《高等數(shù)學教學》201x. ch8.（1）多元函數(shù)的微分學 m

1、整理課件、例例4.,),(2yxzfxyyxyxfz 求求具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)解解xxxxyfyxfyxfxz)()()(321 .321f yff yf yffyxz )(32123321)()()(fyfyyfyf yyyxyfyxfyxf)()()(131211 yyyxyfyxfyxf)()()(232221.)()()(3333231fxyfyxfyxfyyyy 3333231232221131211)(ffxffyfxfffxff .)()(33323221311ffxyfyxffyxf ),(232011星星期期三三第第二二周周日日月月年年整理課件、例例5.)

2、2()()()()()1(sin,cos,),(22222222221121222 urrurruyuxuurruyuxuryrxyxuu、之之下下，證證明明：在在極極坐坐標標變變換換有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證明證明ryyurxxuru ).1(yuxu sincos yyuxxuuyuxurr cossin 212212)cossin()sin(cos)()(22yuxuryuxuurrurr 22)cos(sin)sin(cosyuxuyuxu 2222)(sinsincos2)(cosyuyuxuxu 2222)(cossincos2)(sinyuyuxuxu .)()(22

3、yuxu .)1(證證畢畢 )sin(cos)().2(22yuxurrurru )(sin)(cosyurxur )(cos222ryyxurxxu )(sin222ryyurxxyu )sincos(cos222 yxuxu )sincos(sin222 yuxyu.sincossin2cos2222222yuyxuxu 整理課件.sincossin2cos222222222yuyxuxuru ;coscossin2sinsincos222222222222yuyxuxuyuxuurrrrr 同理可得：同理可得： 222rur.sincossin2cos2222222222yuyxuxur

4、rr )(sincos2222222222yuxuyuxuruurrrr )()sin(cos2222222222yuxuyuxuruurrr )()(2222222222yuxuryyurxxuruurrr ryyurxxuru )(2222222222yuxururuurrr 22222222211rurururyuxu .證畢證畢整理課件二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分式式：一一階階微微分分形形式式不不變變性性公公dvvfduufdzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu :),(),(),(,),(),(,),(),(),(處處的的全全微微分分為為在在點點則則

5、復復合合函函數(shù)數(shù)具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在對對應(yīng)應(yīng)點點函函數(shù)數(shù)的的偏偏導導數(shù)數(shù)及及對對具具有有對對處處都都在在點點及及若若函函數(shù)數(shù) 式式的的證證明明：一一階階微微分分形形式式不不變變性性公公dyyvvfyuufdxxvvfxuufdyyzdxxzdz dyyvvfdxxvvfdyyuufdxxuuf dyyvdxxvvfdyyudxxuuf.dvvfduuf 整理課件、例例6.,cos2yzxzdzyxezyx 并并由由此此計計算算求求設(shè)設(shè)).sin(cos),sin2(cos22222yxxyxeyuyxxyyxexuyxyx dvveduvedzvuuu)cos()cos(yxvyx

6、u2,: 令令解解 )(sin)(cossincos2yxvdeyxvdevdvevdueuuuu )2(sin)(cos2dyxxydxvdedydxveuu.)sin(cos)sin2(cos22222dyyxxyxedxyxxyyxeyxyx 整理課件第五節(jié)、隱函數(shù)存在定理及隱函數(shù)的微分法第五節(jié)、隱函數(shù)存在定理及隱函數(shù)的微分法一、由一個方程所確定的隱函數(shù)一、由一個方程所確定的隱函數(shù). 1定理定理.),(),(, 0)(,()(:),(,),(0),(, 0),(, 0),(,),(),(000000000000yxFyxFdxdyxfxFxfyxfyyxPyxFyxFyxFyxPyxFy

