期權(quán)定價(jià)模型在資產(chǎn)價(jià)值評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

1、第九章 期權(quán)定價(jià)模型在資產(chǎn)價(jià)值評(píng)估中的應(yīng)用 一、練習(xí)題 1、 三周前你買(mǎi)了一份 100 股看漲期權(quán)合約。該看漲期權(quán)的到期日自今天算起還 有五周。在那天，標(biāo)的股票的價(jià)格將是 120 元或 95 元。兩種狀態(tài)的出現(xiàn)是等可 能的。目前，該股票售價(jià)為96 元；其執(zhí)行價(jià)格是 112 元。你能夠購(gòu)買(mǎi) 32 股股票。 你能以 10%年利率借到錢(qián)。你的看漲期權(quán)合約的價(jià)值是多少？ 2、 假設(shè)戴爾塔運(yùn)輸公司股票在今天算起的一年后到期時(shí)只存在兩種狀態(tài)。到那 天戴爾塔公司股票的價(jià)格將是 60 元或 40 元。今天戴爾塔股票以 55 元交易。看 漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是 50 元。你能以 9%勺利率借款。你愿意為此看漲期權(quán)支

2、付的 款額是多少？ 3、 現(xiàn)有計(jì)算機(jī)普拉斯公司股票的看漲期權(quán)。該期權(quán)將于今天起的一年后到期， 執(zhí)行價(jià)格是 35 元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是 7%計(jì)算機(jī)普拉斯公司股票正以每股 37 元出 售，而你對(duì)股票收益方差的估計(jì)值是 0.004。 (1) 利用布萊克-模型為該看漲期權(quán)定價(jià)。 (2) 你發(fā)現(xiàn)方差的估計(jì)值應(yīng)該修改為 0.0064?？礉q期權(quán)的新價(jià)格應(yīng)是多少？ (3) 在公布該公司即將關(guān)閉其在加利福尼亞的三家工廠后，股票價(jià)格跌至 35 元。 利用 中的結(jié)果，該期權(quán)的新價(jià)格應(yīng)該是多少？ 4、 你已應(yīng)顧客的要求確定他們將愿意為購(gòu)買(mǎi)金斯利看漲期權(quán)而支付的最高價(jià)格。 該期權(quán)具有執(zhí)行價(jià)格 25 元，且在 120 天后到

3、期。金斯利股票的現(xiàn)行價(jià)格是 27 元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率是 7%股票的估計(jì)方差是 0.0576。預(yù)期在下六個(gè)月期間沒(méi)有 任何股利被宣布。你的顧客應(yīng)該支付的最高價(jià)格是多少？ 5、 環(huán)球不動(dòng)產(chǎn)合伙有限公司正在進(jìn)行一個(gè)新項(xiàng)目。若該項(xiàng)目成功，一年后公司 的價(jià)值將是 6.5億元，但若最終失敗，公司將只值 2.5 億元。公司的現(xiàn)有價(jià)值是 4 億元。公司已公開(kāi)發(fā)行的一年期債券的總面值為 3 億元。短期國(guó)庫(kù)券利率是 7% 權(quán)益的價(jià)值是多少？負(fù)債的價(jià)值是多少？ &假設(shè)上一題中的環(huán)球不動(dòng)產(chǎn)合伙有限公司決定實(shí)施一項(xiàng)較有風(fēng)險(xiǎn)的項(xiàng)目：一 年后公司的價(jià)值要么是 8 億元，要么是 1 億元，這取決于計(jì)劃是否成功。權(quán)益的

