2019中考一元二次方程專題復習

1、一 元 二 次 方 程 專 題 復 習【知識回顧】考點 1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有 個未知數，且未知數的最高次數是 的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接開平方法、 法、公式法、 法等.考點 2 一元二次方程根的判別式及根與系數的關系根的判別式的定義關于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式為 .判別式與根的關系(1)b2-4ac0 Û 一元二次方程 的實數根； (2)b2-4ac=0 Û 一元二次方程 的實數根；(3)b2

2、-4ac0 Û 一元二次方程 實數根.根與系數的關系1.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩根分別是 x 、x ，則 x +x =- b ,x ·x = c .121212aa（注意在使用根系關系式求待定的系數時必須滿足0 這個條件，否則解題就會出錯。）注意： x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x (x - x )2 = (x + x )2 - 4x × x12121212121 2 x1 × x2 + x1 ×x2 = x1 × x2 (x1 + x2 ) (x1 + a)(x 2 + a) = x

3、1 × x 2 + a(x1 + x 2 )+ a22211x + x11x 2 + x 2(x + x )2 - 2x x+= 12+= 12 = 121 2 xxx × xx 2x 2x 2 × x 2(x × x )21212121212 x1 - x 2 =(x1 - x 2 ) =(x1 + x 2 ) - 4x1x 2222以 x1，x2 為根的一元二次方程可寫成 x2（x1+x2）x+x1x2=03使用一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac 解題的前提是二次項系數 a04若 x1，x2 是關于 x 的方程 ax2

4、+bx+c=0 的兩根，則 ax 2+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0反之，若1ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且 x1x2，則 x1，x2 是關于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的兩根【易錯提示】(1)在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數中含有字母，要加上二次項系數不為 0 這個限制條件.(2)利用根與系數的關系解題時，要注意根的判別式 b-4ac0.考點 3 一元二次方程的應用（傳播類，樹枝類、握手、單雙循環(huán)、面積、增長率）列一元二次方程解應用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實

5、際問題有意義，凡不滿足實際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去【典型例題】例 1：（2014 年廣東汕尾）已知關于 x 的方程 x+ax+a2=0（1）若該方程的一個根為 1，求 a 的值及該方程的另一根；（2）求證：不論 a 取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根例 2: 關于 x 的方程 kx2 + (k + 2)x + k = 0 有兩個不相等的實數根.4(1)求 k 的取值范圍。(2)是否存在實數 k，使方程的兩個實數根的倒數和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，說明理由2例 3: (2014·南充)已知關于 x 的一元二次方程 x-2(1)求實數 m 的最大整數值

6、；x+m=0,有兩個不相等的實數根.22(2)在(1)的條件下，方程的實數根是 x，x,求代數式 x+x-xx的值.例 4: (2013·淄博)關于 x 的一元二次方程(a-6)x-8x+9=0 有實根.(1)求 a 的最大整數值；(2)當 a 取最大整數值時，求出該方程的根；求 2x-32x - 7x2 - 8x +11的值.例 5: (2014·株洲)已知關于 x 的一元二次方程(a+c)x+2bx+(a-c)=0，其中 a、b、c 分別為ABC 的三邊的長.(1)如果 x=-1 是方程的根，試判斷ABC 的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷AB

7、C 的形狀，并說明理由；(3)如果ABC 是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.例 6:（2015鄂州, 第20題8分）關于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+1=0 有兩個不等實根 x1，x2（1）求實數 k 的取值范圍（2）若方程兩實根 x1，x2 滿足|x1|+|x2|=x1x2，求 k 的值【基礎訓練】1解下列方程（1）(2x3)250.（直接開平方法）（2）2x2 - 7x - 2 = 0 （配方法）（3） (x + 2)2 = 3(x + 2)（因式分解法）（4） 2x2 + x - 6 = 0 （公式法）2.用配方法解方程 x2 - 4x + 2 = 0 ，下列配

8、方正確的是（）A (x - 2)2 = 2B (x + 2)2 = 2C (x - 2)2 = -2D (x - 2)2 = 63.下列方程中，有兩個不相等實數根的是（） x2 + 4 = 0 4x2 - 4x +1 = 0 x2 + x + 3 = 0 x2 + 2x -1 = 04一元二次方程 x2 - 4x + 4 = 0 的根的情況是A有兩個不相等的實數根B有兩個相等的實數根C有一個實數根D沒有實數根5、已知 b0，關于 x 的一元二次方程（x1）2=b 的根的情況是（） A有兩個不相等的實數根 B有兩個相等的實數C沒有實數根D有兩個實數根6、若關于 x 的一元二次方程 x2+2x+k

9、=0 有兩個不相等的實數根，則 k 的取值范圍是（） Ak1Bk1Ck=1Dk07、若關于 x 的方程 x2-4x+m=0 沒有實數根，則實數 m 的取值范圍是() .-4.m-4.m4.m48、已知關于 x 的一元二次方程 x2+bx+b1=0 有兩個相等的實數根，則 b 的值是 9、若關于 x 的一元二次方程kx2 - 2x -1 = 0 有兩個不相等的實數根，則實數k 的取值范圍是（）A. k > -1B. k < 1 且k ¹ 0C. k ³ -1 且k ¹ 0x2 + x1D. k > -1 且k ¹ 010、設 x1 , x