7、xy 并并有有及及且且滿滿足足它它具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)一一確確定定一一個個單單值值連連續(xù)續(xù)函函能能夠夠唯唯的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點方方程程則則且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)整理課件:的的推推導導公公式式y(tǒng)xFFdxdy 0)(,(0)(,( xyxFdxdxyxF:由由全全導導數(shù)數(shù)公公式式得得0)(,()(,( dxdyxyxFxyxFyx.)(,()(,(xyxFxyxFdxdyyx :二二階階導導數(shù)數(shù)公公式式322222yxyyyxxyyxxFFFFFFFFdxyd :二二階階導導數(shù)數(shù)公公式式的的推推導導 ),(),(),(),

8、(22yxFyxFdxdyxFyxFdxddxydyxyxdxdyyxFyxFyxFyxFyyxxyx ),(),(),(),( yxyyyxyxyyyxxyxxFFFFFFFFFFFF22.232222yxyyyxxyyxxFFFFFFFFdxyd 整理課件. 1例例.)(arctanln22的的一一階階和和二二階階導導數(shù)數(shù)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程xyyxyyx 解解xyyxxyyxarctan)ln(21arctanln2222 . 0arctan2)ln(22 xyyx;arctan2)ln(),(:22xyyxyxF 令令xxxyyxFarctan2)ln(22 222

9、)(1)(22xyxxyyxx 222)(1222xyxyyxx ;2222yxyx yyxyyxFarctan2)ln(22 222)(1)(22xyyxyyxy 2122)(122xyxyxy ;2222yxxy 整理課件;2222yxyxFx ;2222yxxyFy yxFFdxdy .22222222yxyxyxxyyxyx yxyxdxddxyd22 dxdyyxyxyyxyxx2)()()()(yxyxyxyxyxxx yxyxyxyxyxyxyxyy 2)()()()(yxyxyxyxyxyxyxyx 22)()()()()()(yxyxyxxyxy 22)(2)(23)()(2

10、)(2yxyxxyxy .)(22322yxyx 整理課件. 2定理定理.,. 0),(,(),(:),(0),(,),(, 0),(, 0),(,),(),(000000000000000zyzxzFFyzFFxzyxfyxFyxfzyxfzzyxFzyxPzyxFzyxFzyxPzyxF 并并且且及及足足它它具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)且且滿滿續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值連連方方程程使使得得在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的某某鄰鄰域域則則存存在在點點且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的推導：的推導：公式公式zyzxFFyzFFxz ,),(

11、),(),(yxFyxFyyxfyzzy 同同理理可可證證; 00),(,(),(,( xyxfyxFyxfyxF001),(),(,( xyxfzyxxyxfyxFFFF),(),(),(yxFyxFxyxfxzzx 整理課件. 2例例),(:, 0),(為為常常數(shù)數(shù)證證明明導導數(shù)數(shù)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏其其中中設(shè)設(shè)cbaayzcxzbFczaybzaxF 證明證明),(),(:czaybzaxFzyxG 令令);()()(,()(,(),(2121cFbFczayczaybzaxFbzaxczaybzaxFzyxGzzz ;)(,()(,(),(121aFczayczaybzaxFb

12、zaxczaybzaxFzyxGxxx ;)(,()(,(),(221aFczayczaybzaxFbzaxczaybzaxFzyxGyyy zxGGxz ;)()(211211cFbFaFcFbFaF zxGGyz ;)()(212212cFbFaFcFbFaF 整理課件;211cFbFaFxz ;212cFbFaFyz 212211cFbFaFccFbFaFbyzcxzb .2121acFbFcFbFa . 3例例.),(032233xzyxzzyxzz 二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)的的所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程解解;3),(:33yxzzzyxF 令令 zzyxzzzyxF)3(),(