4、價(jià)值是多少？負(fù)債的價(jià)值是多少？債權(quán)人更喜歡哪一個(gè)項(xiàng)目？ 7、某公司發(fā)行了5億元的零息票債券，5年后到期。公司近些年來(lái)的利息和稅 前收入(EBIT)約為 4 億元(稅率為 40%。預(yù)計(jì)收入以每年 5%勺速度永續(xù)增長(zhǎng)。 公司不付紅利。公司的股權(quán)資本成本為 12%加權(quán)資本成本為 10%可比公司價(jià) 值波動(dòng)的年標(biāo)準(zhǔn)差為 12.5% (5 年期國(guó)債利率為5%。請(qǐng)你用貼現(xiàn)現(xiàn)金流和期權(quán) 定價(jià)兩種方法計(jì)算該公司的股權(quán)資本的價(jià)值。 二、參考答案 1、 期權(quán)的有效期限為八周。假設(shè)到期日時(shí)股票價(jià)格是 95 元，貝礫略 1 放棄執(zhí)行看 漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略 2 的合計(jì)額也應(yīng)該是 0,由此我們可以計(jì)算出 復(fù)制的借

5、貸金額本金是 2994 元，而期權(quán)的有效期限為八周，借貸金額年利為 10% 具體計(jì)算見(jiàn)表 9-1。 表 9-1 初始交易 到期日盈利 若股票價(jià)格是 120 元若股票價(jià)格是 95 元 策略 1: 購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) （含 100 股的合約） 執(zhí)行看漲期權(quán) 100X( 120-112) =800 放棄看漲期權(quán) 0 策略 2: 購(gòu)進(jìn) 32 股股票 32 X 120 = 3840 32 95 = 3040 借貸 2994 元 -2994 (1+10%X 8/52) = -3040 2994 (1+10%X 8/52) =-3040 策略 2 的合計(jì) 800 0 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此

6、兩個(gè)策略有相同的成本，得 出看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=32 96 2994 78 元。 另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。 策略 1 的凈收益=800-C， 策略 2 的凈收益=32 （ 120-96）-2994 10%*8/52（利息支出） =32 24-46=722 元 因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=800-722=78 元 2、 期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時(shí)股票價(jià)格是 40 元，貝礫略 1 放棄執(zhí)行看 漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略 2 的合計(jì)額也應(yīng)該是 0,由此我們可以計(jì)算出 復(fù)制的借貸金額本金是 1835 元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為 9%具體計(jì)算見(jiàn)表 9-2

7、。 表 9-2 _ 初始交易 到期日盈利 若股票價(jià)格是 60 元 若股票價(jià)格是 40 元 1、購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) （含 100 股的合約） 100 (60-50) =1000 放棄看漲期權(quán) 2、購(gòu)進(jìn) 50 股股票 50 60 = 3000 50 40 = 2000 借貸 2994 元 -1835 (1+9%) =-2000 -1835 (1+9%) =-2000 策略 2 的合計(jì) 1000 0 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)策略有相同的成本，得 出看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=50 55 1835 915 元。 另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。 策略 1 的凈收益=1000-

8、C， 策略 2 的凈收益=50 （60-55 ） -1835 9% （利息支出） =50 5-165=85 元 因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=1000-85=915 元 3、 （1）運(yùn)用布萊克-斯科爾斯模型計(jì)算，公式如下： C=SN（d 1） -Ee rt N （d 2 ） d 1= ln(S/E)+(葉 1/2 2) t - 2t d 2 = d 廠一 2t 公式中：S現(xiàn)行股價(jià),股票價(jià)格 S 是 37 元；E看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格,執(zhí) 行價(jià)格 E 是 35元；r連續(xù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率(年度的),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是 0.07 ; 2 股票的連續(xù)收益之方差(每年)，普拉斯公司的方差估計(jì)為每年 0.004 ; t至

9、到期日的時(shí)間(單位：年)，我們將以年為單位表示成 1。 此外，還有一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念：N (d )即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量將小于或等于 d的概率。 利用上述五個(gè)參數(shù)， 我們分三個(gè)步驟計(jì)算期權(quán)的布萊克-斯科爾斯值： 步驟 1:計(jì)算d ,和d 2。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。 我們有： d 產(chǎn)1 n(S/E)+(葉 1/2 2) t . 2t =ln (37/35)+(0.07+1/2 0.004) 1 . 0.004 1 =(0.0556+0.072)/0.063 = 2.0254 d 2 = d 1-21= 2.0254-0.063 = 1.9624 步驟 2:計(jì)算 N(d 1)和

