中考數(shù)學(xué)分類匯編二次函數(shù)壓軸題

1、中考數(shù)學(xué)與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題縱觀2016年全國(guó)各省市中考數(shù)學(xué)試卷其中與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題，其考點(diǎn)涉及：一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；軸對(duì)稱和等腰三角形的性質(zhì)；特殊平行四邊形性質(zhì)；圖形的旋轉(zhuǎn)變換；相似三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)應(yīng)用；圓的性質(zhì)；閱讀理解，等.129數(shù)學(xué)思想涉及：分類討論；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化，等.現(xiàn)選取部分省市的2016年中考題展示，以饗讀者.一、與特殊平行四邊形性質(zhì)的有關(guān)綜合題【題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）23與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H的直線l交

2、拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)（1）求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E、B（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行與y軸交AB

3、于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；（3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)【題2】【題3】如圖1，二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A（-1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖3，一次函數(shù)（k0）的圖像與該二次函數(shù)的圖像交于O、C兩點(diǎn)，點(diǎn)T為該二次函數(shù)圖像上位于直線OC下方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作直線TMOC，垂足為點(diǎn)M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點(diǎn)T作

4、直線TNy軸交OC于點(diǎn)N。若在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過程中，為常數(shù)，試確定k的值。二、與軸對(duì)稱和等腰三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題【題4】如圖，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與軸交于點(diǎn)B（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過B作OA的平行線交軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)，求證：OCDOAB；（3）在軸上找一點(diǎn)，使得PCD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)【題5】如圖，二次函數(shù)yax 2bx（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），對(duì)稱軸是直線x ，線段AD平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)D在y軸上取一點(diǎn)C（0，2），直線AC交拋物線于點(diǎn)B，連結(jié)OA，OB，OD，BD （1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DO

5、上的動(dòng)點(diǎn)，將BPF沿邊PF翻折，得到BPF，使BPF與DPF重疊部分的面積是BDP的面積的 ，若點(diǎn)B在OD上方，求線段PD的長(zhǎng)度;xyADCBOxyADCBOxyADCBO（3）在（2）的條件下，過B作BHPF于H，點(diǎn)Q在OD下方的拋物線上，連接AQ與BH交于點(diǎn)M，點(diǎn)G在線段AM上，使HPN+DAQ =135°，延長(zhǎng)PG交AD于N若AN+ BM=,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)【題6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+10與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8,4），連接AC、BC.（1）求過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位

6、長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。三、與圖形的平移與旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)有關(guān)的綜合題【題8】如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為N，且SAMOS

7、四邊形AONB=148。（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD/x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），使GH+BH的值最小，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點(diǎn)K（3,4），將二次函數(shù)沿直線BC平移，平移的距離是t(t0)，平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A/，點(diǎn)C/；當(dāng)A/C/K是直角三角形時(shí)，求t的值?！绢}9】如圖，直線與軸、軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B (1)求該地物線的函數(shù)表達(dá)式； (2

8、)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，ABM的面積為S求S與的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值； (3)在(2)的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn). 寫出點(diǎn)的坐標(biāo)； 將直線繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，當(dāng)直線與直線重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與線段交于點(diǎn)C設(shè)點(diǎn)B、到直線的距離分別為、，當(dāng)最大時(shí)，求直線旋轉(zhuǎn)的角度（即BAC的度數(shù)）四、與直角三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題【題10】如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對(duì)稱軸為直線x1，且經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.若直線ymxn經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和

9、拋物線的解析式；在拋物線的對(duì)稱軸x1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)第25題圖【題11】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，AEF為直角三角形？（3）如圖，取一根橡皮筋，

10、兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由五、與相似三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題【題12】【題13】如圖，直線l：y=x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)Q在第四象限，POQ=135°. (1) 求AOB的周長(zhǎng)；(2) 設(shè)AQ=t>0.試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P，Q在直線l上運(yùn)動(dòng)到使得AOQ與BPO的周長(zhǎng)相等時(shí)，記作AO

11、Q=m，若過點(diǎn)A的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： 6a+3b+2c=0; 當(dāng)mxm+2時(shí)，函數(shù)y的最大值等于，求二次項(xiàng)系數(shù)a的值.六、與圓的性質(zhì)有關(guān)的綜合題【題14】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2+4mx5m（m0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線的對(duì)稱軸與直線y=x相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線y=x上（不與原點(diǎn)重合），連接PD，過點(diǎn)P作PFPD交y軸于點(diǎn)F，連接DF（1）如圖所示，若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，求拋物線的解析式；（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PDF的大小為定值，進(jìn)

12、而猜想：對(duì)于直線y=x上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），PDF的大小為定值請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由七、與閱讀理解有關(guān)的綜合題【題15】若拋物線L：y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，abc0)與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L與頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系，此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”. (1) 若直線y=mx+1與拋物線y=x22x+n具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；(2) 若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，它的“帶線” l的解析式為y=2x4，求此“路線”L的解析式； (3) 當(dāng)常數(shù)k滿足k2

13、時(shí)，求拋物線L: y=ax2+(3k22k+1)x+ k的“帶線” l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍.【題16】如圖1，地面BD上兩根等長(zhǎng)立柱AB，CD之間懸掛一根近似成拋物線y=x2x+3的繩子（1）求繩子最低點(diǎn)離地面的距離；（2）因?qū)嶋H需要，在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線F1的最低點(diǎn)距MN為1米，離地面1.8米，求MN的長(zhǎng)；（3）將立柱MN的長(zhǎng)度提升為3米，通過調(diào)整MN的位置，使拋物線F2對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為，設(shè)MN離AB的距離為m，拋物線F2的頂點(diǎn)離地面距離為k，當(dāng)2k2.5時(shí)，求m的取值范圍八、與方程根和關(guān)系的關(guān)系、函數(shù)值大小比較有

14、關(guān)的綜合題【題17】已知拋物線與x軸相交于不同的兩點(diǎn),（1） 求的取值范圍（2） 證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3） 當(dāng)時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的的面積是否有最值，若有，求出最值及相對(duì)應(yīng)的值；若沒有，請(qǐng)說明理由.【題18】已知二次函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：關(guān)于的一元次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(3)如圖，該二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于C點(diǎn)，P是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OP=1，直線AP交BC于點(diǎn)Q，求證：【題19】已知函數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系中. （1）若函數(shù)的圖像過點(diǎn)（-1,0），函數(shù)的圖像過點(diǎn)（1,2），求a，b的值. (2)若函數(shù)的圖像經(jīng)過的頂點(diǎn).求證：；當(dāng)時(shí)，比較