13、33;332xz ;3)3(),(33zyxzzzyxFxx zxFFxz .33322xzzxzz 整理課件.2xzzxz xzxzzzxzzxxz 2222xzzxzxzzxzxzxzzzx 22222222)()()()()(xzzxzzxzxzz 2222222)(2)()(xzzxzzxxzz 222222)()(3222)()()(xzzzxxzz .)(232xzxz ),(432011星星期期五五第第二二周周日日月月年年整理課件二、由方程組所確定的隱函數(shù)組二、由方程組所確定的隱函數(shù)組、定理定理3 :, 0),(),(, 0),(),(,),(),(),(),(0),(, 0),

14、(,),(,),(),(),()(, 0),(, 0),(,),(),(),(00000000000000000000000000并并有有計計算算公公式式以以及及滿滿足足條條件件它它們們續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)一一組組單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有連連能能惟惟一一確確定定由由方方程程組組使使得得在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的一一個個鄰鄰域域則則存存在在點點不不等等于于零零在在點點行行列列式式或或稱稱雅雅可可比比行行列列式式且且偏偏導導數(shù)數(shù)所所組組成成的的函函數(shù)數(shù)又又內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的某某鄰鄰域域在在點點設(shè)設(shè) yxvyxuyxGyxvyxuyxFyxvvyxuuyxvvyx

15、uuvuyxGvuyxFvuyxPvuyxPvGuGvFuFvuGFJJacobivuyxGvuyxFvuyxPvuyxGvuyxF整理課件.),(),(;),(),(;),(),(;),(),(vuvuyuyuvuvuvyvyvuvuxuxuvuvuvxvxGGFFGGFFJyuGFyvGGFFGGFFJvyGFyuGGFFGGFFJxuGFxvGGFFGGFFJvxGFxu :上上述述計計算算公公式式的的證證明明求求偏偏導導數(shù)數(shù)方方程程兩兩邊邊對對xvuyxGvuyxF 0),(0),( 0000 xvvxuuyxxvvxuuyxGGGGFFFF xxvvxuuxxvvxuuGGGFFF;

16、),(),(JvxGFGGFFGGFFxuvuvuvxvx .得得其其它它三三個個公公式式可可同同理理推推整理課件. 4例例.,)(),(12222222dxdzdxdyxzzxyyzyxyxz導導數(shù)數(shù)的的所所確確定定函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程組組 解解 12222222zyxyxz 0222242zyyxyyxzzx求求導導數(shù)數(shù)上上述述方方程程兩兩邊邊分分別別對對 02zyyxyyxz z xzyyxz zyy2.1;)1()2(zxdxdzzyzxdxdy 整理課件. 5例例.,),(),(2xvxugfyvxugvyvuxfu 求求具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)其中其中設(shè)設(shè)解解 xx

17、xxxyvxugvyvuxfuyvxugvyvuxfu ),( ),(),(),(22求求偏偏導導數(shù)數(shù)方方程程兩兩邊邊分分別別對對 xxxvxxxuyvgxugyvfuxf)()()()(22121鏈鏈式式法法則則 xvxuxvxvxuxuyvggfxuf2)1()(2121 121121)21()1(ggyvgfuffxxvxuxvxu整理課件;)21()1()21(21)1(212121212121212121fggyvfxfggyvfugyvgffxgyvgffuxu 121121)21()1(ggyvgfuffxxvxuxvxu.)21()1()1(21)1()1(2121111121

18、211111fggyvfxgfufxggyvgffxggfufxxv 整理課件附錄：空間曲面與空間曲線附錄：空間曲面與空間曲線一、空間曲面及其方程的概念一、空間曲面及其方程的概念0: DCzByAx平面平面整理課件2222)()()(Rczbyax 球球面面：)4(0222222CBADDCzByAxzyx 球球面面的的一一般般式式方方程程：整理課件二、柱面二、柱面:柱柱面面的的定定義義.,.,叫叫做做柱柱面面的的準準線線定定曲曲線線柱柱面面的的母母線線叫叫做做動動直直線線稱稱為為柱柱面面則則動動直直線線所所形形成成的的曲曲面面移移動動平平行行沿沿曲曲線線如如果果動動直直線線給給定定一一曲曲線