10、2 是方程 x2 + 3x - 3 = 0 的兩個實數根，則 x1x2 的值為（）A.5B.-5C.1D.-111（2014湖北黃岡）若 、 是一元二次方程 x+2x6=0 的兩根，則 +=（）A8B32C16D4012.（2013鄂州）已知 m，n 是關于 x 的一元二次方程 x3x+a=0 的兩個解，若（m1）（n1）=6，則 a 的值為（）A10B4C4D1013.（2014菏澤）已知關于 x 的一元二次方程 x+ax+b=0 有一個非零根b，則 ab 的值為（ ）A1B1C0D214.(2014·荊門)已知是一元二次方程 x-x-10 較大的根，則下面對的估計正確的是() A

11、.01B.11.52D.2315.（2015四川攀枝花第 9 題 3 分）關于 x 的一元二次方程（m2）x2+（2m+1）x+m20 有兩個不相等的正實數根，則 m 的取值范圍是（）Am B 且 m2m2m216.關于 x 的一元二次方程 x2 - mx + 2m = 0 的一個根為 1，則 m= ，方程的另一根為 。17. 菱形 ABCD 的一條對角線長為 6，邊 AB 的長為方程 y27y+10=0 的一個根，則菱形 ABCD 的周長為（）A 8B 20C 8 或 20D 1018.已知整數 k 5， 若ABC 的邊長均滿足關于 x 的方程 x2 - 3 k x + 8 = 0 ，則AB

12、C 的周長是 。219.設 x1，x2 是方程 x x2013=0 的兩實數根，= 20.已知 m，n 是關于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的兩個解，若（m1）（n1）=6，則 a 的值為（）A10B4C4D1021.已知a ， b 是一元二次方程 x 2 - 5x - 2 = 0 的兩個實數根，則a 2 + ab + b 2 的值為（） A-1B. 9C. 23D. 2722.如果方程 ax2bx6=0 與方程 ax2+2bx15=0 有一個公共根是 3，求 a，b 的值， 并求方程的另一個根23.若 0 是關于 x 的方程（m2）x2+3x+m2+2m8=0 的解，求實數 m 的

13、值，并討論此方程解的情況24（.2015四川涼ft州第 25 題）已知實數 m，n 滿足 3m2+6m5=0，3n2+6n5=0，且 mn，則 n + m =mn25.已知關于 x 的方程(m - 2)x2 - 2(m -1)x + m +1 = 0 ，當 m 為何非負整數時：（）(1)方程只有一個實數根； (2)方程有兩個相等的實數根； (3)方程有兩個不等的實數根.26.（2010 湖北孝感）已知關于 x 的方程 x2（k1）x+k=0 有兩個實數根 x ，x .（1）求 k 的取值范圍；（2）若 x1 + x2 = x1x2 -1 ，求 k 的值.27. 已知關于 x 的一元二次方程 x

14、-2x-a=0.(1)如果此方程有兩個不相等的實數根，求 a 的取值范圍；11(2)如果此方程的兩個實數根為 x，x，且滿足+x1x22=-，求 a 的值.328.(2014·白銀)用 10 米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為 6 平方米.若設它的一條邊長為 x 米，則根據題意可列出關于 x 的方程為()A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=629.(2013·哈爾濱)某商品經過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的 125 元降到 80 元，則平均每次降價的百分率為 30.(2013·襄陽)有一人患了流感，經過兩輪傳染

15、后共有 64 人患了流感.(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？31.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少小分支？32.學校舉行乒乓友誼賽，采用單循環(huán)賽形式（即每兩個隊要比賽一場），計算下來共要比賽 66 場，問共有多少個隊報名參賽？33參加一次足球賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共賽 90 場，共有多少隊參加？34.（2008，南京）某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為 2：1，在溫室內沿前側內墻保留3m 寬的空地，其他三側內墻各保留 1m 寬的通道

16、當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區(qū)域的面積是 288m2？35.(2014·宿遷)一塊矩形菜地的面積是 120 m，如果它的長減少 2 m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是 m.36.(2014·麗水)如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長 30 m、寬 20 m 的長方形 ABCD 上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與 AB 平行，另一條與 AD 平行，其余部分種花草.要使每一塊花草的面積都為 78 m，那么通道的寬應設計成多少 m？設通道的寬為 x m，由題意列得方程 .37.（2015湖北, 第21題6分）如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為 12m 的住房墻

17、，另外三邊用 25m 長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個 1m 寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為 80m2？38（. 2015畢節(jié)市）一個容器盛滿純藥液 40L，第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容器里只剩下純藥液 10L，則每次倒出的液體是 L【能力提高】1.(2014·南京)某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為 4 萬，可變成本逐年增長.已知該養(yǎng)殖戶第 1 年的可變成本為 2.6 萬元.設可變成本平均每年增長的百分率為 x.(1)用含 x 的代數式表示第 3 年的可變成本為 萬元；

18、(2)如果該養(yǎng)殖戶第 3 年的養(yǎng)殖成本為 7.146 萬元，求可變成本平均每年增長的百分率 x.2.（2014萊蕪）某市為打造“綠色城市”，積極投入資金進行河道治污與園林綠化兩項工程、已知 2013 年投資 1000 萬元，預計 2015 年投資 1210 萬元若這兩年內平均每年投資增長的百分率相同（1）求平均每年投資增長的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入 400 元，園林綠化每平方米需投入 200 元，若要求 2015 年河道治污及園林綠化總面積不少于 35000 平方米，且河道治污費用不少于園林綠化費用的 4 倍，那么園林綠化的費用應在什么范圍內？3.（2015畢節(jié)市）某商場有 A，B 兩種商品，若買 2 件 A 商品和 1 件 B 商品，共需 80 元；若買 3 件 A 商品和2 件 B 商品，共需 135 元（1）設 A，B 兩種商品每件售價分別為 a 元、b 元，求 a、b 的值；（2）B 商品每件的成本是 20 元，根據市場調查：若按（