鞏固練習(xí)_幾個(gè)重要不等式_不分層最新修正版

1、最新修正版【鞏固練習(xí)】-、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的正整數(shù)n，總有2nAn ”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)最小值n。應(yīng)當(dāng)是（）A. 5B.8D.12C.102.設(shè)a, b, c為正數(shù)，求（a + b+c）（4 +9 + 36）的最小值為（）a b cB. 49C.121D.2401233n +（n +1） +（n + 2） （n N*）能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證 n = k + 1時(shí)的情況，只需A. 113. 用數(shù)學(xué)歸納法證明展開(kāi)（）3A . （k + 3）4. （2015湖北模擬）A . 6 B . C .B. (k + 2)3C. (k +1)3D. (k +1)

2、3 + (k + 2)32 2 2 一已知 X, y, z, a R,且x +4y +z =6，則使不等式x+2y+3z wj亙成立的a的最小值為(8 D. VSS5.設(shè)a1,a2,|,an都是正數(shù)，d,d,6是印，a?,a.的任一排列，則印6+azbr+川+ anb?1的最小值是（）A. 1B. nD .無(wú)法確定二、填空題6.設(shè)a =（2,1,2）, b =6，貝y a b之最小值為7.已知X, y為實(shí)數(shù)，且滿足3x2 +2y2 <6，則2x+ y的最大值為8.123設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且a+2b+ 3c =2，則一+的最小值為 a b c （2015 郴州模擬）己知 X, y

3、（ 0, +8）,若五+3&< k代不恒成立,9.范圍是利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)k的取值1 2n 110.設(shè) a1, a2,|, an 為 1,2,II, n 的一個(gè)排列，貝U +111+2 3n和一+亞+川+ -1的大小關(guān)系是a2a3an三、解答題11.設(shè)x+y + z=19，求函數(shù)y =+腫+16的最小值。12.設(shè) a > a M H a > an+1，求證:(的-0+) 213.設(shè)6, a2, a3為正數(shù)，求證:業(yè)+沁沏+屮為島 "l 砌=1時(shí)，21>13，不滿足該不等式；n = 2,3, , 9時(shí)2n<n3,不滿足該不等式; n = 10

4、時(shí)，210 = 1 024>103，滿足該不等式; no= 10.答案：10.2.【答案】C【解析】由柯西不等式可得，=121 ,4936(a+b+c)(a+d+g.當(dāng)且僅當(dāng)向量(ja,jb,jc)與向量共線，即空=匕=£時(shí)取等號(hào).23614.已知數(shù)列aj,bn 滿足a1 =2,an 1 = an(an屮1), ba1，數(shù)列(bj的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列bj的通項(xiàng)公式;n1(2)求證：對(duì)任意的ne N*,有1+ <S2n < + n成立.2 2 215. (2014 南通模擬)已知 a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且 a+b+c=1，求島TI+1+1的最大值.【答案與解

5、析】1.【答案】C【解析】n3.【答案】A【解析】假設(shè)當(dāng)當(dāng)n = k + 1時(shí),4.【答案】B【解答】解：由n = k時(shí)，原式能被9整除，即k2+ (k +1)3 + (k + 2)3能被9整除.(k +1)2+ (k + 2)3+ (k + 3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k + 3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可.x2+4y2+z2=6，利用柯西不等式可得(x+2y+3z ) 2< ( x2+4y2+z2) ( 12+12+32) =66, 故有x+2y+3zw何，當(dāng)且僅當(dāng)蘭=2=衛(wèi)時(shí)，取等號(hào).113再根據(jù)不等式x+2y+3zWa恒成立，可得a"元，故選B.5.【答案】B【

6、解析】不妨設(shè)aal >an,由于ai(i =1,2川，n)都是正數(shù)，則a；工a,日II Eaf由有序?qū)崝?shù)組及排序不等式可得: 逆序和：aian1+a2a21l +anai a1b+ a2b2ll+anbn1是其中一個(gè)亂序和,有亂序和即順序和，可知，a1b+ a2b2+anb> n , 當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2(=an時(shí)取等號(hào)6.【答案】T8； (4,-2,-4)【解析】由柯西不等式的向量形式:a h <iab 可知，a b <18二 _18 <a b <18 ,即a b之最小值為_(kāi)18,此時(shí)b = -2a = (4,2,4)7.【答案】jnf41 322【解析】由

