高等流體力學(xué)習(xí)題

1、第一講緒論習(xí)題：1. 綜述流體力學(xué)研究方法及其優(yōu)缺點(diǎn)。2. 試證明下列各式：(1) grad( O±e)=grad(冊 ±rad(e)(2) grad( $0=呃rad( ©+ 帕radg)(3)設(shè) r = xi +yj+ zk，則grad - 設(shè) r = xi +yj+ zk，求 div( r)= ？ 設(shè) r = xi +yj+ zk，則 div( r4r)= ?3.給定平面標(biāo)量場f及M點(diǎn)處上已知兩個(gè)方向上的方向?qū)?shù)鬲和'機(jī)，求該點(diǎn)處的gradf16和17)可得/-孫-II-第二講應(yīng)力張量及應(yīng)變張量例2-1試分析下板不動(dòng)上板做勻速運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)無限大平板間的

2、簡單剪切流動(dòng)式中k為常數(shù)，且k=U0/b。 解：由速度分布和式(2-14、Jt/200JflOi0再由式(2-18)可得所以 ll=k=U0/b。流動(dòng)的旋轉(zhuǎn)張量 R的分量不全為零說明流動(dòng)是有 旋流動(dòng)，l=trA=O表明流動(dòng)為 不可壓縮流動(dòng)， ll=k表明了流場的 剪切速率 為常數(shù)。第三講流體的微分方程習(xí)題：試由純粘流體的本構(gòu)方程和柯西方程推導(dǎo)納維爾-斯托克斯方程(N-S方程)。第四講流動(dòng)的積分方程【例3- 11在均勻來流速度為 V的流場中放置一個(gè)垂直于來流的圓柱體，經(jīng)過若干距離后 測得的速度分布如圖所示，假設(shè)圖示的控制體邊界上的壓力是均勻的，設(shè)流體為不可壓縮的，其密度為 P試求：流線1-2的偏

3、移量C的表達(dá)式；(2)單位長度圓柱體的受力F的表達(dá)式。-e解：(1)無圓柱體時(shí)流管進(jìn)出口一樣大(即流線都是直線，無偏移)，進(jìn)出口的流速分布也是相同的，而放入圓柱體之后出口處的流速分布變成圖示的那樣，即靠近中心線部分的流速變小，由于已經(jīng)假定流體是不可壓縮的流體，若想滿足進(jìn)出口流量相同一一連續(xù)性方程，必然會(huì)導(dǎo)致流管邊界會(huì)向外偏移，也就是說出口處流管的截面會(huì)增大。因此，求解時(shí)可由進(jìn)出口流量相等入手，設(shè)入口處平均流速為V，取寬度為L，所得的連續(xù)性方程應(yīng)為：-卩域 3C 凰 I. + 3Ld 妙h a求得C=a/2(2)在流管的進(jìn)出口截面 1-1與2-2之間使用動(dòng)量方程，即圓柱體的阻力應(yīng)等于單位時(shí)間 內(nèi)

4、流出2-2面的流體的動(dòng)量與流入1-1面的流體的動(dòng)量差，列x方向的動(dòng)量方程可表示為貝9， F=-R【例3-21試求如圖所示的射流對(duì)曲面的作用力。解：假設(shè)水平射流的流量為 Q，因曲面對(duì)稱且正迎著射流，則兩股流量可以認(rèn)為相等，等于Q/2o x方向動(dòng)量方程為R-pyWCOsClStf-(?)- pQv所以，射流對(duì)壁面的作用力為射流沖擊力的分析是沖擊式水輪機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)。從上式可知：當(dāng)0=180時(shí)，R=2 p Qv曲面所受沖擊力最大。0=90° 時(shí)，R= p Q;當(dāng)【例3 3】某渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，空氣進(jìn)入壓氣機(jī)時(shí)的溫度Ti=290K，經(jīng)壓氣機(jī)壓縮后,出口溫度上升至T2=450K，如圖所示。假設(shè)

