對(duì)中點(diǎn)四邊形的探究與延伸

1、A.平行四邊形D .菱形)A.等腰梯形B .正方形C.平行四邊形D 矩形對(duì)中點(diǎn)四邊形的探究與延伸、基本性質(zhì)歸納: 例1.楊伯家小院子的四棵小樹(shù) E、F、G、H剛好在其梯形院子 ABCD各邊的中點(diǎn)上,若在四邊形EFGH種上小草，則這塊草地的形狀是（順次連接菱形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形一定是分析：這是對(duì)平行四邊形的定義和判定定理的考查.解該題的思路是構(gòu)造三角形及其中位線(xiàn),這是數(shù)學(xué)中常用的“建?！彼枷耄阉倪呅蝺蛇叺闹悬c(diǎn)轉(zhuǎn)化為三角形兩邊的中點(diǎn)，又體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想我們可從四邊形 EHGF的四條邊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手，由題設(shè)可知E、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，符合三角形中位線(xiàn)定理的條件，可構(gòu)造三角形的中位

2、線(xiàn).解：如圖所示：以梯形的中點(diǎn)四邊形為例，在ABD中E、H分別為AB、AD的中點(diǎn)二EH平行且等于DB的一半，同理，F(xiàn)G平行且等于DB的一半，所以EH平行且等于FG ,所以四邊形EHGF為平行四邊形，又因?yàn)榱庑蔚膬蓷l對(duì)角線(xiàn)互相垂直，所以四邊形鄰邊互相垂直，故菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形所以選A;選D .溫馨提示：判定中點(diǎn)四邊形的形狀要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是三角形中位線(xiàn)定理的應(yīng)用，二是原四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.為了便于同學(xué)們更好地理解和掌握，我們把常見(jiàn)的中點(diǎn)四邊形形狀歸納如下表.原四邊形中點(diǎn)四邊形任意四邊形平行四邊形平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形（包括矩形和等腰梯形）菱形兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直

3、的四邊形（包括菱形）矩形兩條對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直的四邊形（包括正方形）正方形二、新題探究：條件開(kāi)放性問(wèn)題：例2.在四邊形 ABCD中，點(diǎn)E, F , G, H分別是邊AB, BC, CD , DA的中點(diǎn)，如果四邊形EFGH為菱形，那么四邊形 ABCD是 （只要寫(xiě)出一種即可）.解析：本題是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，結(jié)論不唯一：如圖：四邊形 EFGH為一個(gè)中點(diǎn)四邊形，其形狀可以由原四邊形的對(duì)角線(xiàn)來(lái)決定，因?yàn)槿我馑倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形都是平行四邊形，使四邊形EFGH為菱形，只要有原四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等即可，即AC =BD ,（即四邊相等的四邊形為菱形）；當(dāng)然也可以從菱形的判定出發(fā)，因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所

4、以對(duì)角線(xiàn)相互平分，只要再有對(duì)角線(xiàn)相互垂直即可，所以可以添加EG _ HF （即符合對(duì)角線(xiàn)相等且相互平分的四邊形為菱形）；還可以添加EF二FG （即對(duì)邊相等的平行四邊形為菱形）.溫馨提示：中點(diǎn)四邊形EFGH形狀是由原四邊形 ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn) AC和BD的數(shù)量關(guān) 系和位置關(guān)系來(lái)確定的，首先，不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平 行四邊形，其次，具體的中點(diǎn)四邊形的形狀還需需參考原四邊形的具備的其他條件來(lái)決定.問(wèn)題延伸：例3.在口ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作直線(xiàn)EF、GH，分別交平行四邊形的四 條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié) EG、GF、FH、HE.（1）如圖，試判斷四

5、邊形 EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；（2） 如圖，當(dāng)EF丄GH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是 ;（3） 如圖，在（2）的條件下，若 AC= BD，四邊形EGFH的形狀是 ;（4） 如圖，在（3）的條件下，若 AC丄BD，試判斷四邊形 EGFH的形狀，并說(shuō)明理由.圖圖圖圖解析：（1根據(jù)題意容易得 EO = FO, GO = HO,從而判斷四邊形 EGFH為平行四邊形;（2）根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形可得答案；（3）從圖形觀察可知 AC與BD的數(shù)量關(guān)系并不影響四邊形 EGFH的形狀；（4）當(dāng)AC = BD , AC丄BD時(shí)，CABCD為正方 形，結(jié)合已知條件容易得厶 BOG COF，所以有 O

6、G = OF，即EF = GH，結(jié)合EF丄GH , 可得口 EGFH是正方形.解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形.證明： OABCD的對(duì)角線(xiàn) AC、BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)O是口 ABCD的對(duì)稱(chēng)中心. EO = FO , GO = HO .四邊形EGFH是平行四邊形.（2）菱形.（3）菱形.（4）四邊形EGFH是正方形證明： AC= BD, CABCD是矩形. 又T AC丄BD , ABCD是菱形. ABCD 是正方形，/ BOC = 90° / GBO =Z FCO = 45° OB= OC./ EF 丄 GH，/ GOF = 90°BOG = Z COF . BOG

7、A COF . OG = OF , GH = EF .由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，又T EF丄GH , EF = GH .四邊形EGFH是正方形.溫馨提示：本題是探索題屬于思維創(chuàng)新型試題，也是課本習(xí)題的引申， 體現(xiàn)了中考題與課本的緊密聯(lián)系，但又不拘泥于課本原題，做了一定的提煉，重點(diǎn)考查了特殊四邊形的判定，所以在備考時(shí)抓住課本是中考復(fù)習(xí)的一個(gè)突破口.跟蹤練習(xí):1順次連接等腰梯形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是（）A.菱形B 正方形C 矩形D 等腰梯形2 如圖，順次連結(jié)四邊形ABCD各中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A. AB / DCB. AB = DCC . AC 丄 BDD . AC= BD3四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于1的菱形，順次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)組成四邊形EFGH （四邊 形EFGH稱(chēng)為原四邊形 ABCD的中點(diǎn)四邊形），再順次連結(jié)四邊形 EFGH的各邊中點(diǎn)組成第二個(gè)中點(diǎn)四邊形，則按上述規(guī)律組成的第八個(gè).中點(diǎn)四邊形的邊長(zhǎng)等于 4.觀察探究，完成證明和填空.如圖，四邊形 ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接 E、F、G、H，得到的四邊形 EFGH叫中點(diǎn)四邊形.（1）求證：四邊形 EFGH是平行四邊形；（2）如圖，當(dāng)四邊形 ABCD變成等腰梯形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形，請(qǐng)你探究并填空:當(dāng)四邊形ABC