多變量表達式范圍——放縮消元法

1、全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編(附詳解)多變量表達式的范圍放縮消元法、基礎(chǔ)知識:在有些多變量表達式的題目中，所提供的條件為不等關(guān)系，則也可根據(jù)不等關(guān)系進行消元，從而將多變量表達式轉(zhuǎn)化為一元表達式，便于求得最值1放縮法求最值的理論基礎(chǔ):不等式的傳遞性：若f (x,y )3g(x),g(x)3m，則f(x,yrm 2、常見的放縮消元手段:(1) 抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個變量間的不等關(guān)系，則可利用這個關(guān)系進行放縮消元(2) 配方法：通過利用“完全平方式非負”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式,然后令其等于0,達到消元的效果(3)均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達到消元的

2、效(4) 主元法：將多元表達式視為某個變量(即主元)的函數(shù)，剩下的變量視為常 數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達到消元的效果。3、放縮消元過程中要注意的地方:(1)在放縮過程中應(yīng)注意所求最值與不等號方向的對應(yīng)關(guān)系，例如：若求最小值, 則對應(yīng)的不等號為“ >”；若求最大值，則對應(yīng)的不等號為“ <”。放縮的方向應(yīng)與 不等號的方向一致(2)對進行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值。放縮法求最值 的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性，所以在求最值時要滿足其不等號的方向一致。若將關(guān) 于x,y的表達式f(x,y )進行放縮消去y，得到g(x )，例如f(x,y)Xg(x)，則下步需要求

3、出g(x )的最小值(記為m)，即f(X, y )3 g(x )3 m，通過不等式的傳遞性即可得到f(x,y)藝m。同理，若放縮后得到：f(x,y)蘭g(x )，則需要求出g(x)的最大值(記為 M ),即f(x,y)蘭g(x)WM，然后通過不等式的傳遞性得到f (x,y )蘭M(3) 在放縮的過程中，要注意每次放縮時等號成立的條件能夠同時成立，從而保全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編（附詳解）證在不等式中等號能夠一直傳遞下去、典型例題:例1:設(shè)集合2丄+b|1 <a <b<2 中的最大元素與最小元素分別為 M,m，則M -m laJ的值為思路：考慮分別求出2+b的最大值與最小

4、值，先求-+b的最大值，只需a取最小,aa333b取最大：一+ b<-+2=5即卩M =5，再求一+b的最小值，由1<a<b可知利用a -b >a進行放縮,33從而消去 b，可得：3+ b>Y + a，再利用均值不等式可得:a a3+ba>3 +a >2aJ a =2/3，所以+ b 的最小值 m = 2 V3，從而 M - m = 5 - 2%/3 V aa答案:5-23例2：c b已知A,B,C是任意三點，BC =a,CA = b,AB =c，J則討- + -的最小值是a + b c思路：因為a<b +c,所以結(jié)合不等號的方向可將a消去，從而

5、轉(zhuǎn)化為關(guān)于b,c的+、卜 c b c b c b 表達式： + - >一-一+-+ -a+b c b + c + b c 2b+ c c然后可從b出發(fā),構(gòu)造出與第一項互為倒數(shù)的性質(zhì)以便于利用均值不等式解出最值:2b+c 1-，從而2有：亠丄沁-，所以2b +c 2 ca+b c答案：運冷例3:設(shè)實數(shù)a,b,c滿足a2+b2<cE1，則a+b + c的最大值為思路：由a+b + c可聯(lián)想到（a+b ）與a2+b2的關(guān)系，即a+b<2ja2 + b22 ，所以J葺丄+c，然后可利用a2 +b2蘭C進一步放縮消元，得全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編（附詳解）J_2 +b2a + b

6、 + c <2j- + c < J2c + c，在禾I用 c <1 即可得至U最大值：J2c + c <+ 1，所以a+b + c的最大值為 Q+1，其中等號成立條件為:卜b晉c = 1c = 1答案：罷十1小煉有話說：本題也可從a2 +b2入手，進行三角換元:嚴 8日，由 abcb = rsinQ可得r<>/C，然后根據(jù)不等號的方向進行連續(xù)放縮，消去0,r,c即可得到最值:a + b + C = r cos 日 + r si n 8 +c = 72r si n A +生】+ c</2r+c< 72 + c < 72 +1I 4丿例4：已知

7、關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c30在實數(shù)集上恒成立，且a<b，則T的最小值為（ b -aA. 0B.C.D.思路：由不等式恒成立可得:2也=b -4ac <0,結(jié)合所求表達式和不等號方向可知更易于消去c，即ca+b+R所以T >4ab -a7 fb=4a4abX，對于該其次分式可兩邊同時除以a2，可得:rb占丿+41 +4ya丿©丿-1令t=-由a C b可知（1,畑 a從而將問題轉(zhuǎn)2求y+4t+42t +4t +4y = =6 + (t -1 ) +t T穿12，1從而T >-4y >3答案：D小煉有話說：本題的關(guān)鍵之處在于選擇消去的元,如果選