10、N(d 2 )。值 N (d 和 N (d 2 )可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的概率表得出。 N(d 1)= N(2.0254) = 0.9786 N (d 2 ) = N(1.9624) = 0.9751 步驟 3:計(jì)算 C。我們有 C=SN(d 1) -Ee rt N (d 2 ) =37 N (d 1) -35 e 0.07 1 N (d 2 ) =37 0.9786-35 0.9324 0.9751 =36.2082-31.8214 =4.3868 兀 (2) 普拉斯公司的方差估計(jì)為每年 0.0064 時(shí)： 步驟 1：計(jì)算d 1和d 2。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。 我

11、們有： d 1= ln(S/E)+(葉 1/2 2) t . 2t =ln (37/35)+(0.07+1/2 0.0064) 1 .0.0064 1 =(0.0556+0.0732)/0.08 =1.61 d 2 = d 廣.2t =1.61-0.08 =1.53 步驟 2:計(jì)算 N(d 1)和N(d 2 )。值 N (d 和 N (d 2 )可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的概率表得出。 N(d 1)= N(1.61) = 0.9463 N (d 2 ) = N(1.53) = 0.9370 步驟 3:計(jì)算 C。我們有： C=SN(d 1) -Ee rt N (d 2 ) =37 N (d 1)

12、-35 e 0.07 1 N (d 2 ) =37 0.9463-35 0.9324 0.9370 =35.0131-30.5781 =4.435 元 (3) 普拉斯公司的股票價(jià)格 S 下跌至 35 元每股。 步驟 1：計(jì)算d 1和d 2。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。 我們有： d 1= ln(S/E)+(葉 1/2 2) t 2t =ln (35/35)+(0.07+1/2 0.0064) 1 0.0064 1 =(0+0.0732)/0.08 =0.915 d 2 = d 廣-21 =0.915-0.08 =0.835 步驟 2:計(jì)算 N(d 1)和N(d 2 )。值

13、N (d 和 N (d 2 )可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的概率表得出。 N(d 1)= N(0.915) = 0.8199 N (d 2 ) = N(0.835) = 0.7981 步驟 3:計(jì)算 C。我們有： C=SN(d 1) -Ee N (d 2 ) =35 N (d 1) -35 e 0.07 1 N (d 2 ) =35 0.8199-35 0.9324 0.7981 =28.6965-26.0452 =2.6513 元 4、 股票價(jià)格 S 是 27 元；執(zhí)行價(jià)格 E 是 25 元；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是 0.07 ;此外，距到 期日的時(shí)間t可以很快算出：公式要求t以年為單位來(lái)表示，我們將 12

14、0 天以年 為單位表示成 120/365 ;金斯利公司的方差估計(jì)為每年 0.0576。 利用上述五個(gè)參數(shù)，我們分三個(gè)步驟計(jì)算期權(quán)的布萊克-斯科爾斯值： 步驟 1:計(jì)算d !和d 2。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來(lái)確定這兩個(gè)值。 我們有 d 1= ln(S/E)+(葉 1/2 2)t . 2t =ln (27/25)+(0.07+1/2 0.0576) 120/365 . 0.0576 120/365 =(0.0770+0.0325)/0.1376 =0.7957 d 2 = d 廣；2t =0.7957-0.1376 =0.6581 步驟 2:計(jì)算 N(d 1)和N(d 2 )o值 N (

15、d 1 )和 N (d 2 )可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的概率表得出。 N(d 1)= N(0.7957) = 0.7868 N (d 2 ) = N(0.6581) = 0.7448 步驟 3:計(jì)算 C。我們有 C=SN(d 1) -Ee rt N (d 2 ) c r Kt/ 1 、 c 廠 0.07 120 / 365 K i / i 、 =27 N (d 1) -25 e N (d 2 ) =27 0.7868-25 0.9772 0.7448 =21.2436-18.1955 =3.0481 元 5、 買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系用公式可以表述為： S+p-c=Xe r(T t) 既 S+p=c+X

