數(shù)形結(jié)合,巧解“與圓有關(guān)的最值問題”

1、數(shù)形結(jié)合,巧解“與圓有關(guān)的最值問題”(山東省乳山市第五中學(xué) 264511 張志濤與圓有關(guān)的最值問題是考試的一個(gè)熱點(diǎn),其題型豐富多采.而圓又是一種同學(xué)們最熟悉的幾何圖形,我們在初中就學(xué)過大量圓的知識,所以若能聯(lián)系其幾何性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,機(jī)動靈活地去分析問題,則往往會收到事半功倍的效果,現(xiàn)舉例說明.例1 平面上有兩點(diǎn)A (1-,0,B (1,0,P 為圓x y x y 2268210+-+=上的一點(diǎn),試求S AP BP =+|22最小值.解析:把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x y -+-=34422,設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(,x y 00,則2222220000|(1(1S AP BP x y x y

2、 =+=+-+222002(12(1x y OP =+=+ 要使2 2|BP AP S +=最小,需|OP 最小,即使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小.結(jié)合圖形,容易知道325|min =-=-=r OC OP ,所以2013(22min =+=S .點(diǎn)評:設(shè) P (x ,y ,使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離問題,利用數(shù)形結(jié)合法求最值,實(shí)質(zhì)上是利用初中學(xué)過的“連結(jié)兩點(diǎn)的線段中,直線段最短”這一性質(zhì).例2 點(diǎn)A 在圓(x y -+-=53922上,則點(diǎn)A 到直線3420x y +-=的最短距離為( A. 9B. 8C. 5D. 2解析:過C 作CD 直線3420x y +-=于D ,交圓C 于

3、A , 則AD CD r =-為所求 .AD 點(diǎn)評:涉及到圓上的點(diǎn)到某條直線的距離的最值,要發(fā)揮好圓心的“核心”作用.本題實(shí)質(zhì)上是利用“從直線外一點(diǎn)向直線引的所用線段中,垂線段最短”這一原理例3 0,3(P 在圓0122822=+-+y x y x 內(nèi)一點(diǎn).求(1過P 的圓的最短弦所在直線方程(2過P 的圓的最長弦所在直線方程解析:圓方程可以化成51(4(22=-+-y x ,圓心1,4(O 1=OP k 短l :3(-=x y 即 03=-+y x ; 長l :3(-=x y 即03=-y x . 點(diǎn)評:最長弦當(dāng)然是直徑了,而最短弦是與直徑垂直的弦.例4 已知實(shí)數(shù)x ,y 滿足方程22(23

4、x y -+=.(1 求y x的最大值與最小值; (2 求y x -的最大值與最小值; (3 求22x y +的最大值和最小值.分析:22(23x y -+=為圓的方程,(,P x y 是圓心為(2,0 點(diǎn).y x的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,y x -的幾何意義是直線y x b =+在軸上的截距,22x y +的幾何意義是圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.解:(1設(shè)y k x=,即y kx =.當(dāng)直線y kx =與圓相切時(shí),斜率k 取最大值與最小值,=k =.所以y x k = (2設(shè)y x b -=,當(dāng)直線y x b -=與圓相切時(shí),縱截距b 取得最大值與最小值,=解得2b =-所以y x -的最大值為2-,最小值2-. (3表示圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離,由平面幾何知識知,其最大值為圓心到原 點(diǎn)的距離加上圓的半徑,其最小值為圓心到原點(diǎn)的距離減去圓的半徑,分別是2 與222x y +的最大值和最小值分別為7+7-. 例5 過直線1y =上一點(diǎn)P (x ,y 作圓22(1(11x y +=的切線,求切線長的最小值. 解析:如圖所示,切線長PM=PM的最小值,只需求PC的最小值.PC是直線上一點(diǎn)到圓心的距離,由于經(jīng)直線外一點(diǎn)所引直線的垂線段的長度是該點(diǎn)到直線的距離的最小值,所以當(dāng)PC垂直于直線時(shí),min 2PC=,此時(shí),切 小結(jié)與提升:圓的知識在初中與高中都要學(xué)習(xí),是一典型的知