5、壓氣機(jī)迸出口的空氣流速近似相等，如果通過壓氣機(jī)的空氣流量為13.2lkg/s，求帶動(dòng)壓氣機(jī)所需的功率 (設(shè)空氣比熱容為常數(shù))。解：在壓氣饑中，外界并未向氣體加入熱量，氣體向外界散出的熱量也可以忽略不計(jì)，故空 氣通過壓氣饑可近似地認(rèn)為是絕熱過程，即q=0。又因V1«v2，故由式(3 16)，有*將已知數(shù)據(jù)代入上式，得1 4W,' 2S7JS«C450 -35)O)-160i 3kJ/kg即壓氣機(jī)每壓縮1kg空氣需授功160.8kJ，負(fù)號(hào)表示外界對(duì)氣體作功。帶動(dòng)壓氣機(jī)所需功率 為汕朋叫 2 Kl60 3- 2122kW積分方程的綜合應(yīng)用【作業(yè)】兩股不同流速、密度均為p且

6、壓力相同的不可壓縮流體流入一段水平圓管，混合后速度、壓力均勻分布，如下圖所示。一股流速為V、面積為A/2,另一股流速為2V、面積為A/2，若不計(jì)摩擦，流動(dòng)定常且絕熱。試求水頭損失及局部阻力系數(shù)，并證明單位時(shí)間內(nèi)機(jī) 械能損失為3 fAV3/l6。解：由質(zhì)量守恒知，管道進(jìn)出口流量相等：0 A得到出口流速%討在進(jìn)出口截面上應(yīng)用動(dòng)量定理，解出進(jìn)出口壓力差值r JAp屏二函A-珂2尹進(jìn)出口處單位重量液體所具有的機(jī)械能分別為沖亦+軌軟爭(迥'Ph 十 £££*7Qg%魚十塵生十空'主空+藝"曲 2g 陀 2g /?£ Sg水頭損失則為:丄-

7、"9護(hù)+Sg Eg _嚴(yán)pg 4g 3g2 滬 10 9/局部阻力系數(shù)則為:(3r/2)'9?耳-K 2g第五講流體靜力學(xué)靜壓流場的質(zhì)量力條件7xA=Vxflv>l=lv><( V)+VIp丿p對(duì)于所有的靜止流體，（3-4）式均成立，現(xiàn)對(duì)其兩端同時(shí)取旋度可得PJ上式中應(yīng)用了標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度為0這一結(jié)論，現(xiàn)證明之y 乂 （叩）=7彳驢+等J+哥/f*Jkddddx生屯1 3a豹皈 ds dzd g - 0 切 Sr砂 和遲2空=0 (矢量)將上式與（3-4）式進(jìn)行點(diǎn)乘則有.71-L S尸？尸）=空P上式右端為矢量的混合積，由混合積的定義可知由于三個(gè)矢量中有兩

8、個(gè)同名,所以其值為0,可得由此可以得出結(jié)論：流體靜止的必要條件是質(zhì)量力必須滿足A.(7xf)=0r-(7x<)=0(3-6)。（此式自然成立啊，為什么還要證明呢？）對(duì)于不可壓縮流體，由于密度為常數(shù)，則平衡方程（3-4）式可寫成"丿（3-7）對(duì)上式兩端取旋度則有yxf二ye£"丿=0( 3-8)這是不可壓縮流體靜止時(shí)對(duì)質(zhì)量力所附加的限制條件，即質(zhì)量力必須無旋。（矢量場的四等價(jià)定理：無旋必有勢；有勢必?zé)o旋；環(huán)量為零；線積分與路徑無 關(guān)。）【證明】設(shè)質(zhì)量力f=Xi+Yj+Zk所代表的質(zhì)量力場中，若存在標(biāo)量函數(shù)U滿dff = -(Xh +迤v+2d7)則稱之為質(zhì)量的

9、勢函數(shù)，其中的負(fù)號(hào)表示質(zhì)量力做正功時(shí)質(zhì)量力的是函數(shù)減小。7卄=（譽(yù)* +曙e +讐可=dtf =（滋+跆+Z也）=-/冊由于dr是任意的微元矢量，所以有將其代入（3-4）式可得上式表明等壓面方程VP =0與等勢面7U =0等價(jià)?！咀C畢】習(xí)題:1.試證明等壓面是不相容流體間的分界面。2.試證明等壓面是等密度面。第6講實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)基礎(chǔ)例5- 1假設(shè)聲速與氣流的壓力、密度和粘度有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)聲速公式。解：分析物理現(xiàn)象，找出相關(guān)的物理量。設(shè)聲速c與氣體的壓力P，密度P和粘度 卩有關(guān)，先假定式中k為無量綱系數(shù)。寫出量綱方程。上式的量綱方程為利用量綱和諧原理建立關(guān)于指數(shù)的代數(shù)方程組，解出指數(shù)。由量綱

