《高等數(shù)學教學資料》第七章（3）

1、實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的問題的實質實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、問題的提出一、問題的提出 討論函

2、數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一方沿某一方向的變化率問題向的變化率問題),(yxfz 二、方向導數(shù)的定義二、方向導數(shù)的定義oyxlP xyP引射線引射線內有定義，自點內有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點且上的另一點且為為并設并設為為的轉角的轉角軸正向到射線軸正向到射線設設 （如圖）（如圖） |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0

3、 yxfyyxxflf 沿著沿著x軸負向、軸負向、y軸負向的方向導數(shù)是軸負向的方向導數(shù)是 yxff ,.的的方方向向導導數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點在在，時時，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當當之之比比值值，兩兩點點間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxP是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任意方向的，那末函數(shù)在該點沿任意方向 L L 的方向導數(shù)都的方向導數(shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其

4、中其中 為為x軸到方向軸到方向 L L 的轉角的轉角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向導數(shù)故有方向導數(shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(P處處沿沿從從點點 )0 , 1(P到到點點)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù).解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所

5、所求求方方向向導導數(shù)數(shù))4sin(2)4cos( lz.22 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向導數(shù)的計算公式知由方向導數(shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當當43 和和47 時時，方向導數(shù)等于方向導數(shù)等于 0.對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向導數(shù)的方向導數(shù) ，可定義

6、，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義（ 其其中中222)()()(zyx ） 同同理理：當當函函數(shù)數(shù)在在此此點點可可微微時時，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點點沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向導導數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有.coscoscos zfyfxflf 設設方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgrad

7、f ),(,cos| ),(| yxgradf 當當1),(cos( eyxgradf時時，lf 有最大值有最大值.設設jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由由方方向向導導數(shù)數(shù)公公式式知知 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結論結論),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz

8、所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P 三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在空空間間區(qū)區(qū)域域 G 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點GzyxP ),(，都都可可定定義義一一個個向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值為方向導數(shù)的最

9、大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0.1、方向導數(shù)的概念、方向導數(shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向導數(shù)與梯度的關系、方向導數(shù)與梯度的關系（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）四、小結四、小結.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函

10、數(shù)數(shù)yxf討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點處的偏導數(shù)是否存在？方向導數(shù)是否存在？點處的偏導數(shù)是否存在？方向導數(shù)是否存在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個偏導數(shù)均不存在故兩個偏導數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向導導數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1

11、 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向導數(shù)為的方向的方向導數(shù)為_._.2 2、 設設xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向導數(shù)是方向的方向導數(shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個函數(shù)與某個函數(shù) ),(zyxu的梯度有關系的梯度有關系_._.練練 習習 題題三三、 設設vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點點),(000zyxM處處沿沿點點的的向向徑徑0r的的方方向向導導數(shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關關系系時時此此方方向向導導數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函數(shù)二、求函數(shù))(12222byaxz 在點在點)2,2(ba處沿曲線