《線性代數(shù)》B組題

1、第四章矩陣的特征值和特征向量習(xí)題四（B）1、判斷下述結(jié)論是否正確（1）實(shí)數(shù)域上的n階矩陣A 一定有n個(gè)特征向量； 解：錯(cuò)。n階矩陣A的特征多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上不一定有n個(gè)根。（2）A與A有相同的特征值和特征向量；解：錯(cuò)。若A與A有相同的特征值和特征向量，設(shè)是A的屬于'o的特征向量（0）則A： - : , AT :：二（A-AT）a=0,”A = At，而只有當(dāng)A是對(duì)稱矩陣時(shí)才有 A = A。（3） 若'o是 A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組（ °E - A）X =0的非零解就是A的屬于'o的特征向量；解： 錯(cuò)。齊次線性方程組（ ° E - A）X =0的

2、基礎(chǔ)解系的線性組合才是 A的屬于 o 的特征向量（4） A的一個(gè)特征向量：可以屬于A的不同特征值、，-2 ；解： 錯(cuò)。若A的一個(gè)特征向量可以屬于A的不同特征值'!，'2，則Aa=Z , A° =、申，二（-1 - 上2） a =0,二打=入2與題設(shè)矛盾。（5）若'0不是A的一個(gè)特征值，則（0E -A）可逆。解： 對(duì)。 若（，0EA）不可逆 則det（，0EA）=0與若 0不是A的特征值矛盾。r-1 0 2、設(shè)A =12-1，求A的對(duì)應(yīng)于其特征值的特征子空間的基。J 3解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為:0 -22 丸-21=(人+1)(丸一1)。3 九丸+1det (扎

3、E A) = -1-1由det （工-E A） = 0可得A的特征值 汩=匕=1,冷3 = -1 ，對(duì)于'1= '2 =1，解齊次線性方程組（ E - A）X=0，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：1 二（1,0,1）T，對(duì)于= -1，解齊次線性方程組（- E - A）X=0，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.v . ,v .的特征子空間的基為：1 =（1,0,1）T,.v的特征子空間的基為】2 （一 3,1,0）.3.00，求A的特征值為1, 2, 3。試求x的值。解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為:1 0det (扎E -A )=-2-42-x 0 (' -1)(x1)' x 2)又

4、-2 -1A的特征值為1, 2, 3幾九=1,2,3時(shí)，det （扎E A） =0由此解得x=4 。，Z2-12 '4、已知a =(1,1,-1)T是矩陣A =5a3的一個(gè)特征向量。試確定a, bb-2丿值和a所對(duì)應(yīng)的特征值，并判斷 A是否可對(duì)角化？廣212、解：a =（1,1,1）T是矩陣A= 5 a 3的一個(gè)特征向量,廠1b-2、2 1 2 ” 1、©（丸EA）a=0 ,即-5 九一a -3 |1=011-b丸+2丿L1解此線性方程組可得- 1,a = -3,b = 0。 則矩陣A的特征多項(xiàng)式為k-21-2det）（EA）= 5 九+3-3 =（九+1）3。10 k +

5、2由 det（ - E-A） = 0可得 A 的特征值= '2 =，3 - -1，對(duì)于，1 = 2二 3 = -1，解齊次線性方程組（- E - A） X=0，可得方程組的一個(gè)基；對(duì)應(yīng)于1='2二3 =-1的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，.A不能對(duì)角化。5、已知三階矩陣 A的特征值為 -1，1，2，矩陣B=A-3A2。試求B的特征 值和det B。2解： B 二 A 3A，.2E B =（ E -A）（ 2E 3A），4E B=（ E A ）（ 4E -3A ），10E B=（ 2E - A ）（ 5E 3A ），又A的特征值為-1，1，2，det（ 2E B） =det（ E

6、A ） （ 2E 3A） =0，det（ 4E B ） =det（ E A ） （ 4E - 3 A） =0，det（ 10E B ） =det （ 2 E A） （ 5E 3A） =0，A的特征值為一1, 1, 2,-B的特征值為一2, 4, 10,-detB= （ 2 ）（-4） （-10） 一80。6、試證：1） 果A為奇數(shù)階正交矩陣，且 det A =1，則1是A的一個(gè)特征值。證明： 由A為奇數(shù)階正交矩陣，知 ATA = E，且At= A。det(E - A)二det(AAT - A)二detAdet(AT- E )=det A det (AT E)T =det(A - E)= (-1

