)AQ (AC AB)C2.已知OA1, OBJ3,OA OB 0,點(diǎn) C在AOB 內(nèi)，AOC設(shè) OC mOA nOB(m,n30o.【答案】解析:法一：建立坐標(biāo)系，設(shè)(x,y)m(1,0)n(0,J3)法二:OCOCR），則-等于nOC mOA n OB(m,nOA mOB 3n3. 在 ABC 中，若C(x, y)則由 OC mOA nOB(m,nR)得:而 AOC 300 故 tan 30&#

2、176; J3nR）兩邊同乘OA或OB得兩式相除得m 33nAB? AC AB?CB 4，則邊AB的長等于xVsn. , _, - - . . 2解析：AB? AC AB?CB 4 AB (AC CB) 8 AB 84.已知點(diǎn)G是 ABC的重心，點(diǎn)P是的取GBC內(nèi)一點(diǎn)，若aPAbAc,則值范圍是解析:AP AG GP 2 AG' GP'31 - (AB AC) 31 =(AB AC)31-= -(1 mt) AB3t(mGB nGC)(其中0 t 1,m n 1)1 一 tm -(AB CB)1 -(1 nt)AC，則35.已知O為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|OC2 I AB

3、' ，則點(diǎn)O是ABC的 解I右BC減圖1 n (AC BC)32 1 23 3t (3,1)詩 |bP jOB2 iCA'垂心(OA OB)(OAOB) (BC CA)(BC CA) 0BA 2OC 0 ,可知OC AB，其余同理2 2> >C 1則BC AO的取值6.設(shè)點(diǎn) O 是 ABC 的外心，AB= c , AC= b , b 1范圍-4,2最新高考向量專題(附經(jīng)典解析)解析:12c21 c2 2b b20BC AO (AC AB) AO bRcoscRcosbR cR 2R 2Rc2)b2 b (b 1)21-4,27.在 ABC和 AEF 中，CA 733

4、，若 AB AEB是EF的中點(diǎn),AC AF 2，AB=EF=1,BC=6,則EF與BC的夾角的余弦值等于38.39 題)因?yàn)?AB AE解析：(2007全國聯(lián)賽類似所2AB AB BE AC AB AC BF 2。因?yàn)镴33 1 36'AC AB V33 1 嚴(yán)1 , BE2 V33 1AB (AB BE) AC (AB BF)AC AF2AB 1 ,BF ，所1 BF (AC AB) 12,即 BF BC 2。設(shè) EF 與 BC 的夾2 cos 0 43)0 .若對(duì)每一確定的2角為 0,則有 I BF I I BC I cos 0 2，即 3cos 9=2,所以8.已知向量T；滿足y

5、 I 1,； I值和最小值分別為CDBm, n ,則對(duì)任意W , m解析：數(shù)形結(jié)合.CD,BDCD而 AC BC, AB2BC 1"*)(彳1 1,(n的最小值是AB9.已知向量a ， b ，c若對(duì)每一個(gè)確定的b，|c |的最大值和最小值分別為滿足I a2以2，即",：|的最大,ADBD，點(diǎn)D在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，m n就是BC ,1BC - ( A, B,C共線時(shí)取等號(hào))和9題相同.I = 1 , Ia - b I = I b I , (a - c) ( b - c ) = 0,m n,則對(duì)于任意的向量 b , m+ n的最新高考向量專題（附經(jīng)典解析）最小值為32解析

6、：本題和8完全相同。數(shù)形結(jié)合，具體參見 8 10.設(shè)e, ,e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，已知OM 6,0" 僉，OP xOM yON，1若 PMN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù) x y取值的集合為解析：畫圖解即可 11.如圖放置的邊長為 1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸，y軸上正半軸上滑動(dòng),則OB OC的最大值為(OA AB)(OD DC) sin2 112.給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為1200。如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 AB上變動(dòng)，若OCxOAyOB，其中 x,y則x y的最大值是 2 解析：OC x22y 2xyOA O

7、Bxy(x y)23xy 1R，(x y)2x3xy 1 3 匸y)2【研究】如果要得到 x, y滿足的準(zhǔn)確條件,則建系,OA (1,0),OBOC (x“毎y，則滿足（x2 2432(yy) 1xy 1 ，且2,y0【變題】給定兩個(gè)長度為 1且互相垂直的平面向量OA 和 OB，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，若OC xOA yOB，其中x、y R，則(x 1)2y2的最大值為2OA (1,0),OB(0,1)解析：建系，利用坐標(biāo)法是可以得到x,y最準(zhǔn)確的滿足條件，如* 2 2OC （x,y），點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 AB上運(yùn)動(dòng)，故滿足x y 1（x0,y0）13.在平行四邊形 ABCD中，