16、e r(T t) 公式中：T 為期權(quán)有效期，t 為有效期內(nèi)已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間，X 為股票期權(quán)的執(zhí)行 價(jià)格，S 為股票的現(xiàn)行價(jià)格，r 為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。它表明，具有某一確定執(zhí)行價(jià)格 和到期日的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格可根據(jù)相同執(zhí)行價(jià)格和到期日的歐式看跌期權(quán) 的價(jià)值推導(dǎo)出來(lái)，反之亦然。 用看漲期權(quán)和看跌期權(quán)來(lái)描述公司的股東權(quán)益和負(fù)債， 我們可以把上述買(mǎi)賣(mài) 權(quán)平價(jià)關(guān)系改寫(xiě)成： 公司看漲期權(quán)價(jià)值=公司價(jià)值+公司看跌期權(quán)價(jià)值-無(wú)違約 債券價(jià)值 期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時(shí)公司價(jià)值是 2.5 億元，則策略 1 放棄 執(zhí)行看漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略 2 的合計(jì)額也應(yīng)該是 0,由此我們可以計(jì) 算出復(fù)制的借貸金額本

17、金是 2.044 億元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年 利率為 7%具體計(jì)算見(jiàn)表 9-3。 表 9-3 初始交易 到期日盈利 若公司價(jià)值是 6.5 億 元 若公司價(jià)值是 2.5 億元 1、購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) 6.5 億元-3 億元=3.5 億元 放棄看漲期權(quán) 2、 購(gòu)進(jìn) 0.875 的公司 0.875 6.5 億元=5.6875 億元 借貸 2.044 元 -2.044 億元 (1+7%) =-2.1 875 億 元 策略 2 的合計(jì) 3.5 億元 2.5 億元 0.875=2.1875 億 元 -2.044 (1+7%)=-2.1875 億元 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)

18、策略有相同的成本，得 出看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=4 0.875 2.044 1.456 億元。 另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。 策略 1 的凈收益=3.5-C， 策略 2 的凈收益=(6.5-4) 0.875-2.044 7% (利息支出) =2.1875-0.143=2.044 億元 因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=3.5-2.044=1.456 億元，由前可知， 公司的權(quán)益價(jià)值=公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值=1.456 億元 在得出公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值后我們用買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系公式計(jì)算公司看跌期 權(quán)價(jià)值。 代入買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系公式 S+p-c=Xe r(T 即 S+p=c+Xe r(T t)

19、此時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)是公 司本身。 公式中：T 為期權(quán)有效期，此時(shí)是 1 年；t 為有效期內(nèi)已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間，此時(shí)為 0； X 為公司看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，即公司發(fā)行的債券的面值 3 億元；S 為公司目前 的價(jià)值 4 億元；為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 7% 求出公司看跌期權(quán)價(jià)值 p=c+Xe r(T t )-S =1.456+3 e 0.071 -4 =1.456+3 0.9324-4 =0.2532 億元 公司負(fù)債的價(jià)值=公司價(jià)值-公司看漲期權(quán)價(jià)值 =4-1.456 =2.544 億元 或者公司負(fù)債的價(jià)值=無(wú)違約債券價(jià)值-公司看跌期權(quán)價(jià)值 C 0.07 1 小一 =3 e -0.2532 =3 0.9324-0.25

20、32 =2.544 億元 兩者的結(jié)果是一樣的，由此也驗(yàn)證了買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系的存在。 6、 期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時(shí)公司價(jià)值是 1 億元，則策略 1 放棄執(zhí)行看 漲期權(quán)；相應(yīng)的與之等值的策略 2 的合計(jì)額也應(yīng)該是 0,由此我們可以計(jì)算出復(fù) 制的借貸金額本金是 0.6676億元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率 為 7%具體計(jì)算見(jiàn)表 9-4。 表 9-4 初始交易 到期日盈利 若公司價(jià)值是 8 億元 若公司價(jià)值是 1 億元 1、購(gòu)進(jìn)看漲期權(quán) 8 億元-3 億元=5 億元 放棄看漲期權(quán) 2、 購(gòu)進(jìn) 5/7 的公司 5/7 8 億元=40/7 億元 借貸 0.6676 億元 -0.667

