2009年數(shù)學(xué)分析考試大綱-長(zhǎng)沙理工大學(xué)

1、12009 年長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分析考試大綱(1) 函數(shù)集合 實(shí)數(shù)概述 絕對(duì)值不等式 區(qū)間與鄰域 函數(shù)概念 函數(shù)的幾種表示法(解析 法、列表法和圖象法等)一些特殊類型的函數(shù)(有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)和偶函數(shù)、周期函數(shù))函數(shù)的有理運(yùn)算復(fù)合函數(shù)反函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)(2) 數(shù)列極限數(shù)列 數(shù)列極限的；一N定義 收斂數(shù)列性質(zhì)唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)、迫斂性、有理運(yùn)算有界單調(diào)數(shù)列極限存在定理1lim (1 n)n= e數(shù)列的柯西n 0V(Cauchy(Cauchy )收斂準(zhǔn)則的應(yīng)用(3)函數(shù)極限函數(shù)極限 ；一：定義 ；一M定義單側(cè)極限函數(shù)極限性質(zhì)一一唯一性、局

2、部有界性、局外保號(hào)性、不等性質(zhì)、迫斂性、有理運(yùn)算、歸結(jié)原則(HeineHeine 定理)函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則lim仝lim (1 x)x無(wú)窮小量及其階的比較記號(hào) o o、O Ox-0X T廣義極限 無(wú)窮大量及其階的比較(4)函數(shù)的連續(xù)性在一點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性單側(cè)連續(xù)性間斷點(diǎn)及其分類在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)一一有界性、保號(hào)性 連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一一有界性、取得最大最小值性、介值性、一致連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)連續(xù)性(5)導(dǎo)數(shù)與微分引入問(wèn)題(切線問(wèn)題與瞬時(shí)速度問(wèn)題)導(dǎo)數(shù)定義 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意2義、物理意義、無(wú)窮導(dǎo)數(shù)等(6)中值定理與導(dǎo)

3、數(shù)應(yīng)用中值定理拉格朗日(LagrangeLagrange )中值定理柯西（CauchyCauchy）中值定理 泰勒（TaylorTaylor ）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余項(xiàng)）近似計(jì)算函數(shù)單調(diào)性的判別法極值最大值和最小值 凸函數(shù)及其應(yīng)用曲線的凹凸性 拐點(diǎn)漸近線 函數(shù)圖象的討論 洛必達(dá)（HospitalHospital ）法則（7） 實(shí)數(shù)的完備性確界與確界存在定理區(qū)間套定理數(shù)列的柯西（CauchyCauchy）收斂準(zhǔn)則有界無(wú)限數(shù)列存在收斂子列聚點(diǎn)定理有限覆蓋定理上極限與下極限（8） 不定積分原函數(shù)與不定積分概念基本積分表 線性運(yùn)算法則 換元積分法 分部積分法 有理函數(shù)積分法 三角函數(shù)有理式的積

4、分 幾種無(wú)理函數(shù)的積分（R（x,寸竺巴），R（x,Jax?+bx+c）等Y ex + d（9） 定積分弓 I I 入問(wèn)題（曲邊梯形面積與變力作功）定積分定義定積分的幾何意義可積的必要條件 上和、下和及其性質(zhì)可積的充要條件可積函數(shù)類一一在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)、在閉區(qū)間只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)、在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)定積分性質(zhì)一一線性運(yùn)算法則、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性、積分中值定理微積分學(xué)基本定理牛頓- -萊費(fèi)馬(FermatFermat)定理 羅爾(RolleRolle3xdt布尼茨公式換元積分法分部積分法 用.1定義對(duì)數(shù)函數(shù)，并導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)（10）定積分的應(yīng)用簡(jiǎn)單平面

5、圖形面積曲線的弧長(zhǎng)與弧微分曲率已知截面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體體積與側(cè)面積平均值物理應(yīng)用（壓力、功、 靜力矩與重心等）積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用定積分在求某些數(shù)列極限中的應(yīng)用與在證明不等式方面的應(yīng)用（11）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂與和的定義柯西準(zhǔn)則收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較原則比式判別法與根式判別法拉貝（RaareRaare）判別法與高斯判別法一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茨判別法阿貝爾（AbelAbel ）判別法與狄利克雷（DirichletDirichlet ）判別法 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的重排定理?xiàng)l件收斂級(jí)數(shù)的黎曼（RiemaRiema nnnn）定理4(12)反常積分無(wú)窮限反常積分概念柯

6、西準(zhǔn)則線性運(yùn)算法則絕對(duì)收斂反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系無(wú)窮限反常積分收斂性判別法無(wú)界函數(shù)反常積分概念無(wú)界函數(shù)反常積分收斂性判別法(13)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂概念一致收斂的柯西準(zhǔn)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯(WeierstrassWeierstrass )優(yōu)級(jí)數(shù)判別法阿貝爾判別法與狄利克雷判別法函數(shù)列極限函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的連續(xù)性逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分(14)幕級(jí)數(shù)阿貝爾第一定理收斂半徑與收斂區(qū)間一致收斂性、連續(xù)性逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分幕級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開的條件初等函數(shù)的泰勒展開近似計(jì)算用幕級(jí)數(shù)定義正弦、余弦函數(shù)復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉(EulerEuler )公式(15)

7、傅里葉(Fourier )級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性傅里葉級(jí)數(shù) 貝塞爾(BesselBessel )不等式 黎曼勒貝格(Riemann-LebesgueRiemann-Lebesgue )定理 傅里葉級(jí)數(shù)的部分和公式按段光滑且以2二為周期的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 定理(16) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)平面點(diǎn)集概念(鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、閉集、開域、閉域等) 區(qū)域套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理二元函數(shù)概念 二重極限 累次極限二元函數(shù)的連續(xù)性 界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)n維空間與n元函數(shù)(距離、三角形不等式、極限、連續(xù)等)(17) 多元函數(shù)的微分學(xué)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用方

8、向?qū)?shù)與梯度復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分一階微分形式以2l為周期的函數(shù)的逼近平面點(diǎn)集的基本定理一一復(fù)合函數(shù)的連續(xù)定理有偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義全微分概念全微分的幾何意義全微分存在的充分條件5的不變性高階導(dǎo)數(shù)及其與順序無(wú)關(guān)性高階微分二元函數(shù)的泰勒定理二元函數(shù)極值6（18）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)組概念隱函數(shù)組定理 隱函數(shù)組求導(dǎo)反函數(shù)組與坐標(biāo)變換函數(shù)行列式函數(shù)相關(guān)幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法（19）含參量積分含參量積分概念 連續(xù)性、可積性和可微性積分順序的交換含參量反常積分的收斂與一致收斂一致收斂的柯西準(zhǔn)則維爾斯特拉斯判別法連續(xù)性、可積性與可微性積分順序的交換:函數(shù)與 B B 函數(shù)（20）重積分平面圖形面積二重積分定義與存在性二重積分性質(zhì)二重積分計(jì)算（化為累次積分）二重積分的換元法（極坐標(biāo)變換與一般變換）三重積分定義與計(jì)算三重積分的換元法（柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換與一般變換）重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）無(wú)界區(qū)域上反常二重積分的收斂性概念無(wú)界區(qū)域上反常二重積分的收斂性概念