8、擇a,b，則因分式中含a,b的項較多，消元會比較復雜，不利于求得最值。所以處理多變量表達式的最值時,全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編(附詳解)選擇消去合適的元是關(guān)鍵1 1例5 (優(yōu)質(zhì)試題，四川)設(shè)abACAO，貝U 2a2 + +-10ac + 25c2的最ab a(a - b)小值為(A. 2B.C.D.解：X + y + z = 2”y = 2 - X - z思路：表達式含變量個數(shù)較多，且沒有等量條件消元，所以考慮式子中是否存在不等關(guān)系來減少變量個數(shù)，觀察式子可發(fā)現(xiàn)存在完全平方式，2 2 2a -10ac + 25c =(a-5c)>0而 消去 了 c2a2 +丄一11a b ( -

9、 a a0bC+ 2-C25打一，+然1后根據(jù)分母特征f -a b a aab,a(a-b)=a -ab構(gòu)造2 1 1ab+ 看E)Na ab)+ab+ab+亦可，由均1 1 1 1值不等式得： (a2 -ab ) + ab + +>4J(aa ab=4，驗ab a(a-b) Yab a(a-b)'a =5c證等號成立條件：J 211.a -ab = ab =Iab a -aba =4212<b= 一，從而最小值為 42c =5答案：D小煉有話說：本題在處理a2+丄+1ab a(a -b )的最值時還可以從分式入手:a -b +b丄+1 = ab+b =，從而對分母利用均值

10、不等式： ab a(ab) ab(ab) b(ab)b(a-b4吐嚴】遺消去b，所以a2+十詁嚴2+4工41 + z例6:已知正數(shù)x,y,z滿足x2+y2 + z2=1，則上的最小值是2xyz思路：所求表達式涉及3個變量，首先確定主元，通過觀察可發(fā)現(xiàn)分母中的2xy可 與條件中的X2+y2具備不等關(guān)系，而x2 + y2=1-Z2可用z表示，且不等號的方向與所求一致，故考慮利用不等式進行放縮消元， 進而得到關(guān)于z的表達式求得最值解: x2 + y2+乙2 = 1 = x2 + y2 = 1 _z2，因為 2xy<x2 + y2所以有2xy x2+y2"1-z21+z A 1 +z1

11、 +ZS =2=22xyz (1-z2)z (1-zX1+z)z z-z211( 1- z- 4>4(等號成立條件:X2 +y2 + z2 =1例 7:設(shè) x,y,z>0，且 x + y+z=2，41z =2則2x2 + y +3z2的最大值是思路：本題雖然有3個變量，但可通過x + y + z=2進行消元，觀察所求式子項的次數(shù)可知消去y更方便，從而可得2x2 + y+3z2 =2x2-x+3z2-z + 2。然后可使用“主元法”進行處理，將x視為主元，即f(x) = 2x2-X+3z2-z + 2但本題要注意x的取值范圍與z相關(guān)，即X- o,2-z ,通過配方(或求導)可知 f(

12、x )的最大值在邊界處取得，即f(X)max = maxEz2-z+2,5z2-8z+8，o,2】，從而達到消去x的效果，再求出g(z) = max3z2-z中2,5z2-8z中8中的最大值即可全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編(附詳解)二 2x2 +y + 3z2 =2x2 -x + 3z2 - z + 2Tf'(X 在 R上單調(diào)遞增二 (Y,0 )時，f'(X )C0設(shè) f (X )=2x2 - X +3z2 -z +2,rx,y,z>0'iy = 2-'x>0: wx-zF x<2-z0 <x <2-z1/. x =-為f(X)

13、的極小值點二 f (X)max =maxf (0)f(2-zH:f，(x )=4x-1f (0 ) = 3z2 -z +2, f (2-z ) = 2(2 -z ) +3z2 =5z2 -8z+8二 f (Xax 二maxSz?-z + 2,5z2-8z +8其中0,2設(shè) g(z Rmaxbz2 -z +2,5z2 -8z +83若3z2-z+2>5z28z+8= <z<22 23 13z2-z + 2，z 七，2可得：g(zmax 二g(2)T25z2 8z+8,z 亡 |0,-r 2丿g(z/. 2x2 + y + 3z2 = 2x2 X + 3z2 z + 2 <

14、 maxBz2 - z + 2,5z2-8z + 8<g(2) = 12例 8:已知函數(shù) f(X )= f'(1 徑2 - f (Ojx+x22(1)求f (X )的解析式及單調(diào)區(qū)間 1c(2)若不等式f(X )>?x2+ax+ b恒成立，求(a+1)b的最大值 解:( 1)f'(x)=f'(1 fex' f (0) + x，代入 x=1 可得：f'(1)=f'(1 ) f (0) + 1= f (0)=1f(X ) = f'(1 )ex -X + px2f(1 令 x=0 可得：f(0)= f'(1) = e e二

15、f '(X )=eX + x T，可知 f(0) = 0全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編（附詳解）X (0,母)時，f (X )>0/. f （x ）在（=,0 ）單調(diào)遞減，在（0,母）單調(diào)遞增11(2)恒成立的不等式為：eX x + -x2> x2+ax +b 即 eXx-ax-b>022設(shè) g(x) = eX - x-ax-bg (X ) = eX -(a +1)，令 g (>0，即解不等式 eS- a +1若 a +1 aO，可解得 X aI n (a +1 ).g（x）在（二,ln（a+1）單調(diào)遞減，在（In（a+1）,邑）單調(diào)遞增二 g(X hin =