10、和諧原理可知，上式兩端同名基本量綱的指數(shù)應(yīng)相同，所以有一工一即一鑑=”忙十7 + =0解之可得x=1/2，y=-1/2，z=0。將其回代到假設(shè)的物理方程中，整理可得對(duì)完全氣體有p= p RT,所以聲速公式為例5-2有一直徑為D的圓盤，沉沒在密度為 p的液池中，圓盤正好沉于深度為H的池底，用瑞利法建立液體作用于圓盤面上的總壓力P=kp ghD,式中k為無量綱數(shù)。例5-3已知流體在圓管中流動(dòng)時(shí)的壓差 ）與下列因素有關(guān)：管道長度I，管道直徑d, 動(dòng)力粘度系數(shù) 仏液體密度p,流速V,管壁粗糙度厶試用n定理建立水頭損失 hw的計(jì)算 公式。解：這一流動(dòng)現(xiàn)象所涉及的各物理量可寫成如下的函數(shù)形式代g h d*

11、 rj 釈円 4)=0 o選取流體的密度 p,流速v和管徑d為基本量，它們的量綱公式為；-匸切？w?rFi?，及國爐0它們量綱指數(shù)行列式為J-3011-10100說明這三個(gè)量的量綱是獨(dú)立的，可以作為基本量?，F(xiàn)在便可以用其它的 4個(gè)量與這三個(gè)基本量組成四個(gè)無量綱量了。由于n為無量綱量，則有廠0尸射亍曲匸嚴(yán)量綱指數(shù)構(gòu)成的代數(shù)方程為-3x+/ +£ -1可解得x=1，y=2，z=0，所以同理可得無量綱關(guān)系式為彳） Q ah弋嘩V繪。fl 一.實(shí)驗(yàn)表明，圓管的水頭損失與l/d成正比，上式可寫成引入雷諾數(shù)Re= pviflu和相對(duì)粗糙度，則有d 2g上式又可表示為(5 4)這就是著名的達(dá)西公式

12、。式中啟f(1/Re,)稱為阻力系數(shù)，其值可用經(jīng)驗(yàn)公式算得，也可通過查閱相關(guān)的圖表得到，或者由實(shí)驗(yàn)確定。需要初學(xué)者注意，在上述推導(dǎo)過程中，始終使用的函數(shù)符號(hào)f并不表示明確的函數(shù)關(guān)系，而只是表示以其后括號(hào)里的物理量或無量綱量決定的一個(gè)量。比如3sin(1/x)=sinx不一定成立，而f (1/Re)=2f (Re)則成立，因?yàn)?血是一個(gè)具有明確含義的函數(shù)，而f不是確定函數(shù),比如f(1/Re)和2f(Re)僅僅表示兩者都是 Re的函數(shù)而已，下面的例題中依然如此。例5-4有一直徑為D的圓盤，沉沒在密度為P的液池中，圓盤正好沉于深度為H的池底，用n定理建立液體作用于圓盤面上的總壓力 P=kp ghD,

13、式中k為無量綱數(shù)。習(xí)題：1假設(shè)泵的輸出功率 N是液體密度P,重力加速度g,流量Q,和揚(yáng)程H的函數(shù)，試用量綱 分析法建立其關(guān)系。2實(shí)驗(yàn)分析表明飛機(jī)的飛行阻力F與空氣的密度 P空氣的粘度 e飛行速度V、飛機(jī)的特征長度L、飛機(jī)的外表面面積A等因素有關(guān)，試用量綱分析方法建立飛機(jī)飛行阻力公式F=CD（Re）p2A,其中 Re =p vLe第七講氣體流動(dòng)的基本方程例4 1某渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，空氣進(jìn)入壓氣機(jī)時(shí)的溫度Ti=290K，經(jīng)壓氣機(jī)壓縮后,出口溫度上升至 T2=450K，如圖所示。假設(shè)壓氣機(jī)迸出口的空氣流速近似相等，如果通過 壓氣機(jī)的空氣流量為13.2lkg/s，求帶動(dòng)壓氣機(jī)所需的功率 （設(shè)空氣比熱容為

