高中不等式例題超全超經(jīng)典

1、一. 不等式的性質(zhì)：二. 不等式大小比較的常用方法：1. 作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2. 作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化;6.利用函數(shù)的單調(diào)性；7 尋找中間量或放縮法 本的方法。三. 重要不等式1. （1）若 a,b R ,;8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基則 a2 b2 2ab (2)若a,b r -*2. (1)右 a,b R ,Jab若a, b2 .2R，則ab L （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“二”）2R*，則a b 2卮（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“二”若a,b R ,ab2b2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”3.若

2、x 0,則若x 0，則x當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“二”；當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“二”）當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”a2 b22b2注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求 它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、的應(yīng)用.a+t 三融 < a+b T應(yīng)用一：求最值4.若 a,b R，則（a)2（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“二”比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛a2+b22例1：求下列函數(shù)的值域（1）尸3x 2+步1(2) y=x+匚解題技巧：技巧一：湊項(xiàng) 例1:已知x

3、 -，求函數(shù)y4評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù), 技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)0<4時(shí)，求y x（8 2x）的最大值。x2 7x 10, ；（xx 1技巧三:分離 例3.求y4x2 的最大值。 4x 5使其積為定值。1）的值域。技巧四: 解析二:換元 本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元,（t 1）2 7（t 1）+10 t2 5t 44y = t ttt當(dāng)即 t=zl> 0 時(shí),y 21 5令t=x + 1,化簡原式在分離求最值。9 （當(dāng)t=2即x= 1時(shí)取“號）。f (x) x a的單x技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)因?yàn)閥 t t

4、求函數(shù)yx2 5 Jx2 44 t(t2)，則 y1，但t11解得tt1在區(qū)間1,單調(diào)的值域。解：令依21不在區(qū)間2,調(diào)性。例:因 t 0，t1X2 5 4xrTx24，故等號不成立，考慮單調(diào)性。，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?2'2.已知0 x 1,求函數(shù)y 7x(1 x)的最大值.；3. 0 x2，求函數(shù)y 7x(2 3x)的最大值條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足a b 2，則3a 3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且 3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解:3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3b > 2/3a 3b 2j3a

5、 b 6當(dāng)3a3b時(shí)等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時(shí)，3a3b的最小值是6.1 1log 4 x log 4 y 2，求 一的最小值并求x,y的值x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性,變式：若否則就會出錯(cuò)。192:已知x 0, y 0,且一 一 1，求x y的最小值。x y應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式2 2 21.已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a b c ab bc ca1)正數(shù) a，b，c滿足 a+b+ c= 1,求證：(1 -a)(1 b)(1 c)>8abc111例 6:已知 a、b、c R，且 a

6、 b c 1。求證：-11 11 18a b c分析：不等式右邊數(shù)字 8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“1 1邁，可由此變形入手。a a a a2”連乘，又解：Qa、b、c R , a b c 1。 - 1 a -c。同理-1a a a abb上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 11 11 12/bCg2/aCg/ab 8。當(dāng)且僅當(dāng) a b c 1 時(shí)取等號。a b ca b c3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題例：已知x 0,y1，求使不等式m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：令x yk, x0,yx ykx竺戲1.巴工處1kyk kx ky1巴23k k應(yīng)用四：均值定理在

7、比較大小中的應(yīng)用:k 16,16例：若a b1,P Jlg a lgb,Q -(lg a lg b), Rlg(a b)，則P,Q,R的大小關(guān)系是分析： Iga 0,lgb 0 Q - (lga2Ig b)ga Igb p1嚴(yán) Q R>Qa bR g(丁)四.不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.元二次不等式的解法3.簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意 奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f (x)的符號變化規(guī)律, 不等式的解集。如(1)Ig Jab解不等式(x 1)(x 2)2(1

8、)分解成若干個(gè)一次因式的積， 并使每- 從最大根的右上方依 寫出(答:x | x 1 或 x2)；4.不等式(x 2)Jx2 2x 3 0的解集是(答：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f (x)0的解集為x|1 x(3)，則不等式f(x)gg(x) 0的解集為x| x 3或 x2，g(x)1);0的解集(4)要使?jié)M足關(guān)于24x 3 0 和 X6x分式不等式的解法：解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正 般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。(1)解不等式暑叢x 2x(答：(，1)U2,);x的不等式2x2 9x a 0 (解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式8 0中的一