19、線 LL整理課件性質(zhì)、性質(zhì)、. 0),(:,00),(:, yxFzyxFxOyzL則則此此柱柱面面方方程程為為其其方方程程為為曲曲線線面面上上的的一一條條是是準準線線軸軸平平行行于于設(shè)設(shè)柱柱面面的的母母線線 . 0),(:,00),(:, zyFxzyFyOzxL則則此此柱柱面面方方程程為為其其方方程程為為曲曲線線面面上上的的一一條條是是準準線線軸軸平平行行于于設(shè)設(shè)柱柱面面的的母母線線 . 0),(:,00),(:, zxFyzxFxOzyL則則此此柱柱面面方方程程為為其其方方程程為為曲曲線線面面上上的的一一條條是是準準線線軸軸平平行行于于設(shè)設(shè)柱柱面面的的母母線線 ),(zyxM)0 ,(0

20、00yxM 證明證明 L,),( zyxM,),(上上在在某某條條母母線線則則點點LzyxM).0 ,(:000yxML的的交交點點為為與與該該母母線線 00,yyxx )0 ,(000yxM0),(00 yxF0),( yxF整理課件證明證明0),(,),(,3 yxFRzyxM且且反反之之 )0 ,(yxM)0 ,(yxM),(zyxM,)0 ,(),(軸軸的的直直線線上上而而平平行行于于點點上上的的必必在在過過準準線線則則zyxMzyxM .),( zyxM 、例例1. 1).4(; 04).3(; 1)().2( ;).1(222222222222 byaxzybzaaxRyx。什什么

21、么坐坐標標軸軸并并作作其其草草圖圖母母線線平平行行于于指指出出下下列列柱柱面面的的準準線線及及整理課件222).1(Ryx 解解,是是圓圓柱柱面面;0222 zRyxxOy面面上上的的圓圓準準線線是是:.見見圖圖所所示示軸軸其其母母線線平平行行于于 zR1)().2(2222 bzaax,是是橢橢圓圓柱柱面面;012222)( yxOzbzaax面面上上的的橢橢圓圓準準線線是是:.見見圖圖所所示示軸軸其其母母線線平平行行于于 y整理課件04).3(2 zy,是是拋拋物物柱柱面面;0042 xzyyOz面面上上的的拋拋物物線線準準線線是是:.見見圖圖所所示示軸軸其其母母線線平平行行于于 x1).

22、4(2222 byax,是是雙雙曲曲柱柱面面;012222 zbyaxxOy面面上上的的雙雙曲曲線線準準線線是是:.見見圖圖所所示示軸軸其其母母線線平平行行于于 z整理課件、例例2的的相相交交圖圖形形。繪繪出出兩兩圓圓柱柱面面222222,RzxRyx 解解整理課件三三、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面:旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面的的定定義義.,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的旋旋定定直直線線曲曲面面所所形形成成的的曲曲面面稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周繞繞直直線線曲曲線線與與空空間間曲曲線線給給定定一一直直線線LLL 整理課件性質(zhì)、性質(zhì)、. 0),(;0),(,00),(2222 yzxgzyxgyxzyxgxOy分分

23、別別為為：軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程軸軸繞繞著著面面上上的的曲曲線線. 0),(;0),(,00),(2222 zyxhzyxhzxyzxhxOz分分別別為為：軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程軸軸繞繞著著面面上上的的曲曲線線. 0),(;0),(,00),(2222 zyxfzxyfzyxzyfyOz分分別別為為：軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程軸軸繞繞著著面面上上的的曲曲線線整理課件證明證明.0),(00),(22 zyxfzxzyfyOz為為：方方程程軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞著著面面上上的的曲曲線線 ),(zyxM, 軸軸垂垂直直的的平平面面作作與與通通過過點點zM), 0 , 0(zNz軸軸的

