中考數(shù)學(xué)壓軸題練習(xí)正方形問題

1、NKGCEDFABPM1 如圖，在邊長為6的正方形ABCD的兩側(cè)作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三點(diǎn)在一直線上，連接MF交線段AD于點(diǎn)P，連接NP，設(shè)正方形BEFG的邊長為x，正方形DMNK的邊長為y（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)NPF的面積為32時(shí)，求x的值；（3）以P為圓心，AP為半徑的圓能否與以G為圓心，GF為半徑的圓相切？如果能，請求出x的值，如果不能，請說明理由解析：（1）正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCDEF90O ，AEMC，MCNKAENK，KNAEAFKNAEAF， ，即 yx6（0x 6）（2）由（1）知NKAE，

2、ANAF正方形DMNK，APNM， 1FPPM，SMNP SNPF 32S正方形DMNK 2SMNP 64y8，x2（3）連接PG，延長FG交AD于點(diǎn)H，則GHAD易知：AP ，AHx，PH x，HG6；PGAPGF x當(dāng)兩圓外切時(shí)在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即( x )26 2( x )2解得：x33 （舍去）或x33 當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即( x )26 2( x )2方程無解所以，當(dāng)x3 3時(shí)，兩圓相切2 已知：正方形ABCD的邊長為1，射線AE與射線BC交于點(diǎn)E，射線AF與射線CD交于點(diǎn)F，EAF45°，連接EF（1）如圖1，當(dāng)

3、點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（2）設(shè)BEx，DFy，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括點(diǎn)B、C），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不含端點(diǎn)B），點(diǎn)F在射線CD上運(yùn)動(dòng)試判斷以E為圓心，以BE為半徑的E和以F為圓心，以FD為半徑的F之間的位置關(guān)系；（4）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，設(shè)AE與CD交于點(diǎn)G問：EGF與EFA能否相似？若能相似，求出BE的長，若不可能相似，請說明理由ABDCEFG圖2ABDCEF圖1F12ABDCEF圖1解析：（1）猜想：EFBEDF證明：將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90

4、76;，得ABF，易知點(diǎn)F、B、E在同一直線上（如.圖1）AFAFFAE132390°45°45°EAF又AEAE，AFEAFEEFFEBEBFBEDF（2）在RtEFC中，EC 2FC 2EF 2EC1x，F(xiàn)C1y，EFxy( 1x )2( 1y )2( xy )2y （0x 1）（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、C之間時(shí)，由（1）知EFBEDF，故此時(shí)E與F外切；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，DF0，F(xiàn)不存在.當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得ABF（如圖2）則AFAF，12，BFDF，F(xiàn)AF90°FAEEAF45°又AEAE，AFE

5、AFEEFEFBEBFBEDF此時(shí)E與F內(nèi)切綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，E與F外切；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，E與F內(nèi)切ABDCEFG圖2F12（4）EGF與EFA能夠相似，只要當(dāng)EFGEAF45° 即可此時(shí)CECF設(shè)BEx，DFy，由（3）知EFxy在RtCFE中，CE 2CF 2EF 2( x1 )2( 1y )2( xy )2y （x 1）由CECF，得x11y，即x11 化簡得x 22x10，解得x11 （舍去），x21 EGF與EFA能夠相似，此時(shí)BE的長為1 3 已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90°，AD2，BC6，AB3E為BC邊上一點(diǎn)，以B

6、E為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對角線AC上時(shí)，求BE的長；（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFG為正方形BEFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接BD，BM，DM是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍BACD備用圖BACD解析：（1）如圖，設(shè)正方形BEFG的邊長為x則BE

7、FGBGxBACD圖EFGAB3，BC6，AGABBG3xGFBE，AGFABC ，即 解得x2，即BE2（2）存在滿足條件的t，理由如下：如圖，過D作DHBC于點(diǎn)H則BHAD2，DHAB3由題意得：BBHEt，HB|t2|，EC4tBACD圖EFGHBMN在RtBME中，BM 2BE 2ME 22 2( 2 t )2 t 22t8EFAB，MECABC ，即 ，ME2 t在RtDHB 中，BD 2DH 2BH 23 2( t2 )2t 24t13過M作MNDH于點(diǎn)N則MNHEt，NHME2 tDNDHNH3( 2 t ) t1在RtDMN中，DM 2DN 2MN 2 t 2t1（）若DBM9

8、0°，則DM 2BM 2BD 2即 t 2t1( t 22t8 )( t 24t13 )，解得t （）若BMD90°，則BD 2BM 2DM 2即t 24t13( t 22t8 )( t 2t1 )，解得t13 ，t23 0t 4，t3 （）若BDM90°，則BM 2BD 2DM 2即 t 22t8( t 24t13 )( t 2t1 )，此方程無解BACD圖EFGBH綜上所述，當(dāng)t 或3 時(shí)，BDM是直角三角形（3）當(dāng)0t 時(shí)，S t 2當(dāng) t 2時(shí)，S t 2t 當(dāng)2t 時(shí)，S t 22t BACD圖EFGBH當(dāng) t 4時(shí)，S t 提示：當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，如

9、圖FE2，EC4t，DH3，HC4由FECDHC，得 即 ，t 當(dāng)點(diǎn)G落在AC上時(shí)，點(diǎn)G也在DH上（即DH與AC的交點(diǎn)）BACD圖EFGBMNt2當(dāng)點(diǎn)G落在CD上時(shí)，如圖GB2，BC6t由GBCDHC，得 即 ，t 當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，t4BACD圖EFGBMNPQ當(dāng)0t 時(shí)，如圖MFt，F(xiàn)N tSSFMN ·t· t t 2當(dāng) t 2時(shí)，如圖PFt ，F(xiàn)Q PF t1BACD圖EFGBPQMNSFPQ ( t )( t1 ) t 2t SSFMN SFPQ t 2( t 2t ) t 2t 當(dāng)2t 時(shí)，如圖BM BC ( 6t )3 tGM2( 3 t ) t1S梯形GMNF ( t1 t )×