8、已知AB 2,AD 1, DAB 60，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)1尹_AB BP ，則P在BC與CD上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則AP ? DM的取值范圍是解析：分兩種情形，結(jié)合圖形分析。（1）BP2APDM ABDM BP DM 1當(dāng)P在BC上時(shí)，1,1；同理，當(dāng)2AP在CD上時(shí)，APDM -2DM214.在周長為16的PMN中，MN6，則pM pN的取值范圍是7,16解析：pM pNabcos2 a ab .2 2 2 .2 »b c a b 36 322abab，因 a b10,故abb)225 ,PM pN32abab a(10a) (a5)22525,7 ,或者用消元的方法5時(shí)取等號(hào)，

9、故pM pN32 abPM pN7 ；同時(shí)a6 10 a8，當(dāng) a 8 時(shí) ab 16，故 ab16,32 ab 16另法：本題可以得出 P的軌跡是橢圓，得出橢圓方程然后設(shè) P坐標(biāo)來解決15.已知 |OA| 4,| OBI 6,Oc xOA yOB,且 x 2y 1 , AOB 是鈍角37f(t)|OA tOB|的最小值為2 ，則|OC I的最小值是OC xOA yOB' C, A,B'共線，用幾何圖形 f（t） |OA tOBi的最小值為2晶根據(jù)幾何意義即 為A到OB的距離，易得 AOB 1200，要使|OC I最小解析:解）A為圓心、AB為半徑的圓弧上12則OC AB

10、9;，利用面積法可求得16.如圖，在正方形 ABCD 中，E為AB的中點(diǎn), 的任意一點(diǎn)，設(shè)向量 AC DEAP，貝yP為以的最小值為-1 解析：坐標(biāo)法解，AC (1,1),DE (一，1), AP2AC dEaP(cos ,sin )得最新高考向量專題(附經(jīng)典解析)2cossin2sin 2 cos2cos sin32cos sin2sin2cos2 cos sin31 sin3 12cos sinf(1 sin2cossin0,2，f'()2 2sin cos7(2 cos sin0 ,故f()最小值為CP CB 2CA，貝yf(0)17.已知P為邊長為1的等邊 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)

11、，且滿足PA PB =32 - -PB BA PB解析：如圖Cp CB 2CABP I2CA, PA PB =(PB BA) PB2 cos120018.已知向量 M= a a =(1,2)+(3,4)R,N= aa =(-2,2)+(4,5) R ，則M N=(46,62)解析：1 32 415A 90 , AB , AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線 AD對(duì)稱，當(dāng)pM pN-19.等腰直角三角形ABC 中,解析:20.MBPM PN (PA AM)( PA AN)如圖在三角形 ABC中，E為斜邊AB的中點(diǎn)，CDL AB, AB= 1,則

12、 CACD cacE 的最大值是備A最新高考向量專題（附經(jīng)典解析）解析：CA Cd CA cEcd2 CA cos A CA3 si n2 AcosA si n2Acos4A2 2 22721.已知A, B, C是平面上不共線上三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。，則P的軌跡一定通過 錯(cuò)誤!未找到引用源。 的重心解析：設(shè)重心為G , 0P 0G-(OA OB 2OC) GP (CA CB)33 CD3CG,故C,G,P三點(diǎn)共線22.已知點(diǎn)0為ABC的外心，且AC 4, AB2,貝y AO?BC解析：AOBC AO(AC AB)4Rcos CAO 2RcosBAO 4R -

13、R23.設(shè)D是ABC邊BC延長線上一點(diǎn)，記 AD AB （1）AC，若關(guān)于x的方程1）sinx 10在0,2 ）上恰有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是4或221解析：令tsi nx則 2t2(1)t 1f( 1)f(1)04或2，或者又ADAB(1)AC CDCb所以4或2j2 1ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)2si n2x (0在（1,1）上恰有一解，數(shù)形結(jié)合知24. O是銳角AC2Sin ACB0,解析：設(shè)高為AD，則AP242 1,動(dòng)點(diǎn)P滿足：oP OA,ABAB Sin ABC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的心內(nèi)心(AB AC、1=） AC為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP x,y錯(cuò)誤！未找到引用源。，OA a,0

14、錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，OC 3,4，記PA、I、 PC25.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。ABAD顯然成立中的最大值為M,當(dāng)a取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，M的取值范圍是7 2逅,解析：不妨設(shè)PA PBA在x軸上滑動(dòng)，而到點(diǎn)的拋物線，其方程為（X，即y X，此時(shí)Mmax pA, PC,當(dāng)a取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)y X于點(diǎn)P （7 2j6,7 2j6），顯然此時(shí) PA PC，而A為PA x的垂足時(shí)M最小，即最小是726法2：對(duì)于某個(gè)固定的a ,到M的最大值顯然可以趨向，M最小值呢？實(shí)際上就是當(dāng) P為ABC外心時(shí)，此時(shí)PAPBPCM的最小值，因?yàn)楫?dāng)P不是外心時(shí),PA, PB , PC至少有一個(gè)會(huì)變大