21、6 億元(1+7%) =-5/7 億元 策略 2 的合計(jì) 5 億元 1 億元 5/7=5/7 億元 -0.6676 (1+7%)=-5/7 億元 0 由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無(wú)套利可能，因此兩個(gè)策略有相同的成本，得 出看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=4 5/7 0.6676 2.1895 億元。 另外一種計(jì)算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。 策略 1 的凈收益=5-C， 策略 2 的凈收益=(8-4) 5/7-0.6676 7% (利息支出) =2.8571-0.0467=2.8104 億元 因此看漲期權(quán)合約的價(jià)值 C=5-2.8104=2.1896 億元(兩者的微小差異是由于計(jì)算 中的四舍五入引

22、起的)。 由前可知,公司的權(quán)益價(jià)值=公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值=2.1895 億元 在得出公司看漲期權(quán)合約的價(jià)值后我們用買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系公式計(jì)算公司看跌期 權(quán)價(jià)值。 代入買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系公式 S+p-c=Xe r(T 即 S+p=c+Xe r(T t)此時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)是公 司本身。 公式中：T 為期權(quán)有效期，此時(shí)是 1 年；t 為有效期內(nèi)已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間，此時(shí)為 0； X 為公司看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，即公司發(fā)行的債券的面值 3 億元；S 為公司目前 的價(jià)值 4 億元；為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 7% 求出公司看跌期權(quán)價(jià)值 p=c+Xe r(T t )-S =2.1895+3 e 0.071-4 =2.1895+3 0.93

23、24-4 =0.9867 億元 公司負(fù)債的價(jià)值=公司價(jià)值-公司看漲期權(quán)價(jià)值=4-2.1895 = 1.8105 億元 或者公司負(fù)債的價(jià)值=無(wú)違約債券價(jià)值-公司看跌期權(quán)價(jià)值 =3 e 0.071 -0.9867 =3 0.9324-0.9867 =1.8105 億元 兩者的結(jié)果是一樣的，由此也驗(yàn)證了買(mǎi)賣(mài)權(quán)平價(jià)關(guān)系的存在。 分析前面的計(jì)算結(jié)果，我們明顯地發(fā)現(xiàn)當(dāng)公司選擇風(fēng)險(xiǎn)大的項(xiàng)目時(shí)， 公司的權(quán)益 價(jià)值增加了，從 1.456 億元增加到了 2.1896 億元；而公司負(fù)債的價(jià)值從 2.544 億元下降到了 1.8105 億元，因此債權(quán)人更喜歡風(fēng)險(xiǎn)小的第五題中的項(xiàng)目。(即項(xiàng) 目成功公司價(jià)值變成 6.5

24、億元，如果項(xiàng)目失敗公司價(jià)值變成 2.5 億元的項(xiàng)目) 7、 (1) 采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法，股權(quán)資本成本 e為 12%預(yù)期增長(zhǎng)率 g 為 5% (此處把 收入增長(zhǎng)率近似看成股權(quán)現(xiàn)金流量的增長(zhǎng)率)。由于公司發(fā)行的是5億元的零息 票債券，因此沒(méi)有利息支出。 因而股權(quán)現(xiàn)金流量 CFE= EBIT (1 t)=4 (1-40%) =2.4 億元 代入股權(quán)價(jià)值評(píng)估中的一階段模型公式計(jì)算股權(quán)資本價(jià)值。 股權(quán)資本價(jià)值=-CFE 24 34.2857億元 e g 12% 5% (2) 采用期權(quán)定價(jià)方法，由于公司的股權(quán)資本成本為 12%加權(quán)資本成本為 10% 公司的債務(wù)資本為零(因?yàn)榘l(fā)行的是零息票債券)。由計(jì)算公司加權(quán)資本成本的