7、柯西不等式可知，|上+丄（3x2+2y2 ）>V3 2丿32y), 2= (2x+ y ),2 11 2 2即(2x + y ) < (3x2+2y2 ),6由于 3x2+2y2 <6 ,由不等號(hào)的傳遞性可知,2(2x+ y ) <11，即3 2 2 2當(dāng)且僅當(dāng) 匯=_L和3x2+2y2=6時(shí)取等號(hào)，此時(shí)41322 1629x 冷,y=2x+ y的最大值是jn18.【答案】18;-3【解析】考慮以下兩組向量:u =(屈，2bJ3C), v =(-），利用柯西不等式的向量形式，可知:U2 神2 3(U V)2,即(荷2 +(岳)2 +(73C)2(沖 +(£)2

8、 +(j3)2H(1 + 2 + 3)218,J時(shí)取等號(hào)，Vc（丄十2 + 3） >18，即最小值為 a b cJ aV 2b當(dāng)且僅當(dāng)U/V ,即卩=£霜此時(shí) a =b =c 又 a +2b +3c = 29.【答案】k>V10【解答】解：由柯西不等式可得（ Vx+） 2<（x+y） （1+9）, Vx+Wy V VTXZ帀'Wx+y V k心+y恒成立，- k> VT5.10.答案】1+2 +川+口<邑+電+川+色2 3na2 a3a*【解析】設(shè)切如如是卯角,心的一個(gè)排列,且切純 <- <幾，C“hg為曲角廣也的-個(gè)排列, >

9、>-> 于是56九,由排序不等式：亂序和 月反序和，得笛a(bǔ).a. 1iiin氏 1丄+丄+上巴丄+丄+旦2兔氣5勺a-l由于21島>2,扎1>曠1,C 5 2心 £ 3,疋皆13 ci W2n-妬職T 12丄+丄+上>_+ 于是5J 2 3綜合，得證。11.【解析】根據(jù)柯西不等式(JF +4 + Jh+9 +=+ 4) + (/ + 刃 +(/ +1Q + 2 J(/ +4)02 +9)+ 2(/+4)(/+16) + 2心+9)(/+讓)2 F +4+ 9 +16 + 2(砂 + 6) + 2(zz+ 8) + 2yz +16)=(兀+y +可卞+81

10、= 442x_ 22 j_ 3331976二二 J = J =品=rrr當(dāng)且僅當(dāng)J 324 Z 4即 939時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)% ="442 12.【證明】叫g(shù).' 0廣曲>0角F? >0內(nèi)-兔>Q衛(wèi)廠晴10,又a廠如詁-如=1P）+（伽P）+（他5）+十仇"）于是由柯西不等式得:（兔-戊2+砌-色+-+0凰-冬（+術(shù)一的如-他軸一鳥(niǎo)我> (荷-叫 -i+J如-眄 7+" +&*-冬+1 -j昶-兩占2-%-知413.【證明】不妨設(shè)“4沖0,于是石嚴(yán) 5%由排序不等式：順序和耳亂序和，得禺Qq 禺爲(wèi)111丄 + -J-J. +

11、 -J-L > a2 +©2包爲(wèi)口 1 殉 a、 的的5務(wù)= +包+厲1竺+型+豐1曲+盤(pán)嚴(yán)即坷 砌14.【解析】(I)由占=« -1得0 =方+M弋入理-1 (a + -1) 得& =(d +l)b窘里得由-0 + E方+ ,=£3刖否則八1,與"2矛盾，從而得一-頁(yè)叫3" -1=1數(shù)列0是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)"1時(shí)1+戶+新=1十號(hào)+宀+】不等式成立!(2碾設(shè)當(dāng)xk (*>1, D 時(shí)，不等式成立，艮卩 t11 +尹用運(yùn)十k,那么當(dāng)gk+lB寸$ =l+i+-+i 1+14.-!2 2 2 22+1ft£ 1+ +- +- + S +a 212-hl12+1 -2*5二當(dāng)« = A:+lBt，不等式成立由知對(duì)任意的川