9、個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(答：7,-)8分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一 如(答：(1,1)U(2,3)；(2)關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為(1,)，貝U關(guān)于x的不等式 釦衛(wèi) 0的解集為x 2(答: ( , 1) (2,).5.指數(shù)和對數(shù)不等式。6 .絕對值不等式的解法：（1）含絕對值的不等式|x| < a與|x| >a的解集（2）|ax+b| < c（c > 0）和 |ax+b| > c（c > 0）型不等式的解法|ax+b| < c -c < ax+b< c;

10、 | ax+b| > c ax+b > c 或 ax+b< -c.(3) |x-a|+|x-b|> c(c > 0)和 |x-a|+|x-b|< c(c > 0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想;方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1:解下列不等式：（1）.x2 2x(2). -3< 1 <2x【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等價(jià)于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>

11、3或x<0或0<x<1原不等式的解集為 x I x<0或0<x<1或x>3 解法2 （數(shù)形結(jié)合法）作出示意圖，易觀察原不等式的解集為x I x<0或0<x<1或x>3 第（1）題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯(cuò)誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)1 1圖象，則解集為x|x 1或x<-3 ,結(jié)果一目了然。1例2：解不等式：|x|丄x1【解析】作出函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)g(x)= x的vtl易知解集為(，°)1，+)例3:解不等式.|x 1|3|x 1| -厶 ?！窘夥?】令g(x)|x 1|x

12、1|2(x1)2x( 1 x 1)2(x 1)令 h(x)32，分別作出函數(shù)g(x)和h(x)4,)【解法2】原不等式等價(jià)于g(x) |x 1|,h(x) |x 1| 令圖象,41丄J rJ/I-2的圖象,知原不等式的解集為I 1>7( a)K.-1 DT|x1| I |x 1|2分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出(3厶g (x)和h (X)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為4'4| x 1|所以不等式|x 1| 33,2的解集為4【解法3】由|x31| |x 1| 2 的幾何意義可設(shè)F 1 (1,0) ,F2(l,0)，M( x，y),32，可知M的軌跡是以F 1、F 2為焦點(diǎn)的雙曲

13、線的右支，其中右頂點(diǎn)為(1 1由雙曲線的圖象和I x+1 1 1 x-1 I 知 x/ .MF1 MF2若0),7 .含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵. 注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別 說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如1，則a的取值范圍是2(1)若 loga-2(答：a 1 或0 a -)；(2)解不等式2乞 x(a R) ax 111（答：a 0時(shí)，x| x 0 ； a 0時(shí)，x |x 一或x 0 ； a 0時(shí)，x|- x 0或 x 0）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集

14、，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。 如關(guān)于x的不等式ax b 0的解 集為（,1），則不等式2ax0的解集為(答: (- 1,2)例2.（1）求函數(shù)y1的最大和最小值;函數(shù)fax2 x a( 1 x 1).若a 1，求f x的最大值例3.兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次.要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？七.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法

15、和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過 分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有：-n1Tk1n(n 1)1n(n1 _ 丄 11) n 1 n7k 12 應(yīng) Tkb c，求證：a2b R，求證：a2b21 1(3)已知 a,b,x,y R，且-1,xa b如（1）已知a（2）已知 a,b,cb2c b2c21麻2c a2 2c a求證:（4）若a、b、c是不全相等的正數(shù),求證:ab2abc(axx ab , blg bc2b（5）已知 a,b,c R，求證：a2b2若n N.2 2b c(7)已知|a Ica2 ;c)；y .y b ；c c

16、 alg- lga lgb lgc ；2 2.ac2a2abc(a b c)；Vn2_1 n ；，求證：J(n 1)2 1|a| |b|a b|1|b|，求證:(n 1)|a|b| ；|a b| '1 丄2232八.不等式的恒成立，能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù) 方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié) 合法）1）.恒成立問題若不等式f x A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f xmin A若不等式f x B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f X max B 如（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2 （y 1）2

17、1，當(dāng)x y c 0時(shí)，c的取值范圍是（答：1,）；x 3 a對一切實(shí)數(shù)X恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（8）求證:（2）不等式L 2 on(3)若不等式2x 1(答：a 1);m(x2 1)對滿足im 2的所有m都成立，則X的取值范圍(答：(佇，亠)；(4)若不等式(1)n 1(1)na 2 J 對于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是n(5)若不等式(答：2，|)；x2 2mx 2m 1 0對0 x 1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍.2 x若不等式logaX,對X (0,2)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是此題直接求解無從著手，結(jié)合函數(shù)2 1y X及丫=109 9%在(0,-)上的圖象2易知，a只需滿足條件：r ! /loga1/2、1/4：zZ化L.*"711右)1 1log a1 1即可0< av 1,且 2 4從而解得2).能成立問題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fx 3 a在實(shí)數(shù)集已知不等式A成