15、，這樣 M就變大.解得外心坐標(biāo)為卩（泊a2252a 14),a2252a 1426.已知 ABC 中，I 為內(nèi)心，AC 2,BC 3,AB 4,且: xAB yAC，則要使得PAPBPC最小，則圓與坐標(biāo)軸相切，此時(shí)X y的值3 解析：延長 AI交BC于點(diǎn)I',則3 AI2- - 2 1 AI' AB - BC - AB33-AC327.設(shè)G是 ABC的重心，且(56 sin A)GA (40 sin B)GB(35sin C)GC0，則角B的大小為60解析：由重心性質(zhì)知 56sin A40si nB 35s inC 56a40b35c ,下面用余弦定理即可求解28.平面內(nèi)兩個(gè)非

16、零向量，滿足1，且與的夾角為1350，則的取值范圍是(0, J2解析：數(shù)形結(jié)合。（0，4）429.在ABC 中,AB1, AC 2 , O為 ABC外接圓的圓心，貝y AO BC1利用正弦定理得，一厶sinsin 45解析:A解析:設(shè)BC, AQ的夾角為 ，注意到由余弦定理知W * 甲 * * 2AO (AC AB) 2(AO AD AO AE) 2(AD2AE) 230. ABC內(nèi)接于以 O為圓心的圓，且 3Oa 4OB 5OC 0 .貝U C解析：3OA 4OB 5OC 0 9Oa" 16Ob" 24Oa Ob 25Oc"OA OB OC r AOB 90&#

17、176;31.在ABC中，AB= 8, BC= 7, AC=3,以A為圓心，r=2為半徑作一個(gè)圓，設(shè) PQ為圓A.22的任意一條直徑，記 T= BP?CQ ,則T的最大值為CAB 600，故 BP?CQ6,2232.如圖，在 ABC中，AD33.已知點(diǎn)O為 ABC內(nèi)一點(diǎn),3:2:1法一：延長OB,OC至B',C'使得OB' 2OB,OC' 3OC，則0為 AB'C'重心，然后由面則 AC AD=2a 3c 6x2b 6y 00b 3y S AOC ： S ABC 1:334.已知 A.B.C2是 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，ABAB AC AB CB BC

18、 CA,貝U ABC 為三角形.直角三角形>. 2 -解：注意到 AB AC AB CB AB，故 BCCA 0b- 1-2235.平面上的向量PA,PB滿足PA PB4，且 PA PB0,若向量PC -PA3-PB3，則PC的最大值為-2 1-216-PC-(4 3PB )PC99解析：兩邊平方后知-，即P,A重合時(shí).336.已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0), M(1g), N(0,1),Q(2,3),動(dòng)點(diǎn) P (x, y),滿足0 OP OM1,0 OP ON 1則OP OQ的最大值為(BA AP)(CA AQ) BA CA BA AQ AP CA AP AQ0 * * - 8

19、3 COS600 AQ (BA CA) 48 AQ BC 8 14cos AOC BOC的面積之比等于積計(jì)算；法二：建立坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y),0 x 2y 1解析：即已知y 求2x 3y最大值問題，線性規(guī)劃問題0 y 137、在 ABC 中，已知 AB 2, BC 3, ABC 60 , AH BC 于 H , M 為 AH 的中點(diǎn)，若AM Ab BC，貝y.解析：AH AB BC，兩邊同數(shù)乘BC得 3;兩邊同數(shù)乘 AB得8632解方程組得1 12 6最新高考向量專題(附經(jīng)典解析)EF 2，38.如圖，在 ABC和 AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB3C

20、A CB 3,若AB AE AC aF 7 ,則eF與BC的夾角的余弦值等于解析：39題類似,EFBC 2 36，下面求EF BC (AFAE)(AC AB) (AB AE ACAF)E(AB AF AEAC)7 AB (AB BF) (ABBE) AC=AB AB BF AB AC BF AC 7 4 BF CB AB AC=71 ' -4-EF BC 2，解方程得 EF BC 2239.如圖，在 ABC和 AEF中，B是 EF的中點(diǎn)，AB=EF=1, CA=CB=2 若 AB AE aC aF 2 ,則eF與BC的夾角等于解析：一 解題思路：在已知等式中，將不知模長的向量作替換轉(zhuǎn)化

21、。3_AB AE AC AF AB (AB bE) AC (AB bF)AC BFeF與BC的夾角eF與BC AB aE Ac aF的夾角 BE BF,1 (AC AB) bF Ac Ab12Rt ACD中由已知邊長可得而在等腰 ABC中，作底邊的高CD,則在1cos CAB 21241 |bC| |BF| cos |7 ,設(shè)它3與bc的夾角為 。| cos CAB 2，1從而cos ，又02最新高考向量專題（附經(jīng)典解析）40.如圖，已知Rt BCD的一條直角邊BC與等腰Rt ABC的斜邊AB2 , CBD 30； , AD mABhaCn =.-1解析:AD mAB haC兩邊分別同乘AB, AC分別得到D4ADAB 4m, AD