7、)n det(E A),又因?yàn)锳為奇數(shù)階矩陣。所以 det(E - A)二_det(E - A)。即：det(E - A) =0,.1是A的一個(gè)特征值。2)果A為n階正交矩陣，且 det A =-1，則-1是A的一個(gè)特征值。證明：由A為n階正交矩陣，知= E，且At = Aodet( -E - A) =det( -AAt - A) =det Adet(-AT - E) = - det( _ E _ A),即 det( _E _ A) = 0 ,.-1是A的一個(gè)特征值。7、判斷下述結(jié)論是否正確，并簡述理由。(1) 如果A B，則存在對(duì)角矩陣 A ,使A , B都相似于A ;解：錯(cuò)。由A B不能得

8、出存在對(duì)角矩陣 A,使A, B都相似于A,由A B不能得出A,B都能對(duì)角化，因此也不能保證A , B都相似于A o(2) 如果A B，則A, B有相同的特征值和特征向量；解： 錯(cuò)。若A B，則代B有相同的特征值，但未必有相同的特征向量，設(shè)A的屬于的特征向量為= 0),由于A B ,則存在可逆矩陣P ,使得 PAP=B,所以 A=PBP，于是 PBP二 ，即 B( P ) = ' ( P_k ) 由此可知 矩陣B的屬于的特征向量為Po(3) 如果AB,則對(duì)任意的常數(shù) ，有，E-A=，E-B ;解：錯(cuò)。若，E-A= E-B，則A = B，而由A B不能得出A = B(4) 如果AB，則對(duì)任

9、意的常數(shù)，有o解：對(duì)。由于AB，則存在可逆矩陣P,使得PAP二B ,E B =?；E P"*AP ,P ( E B)P"* = P('E P斗 AP)P 斗,P ( E -B)P，= E - A ,，EB=P（EA）P ,.如果AB，則對(duì)任意的常數(shù)，有E_A 'E-B。8、設(shè)n階矩陣A=(1)求A的特征值和特征向量;(2)A是否可以對(duì)角化？若可以，試求出可逆矩陣P,使P'AP為對(duì)角矩陣。解：（1）A的特征多項(xiàng)式為-a-a-a-a-a-a-a-a-aa-aa - aa-aa-a-a_a- adet (z-E - A)=丸na-aa-a九一n a 丸一a

10、a -a丸naa-a 人-a-a-aa丸na-aa丸一a1-a-a-a1人a-a-a(丸na)1-aa丸aa-a1-a-a- a1-a-a-a=C - na)由det （入E A） 0可得a的特征值 人=0（n 1重），爲(wèi)=na。對(duì)于=0,解齊次線性方程組（0E- A） X=0 ,可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 (-1,1,0,0)12 =(-1,0,1,0,o)T, n=(-1,0,0,0,1)T ,對(duì)于-2 = na ,解齊次線性方程組（naE A） X=0 ,可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:n = (1,1,1,1)T。（2） A可以對(duì)角化。P=(>12,/ n)即P=-1110-10-10時(shí)

11、,則PAP為對(duì)角矩陣。設(shè)向量：= (a，a2，a.),:=（b1,b2,bn）都是非零向量，且滿足條件記n階矩陣(1)A2及其特征值;解:=(a1,a2,an)b2n八k=1aibi =0,” PTOt =0。而ab-a1bna2b1a2 b2a2bnA=a9lanb1anb1anbn2A :=(aPT)(aPT)=a(叭A2的特征多項(xiàng)式為廠=（）（: ' T）=0,4 .丿det（E A2） = ?.n ,由此可得A2的特征值為=0（n重）。（2）利用（1）的結(jié)論, 解：設(shè)為A的特征值,求A的特征值和特征向量；X為與之應(yīng)的A的特征向量，即八1A 2Ax= 1 x, A x_ 2 2

12、. _ 2=，Ax =，x 由于 A =0，因此'x = 0，又 x = 0 ,，” 人=0,.A的全部特征值為0。由題設(shè)知-0J -0不妨設(shè)ai =0,4 =0解方程（A OE ） X=0由A-0E =06a2b1a訥2a?b2 a1bn 'a2bnaT'ab0-訥20 -aibnA0，06andanbn j'、00 0x3得到同解方程組 耳（0捲+b2x2 +bnxn） = 0 。 令：分別取則Xib2 b：bn于是得到A的屬于特征值 =0的全部特征向量為叮叮叮X1b1b1b1X2100X3a0a-*21+也0a< 0< 0丿< 1ki （

13、i =1,2,，心）為不全等于零的任意常數(shù)。（3 ）是否可以對(duì)角化解：；對(duì)應(yīng)于 - 0（ n重）的特征向量只有n-1個(gè)，.A不能對(duì)角化。10、A為三階矩陣，A的特征值為1，3，5。試求行列式det（ £ - 2E）的值，其中A*是A的伴隨矩陣解：detA= 23=1 3 5=15，A*對(duì)應(yīng)的特征值為det A= 15,det A=5,det A而矩陣A* -2E對(duì)于的特征值為1 - 2,2 - 23 - 2，det（ A* -2E）=13 3 1 = 39。11、設(shè)矩陣AB，其中-11、°A =24-2B =2C3-3a（1）求a,b的值；解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為九-11-