16、 g ln (a +1)= a +1 -1n(a +1)-aln(a +1)-b >0二 b <a +1 -(a +1 )(n( a+1)2 2/. (a +1 p < (a +1 ) -(a +1 ) ln( a+1 )F面求(a+1 2 -(a +1 ) ln(a+1 )的最大值令 t=(a +1)，設(shè) h(t) = t- tl 門7?"一夕1 nt(tA0)1 1h (t)"齊十1j nt)令hO>0，可解得Octceh（t 在 （0,e ）單調(diào)遞增，在（e,兄）單調(diào)遞減1h(tmax 二h(e)mee/. (a + nb<-2當a+1

17、=0時,當a+1 co時,可得(a +10=0<：£g(x ) = ex -(a +1 )x -b 二 g(x )為增函數(shù)且XT -處時,-（a+1 ）xT 亠，g（x）T =，與 g（x）3 0恒成立矛盾e港上所述：心+小的最大值為-3例 9:已知函數(shù) f (x,t ) = e2x-2t(ex +x)+x2+2t2 + 1,tR,x忘 R，求 f(x,t )的最小思路：在多元表達式中不易進行變形消元，觀察到變量 t存在二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)，所 以考慮利用“主元法”，將t視為自變量，x視為參數(shù)，通過配方，并利用完全平方數(shù)的特征消去t，從而得到關(guān)于x的函數(shù)，然后求得最小值即可。f x

18、+ 2解： <小2"+寧冷宀x宀1f 12+ - e2 - xe 12 2>0/. f (x,O>-e2x +丄x2-xeX +12 22x丄,-xe +1設(shè)二 g，(x )=e2x +x -eX -xeX-X 2 -1)設(shè) h(x) = eX-x，可知 h，(x) = eX-1h(x莊(二,0單調(diào)遞減，在(0,邑 洋調(diào)遞增/. h(x )>h(0)=1 >0.eX-xA。恒成立二令 g(X ):>0，即解不等式 eX-1>0二 x>0g(x)在(二,0單調(diào)遞減，在(0,址焊調(diào)遞增 g(x)工 g(0)=3二 f (x,t 徉g(x)3

19、33即f (x,t )的最小值為-2例10:已知函數(shù)f(x)= JX3 +3x-a(a忘 R)(1)若f(x )在-1,1】上的最大值和最小值分別記為 M(a),m(a )，求M(a)-m(a )設(shè)b忘R，若f(X )+bT <4對X亡-1,1】恒成立，求3a+ b的取值范圍全國名校高考數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案專題匯編（附詳解）p- 3初 /八上lx +3x -3a,x >a解：(1)f(X )=2 3X 3x+3a,xva2I3x +3,x >a f (X )= Q3x -3,x ca當a<-1時，可得x>a/. f (X ) = x3+3x 3a/. f (x )在-1,

20、1 單調(diào)遞增 二 M (a)= f(1 ) = 4 3a,m(a)= f( 1)= -4 3a二 M (a )-m(a )=8X3 +3x -3a,a,1 當 a 巳1,1)時，f(x)=4 3 X3 -3x +3a,x 亡-1,a )f3x2 +3,x r a,1 】f(x)詔2:可得：f(x )在(-1,a)單調(diào)遞減，在(a,1)單調(diào)遞增3x -3,x 忘_1,a )M (a )=maxf (1 ) f ( 1) = 4 -3a,2 +3a,m(a ) = f (a )= a3由 f (1 )-f (1 ) = 2-6a可知:當 a T,1時，M (a ) = f (1 M (a) m(a

21、 ) = 4-3a -a3L3丄,！時，M (a ) = f (-1)/. M (a m(a )= 2 + 3a - a3 l3丿當 a X1 時，x<af(X )= X3-3x + 3a二 f'（x ）=3x2 -3可得 f（X）在（_1,1）單調(diào)遞減 /. M (a 戶 f (1) = 2 +3a,m(a )= f (1)=2 + 3aM (a )m(a ) = 48a <13 1綜上所述：M (a )-m(a )=«-a3 -3a +4, -1 <a 蘭一3 1-a +3a + 2, <134,a >1p- 3/c、才編亠、九lx +3x3a+b,x>a(2)不妨設(shè) h(x)=f(x)+b=2 3x3-3x + 3a+b,x ca2I3x +3,x >a二 h (X )= f(X )= q3x 3,xva由f(X ) + b( <4恒成立可知：h2(x)蘭4恒成立即-2<h(x)蘭2對任意的X亡-1,1】恒成立 二 h(X hax 蘭 2 且 h(Xmin 3-2 即 M(a)+b 蘭 2 且 m(a)+b3-2嚴-3a+b >-2 4-3a + b <2 當 a<1 時，由(1)可知 rnxhax =皿1) = 4-3&+匕山0山=h(1)=4-3a + b二 j&