24、的交交點點為為與與 )(), 0(00),(1如如圖圖所所示示的的交交點點為為與與曲曲線線zyPxzyf NPNM 22222)()0()0(yxzzyxNM 1212212)()0()00(yyzzyNP .;221221yxyyxy 0),(1 zyf. 0),(:22 zyxf 整理課件、例例3.)()0( , 0方方程程圓圓錐錐面面軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞上上的的直直線線求求zaxayzxOy 解解)(:)(22yxaz 方方程程為為圓圓錐錐面面此此旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面).(:)(2222yxaz 方方程程為為圓圓錐錐面面此此旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面整理課件、例例4:曲曲面面討討論論以以下下方方程程所所表表達

25、達的的0, 0,1).1(22222 babyazx解解1)(1:22222222222 byazxbyazx .012222軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的橢橢圓圓是是由由yzbyaxxOy .012222軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的橢橢圓圓是是由由或或yxbyazyOz .稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢球球面面 整理課件0, 0,1).2(22222 cbczbyx1)(1:22222222222 czbyxczbyx 解解.012222軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的雙雙曲曲線線是是由由zyczbxxOz .012222軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的雙雙曲曲線線是是由由或或z

26、xczbyyOz .稱稱為為單單葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面 整理課件0, 0,1).3(22222 cbczxby解解1)(1:22222222222 czxbyczxby .012222軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的雙雙曲曲線線是是由由yzcxbyxOy .012222軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的雙雙曲曲線線是是由由或或yxczbyyOz .稱稱為為雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面 整理課件0, )().4(222 ayxaz解解2222222)()(:yxazyxaz .022軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞面面上上的的拋拋物物線線是是由由zyxazxOz .022軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面繞繞

27、面面上上的的拋拋物物線線是是由由或或zxyazyOz .稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面 整理課件示示空空間間曲曲線線四四、用用空空間間曲曲面面的的交交表表0),(:; 0),(:21 zyxGzyxF 空空間間曲曲面面設(shè)設(shè)空空間間曲曲面面;21 空空間間曲曲線線.0),(0),(: zyxGzyxF 空空間間曲曲線線、例例5.6332122的的圖圖形形描描繪繪曲曲線線 zyxyx解解整理課件）的的圖圖形形。（描描繪繪曲曲線線0222222222 aayaxazyx、例例6解解整理課件程程五五、空空間間曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方Ittztytx )()()(: 空空間間曲曲線線.),(sincos的

28、的圖圖形形描描繪繪螺螺旋旋線線 tvtztaytax 、例例7解解整理課件上的投影上的投影六、空間曲線在坐標面六、空間曲線在坐標面定義、定義、).(,如如圖圖所所示示的的投投影影柱柱面面關(guān)關(guān)于于曲曲線線稱稱為為柱柱面面簡簡稱稱投投影影投投影影曲曲線線上上的的在在平平面面為為曲曲線線稱稱曲曲線線的的交交線線為為與與平平面面的的柱柱面面作作母母線線垂垂直直于于平平面面過過曲曲線線和和平平面面已已知知空空間間曲曲線線 性質(zhì)、性質(zhì)、.00),(:.0),(. 0),(:0),(0),().1( zyxHxOyxOyyxHyxHzzyxGzyxF曲曲線線方方程程為為面面上上的的投投影影在在面面的的投投影影柱柱面面方方程程關(guān)關(guān)于于是是曲曲線線則則得得消消去去若若由由 ;0),(0),(: zyxGzyxF 設(shè)設(shè)空空間間曲曲線線為為整理課件.00),(:.0),(. 0),(:0),(0),().2( xzyRyOzyOzzyRzyRxzyxGzyxF曲曲線線方方程程為為面面上上的的投投影影在在面面的的投投影影柱柱面面方方程程關(guān)關(guān)于于是是曲曲線線則則得得消消去去若若由由 .00),(:.0),(. 0),(:0),(0),().3( yzxKxOzxO