14、132det）（EA）= 2 人一42=、* （5 + a）扎 + （5a+3）九 + 6 6a ,33 人 - a矩陣AB . A, B有相同的特征值。.A的特征值為2，2，b，_ 2,b 時(shí)，det（ E - A） = 0，由此解得 a = 5, b = 6。（2）求可逆矩陣P，使PAP二B。解：由（1）知：A的特征值為2，2，6，對(duì)于、v2 =2，解齊次線性方程組（2E- A） X=0，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為J =（1,-1,0）丁2 =（1,0,1）丁。對(duì)于3=6，解齊次線性方程組（6E- A） X=0，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系3 = （1, -2,3）丁。廣1令卩=（口102,。

15、3）=-1<01 10-2,則 P，AP = B。13丿0 1，已知A的一個(gè)特征值為3,1 012、設(shè)矩陣A=0 02 0（1）求y的值；（2）求矩陣P。使（AP）t（AP）為對(duì)角矩陣; 解（1） ； 3為A的一個(gè)特征值，.det(3E - A)二-3101-3000y -31-1-3=-11-3y-2(2)AT 二 A，.（ap）t（ap）二 pta2p。要使（AP）t（AP）為對(duì)角矩陣,只需pta2p為對(duì)角矩陣即可,0 10 0、0 10 0、'1 0 0 0、1 0 0 0|10 0 00 10 00 0 2 10 0 2 10 0 5 4衛(wèi) 0 1 2 1衛(wèi)0 1 2衛(wèi)0

16、 4 5則A2 = AA =A2的特征多項(xiàng)式d為t E - A2）=-100 -1-5-4-4丸一5=c -1)3C -9)由 det( E A2) = 0,可得A的特征值為，1 =，2 = ' 3 = 1,4=9。對(duì)于1 = 2 = 3 =1，解齊次線性方程組（E - A2）X =0可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：1 =(1,0,0,0)T,： 2 =(0,1,0,0) 3 =(0,0,-1,，)T，將向量組 r，2，3正交化單位化得1 ",0”，2 訶0", 3 "2對(duì)于=9，解齊次線性方程組（9E - a2）X =0，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:-3二（0

17、,0,1,1）T。將：3單位化得4 =（0,0,；，'1 00 1令 P= 0 00 0000011邁邁11<272r1 0 0 0APtA2P =(AP)t(AP)0 10 00 0 10衛(wèi)0 0 9丿13、設(shè)代B為同階矩陣。(1) 如果A可逆，證明AB與BA相似；證明：；A可逆，故A存在。.A(AB) A = BA，ab與ba相似。(2) 如果A不可逆，試問 AB與BA是否相似？證明你的結(jié)論。證明：相似。用反證法。設(shè) AB與BA不相似，則對(duì)任意的可逆矩陣P，都有1p abp=ba,上式兩邊取行列式，得1 det(P ABP)=det(BA),即det(AB) -det(BA)

18、,矛盾，所以假設(shè)不成立，于是AB與BA相似。14、如果實(shí)對(duì)稱矩陣 A的特征值的絕對(duì)值均為1,證明A是正交矩陣。證明：設(shè)A的屬于的特征向量為:- 0)，貝U A :=:。二 A(Aa 卜 A( ?心)，即 A2g =扎Ag，又 A a =九 口 ,A2： = 2：。又 at =人 2 =1 ,.ata：-：，又二產(chǎn)0 ,.ATA 二 E ,A是正交矩陣。15設(shè)代B是兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，試證：存在正交矩陣Q，使Q AQ二B的充分必要條件是A,B有相同的特征值。證明：充分性；設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣 a, B有相同的特征值 ,一,，n，貝V存在正交矩陣Q1 ,Q2使得QAQiq2 bq2于是 QiAQi = Q BQ2，又 Q?"1 存在，所以有：QzQiAQiQ?-1 二 B即：QAQ =B (其中 Q1Q2 J)。必要性：設(shè)有QAQ二B，即A , B相似，從而A,B有相同的特征值。綜合上面的證明知：命題成立。16、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且 A2 =A,試證：存在正交矩陣 Q，使 Q，AQ =diag(1, ,1,00)。證明： 設(shè)A的屬于的特征向量為(： =0)，貝U A 一 = 一 。又A2二A,九 a = A ot = A2«=A( A ® = A© 用)=，：,又由于A為n階實(shí)對(duì)稱