14、常數(shù)）o解：在壓氣饑中，外界并未向氣體加入熱量，氣體向外界散出的熱量也可以忽略不計(jì)， 故空氣通過壓氣饑可近似地認(rèn)為是絕熱過程，即q=0。又因V1«v2，故由式（10 15），有If叫乜加叫（iG合將已知數(shù)據(jù)代入上式，得1 4嘰護(hù)了 2S7J6«C450 -35）（-1601 3kJ/kg即壓氣機(jī)每壓縮1kg空氣需授功160.8kJ，負(fù)號(hào)表示外界對(duì)氣體作功。帶動(dòng)壓氣機(jī)所需功率 為M 曲叫33>d603212MWO例4 2某噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，在尾噴管出口處，燃?xì)馑俣葹?60m/s，溫度為873K，燃?xì)獾慕^熱指數(shù)k=1.33,氣體常數(shù)R=287.4J/（kg ），求出口處燃?xì)饬鞯?/p>

15、聲速及Ma數(shù)。解.C -寸冰T - 33x287 4 xS73 - 577in/s第八講氣動(dòng)函數(shù)及壓力波Vo例5 3用風(fēng)速管測得空氣流中一點(diǎn)的總壓p*=9.81 X04Pa,靜壓p=8.44 X04Pa,用熱電偶測得該點(diǎn)空氣流的總溫T*=400K，試求該點(diǎn)氣流的速度解：由式（8 22）可得_小1? 44x10* 工山恥山血“站由氣動(dòng)函數(shù)表（k=1.4）查得入=0.5025則氣流速度為-0.5iOi35x2x144X=M3870dx400-lS7mZs14 +1例8 2有一擴(kuò)壓器（見圖8-7），設(shè)出口截面積和進(jìn)口截面積之比A2/A1=2.5，己知進(jìn)口*2。由式（8 29）可得截面上空氣流的兀=0

16、.80，求出口截面積上空氣流的由氣動(dòng)函數(shù)表（k=1.4）查得，當(dāng) 入=0.80時(shí)，q（ ?1）=0.9518。代入上式，則得由圖8-5a可以看出，由q（為值找入數(shù)時(shí)，一個(gè)q（ M直可以找到兩個(gè)入數(shù)，一個(gè)小于1，一個(gè)大小1,究竟取哪一個(gè)要由其它條件決定，根據(jù)上面的q（?2）值，從表上可以查出兩個(gè)私值為0.247或1.825o因?yàn)?X0.80，說明擴(kuò)壓器進(jìn)口為亞聲速氣流，如前所述，對(duì)于亞聲速氣 流，流管截面積增大的流速減小，故擴(kuò)壓器出口?1> 2，因此，應(yīng)取72=0.24O例8 3燃?xì)猓╧=1.33）在直管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，進(jìn)口參數(shù)T*=750K , p*i=2.25氷05Pa, 2=0.35 o已

17、知在管內(nèi)加入燃?xì)獾臒崃繛閝=1.17 X103j/kg。不考慮燃?xì)馀c管壁間的摩擦力，設(shè)燃?xì)獾谋葻醕p=1.16J/（kg K），求出口氣流的參數(shù)：T*2、尼、p*2 O解：氣流的能量方程為7； 邑十片卜 7知-jveoiKJJ 16再利用動(dòng)量方程式，因?yàn)楣鼙谑瞧街钡模植豢紤]氣流與管壁間的摩擦力，故管壁作用于 控制體上的力沿軸向的分量為零。由式（8 32），得由氣功函數(shù)表（k=1.33）查得?2=0.73，盡管 2=1.37也可以滿足z（ ；2）=2.10,但實(shí)際上不能 實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閱渭兗訜岵豢赡苁箒喡曀贇饬髯優(yōu)槌曀贇饬鳌Ｓ蛇B續(xù)方程，得耀:也（屛）-耀;蝕禺）對(duì)于所取的控制體,Ai=A2，故由

18、氣動(dòng)函數(shù)表查得>105= 2.25 XI05Pao由此可見，盡管略去了氣流與管壁間的摩擦，但給氣q（入）=0.5273, q（尼）=0.9143。故則 P*2=0.882 2.55流加熱也會(huì)造成總壓的下降?！玖?xí)題】在人頭上400m上空有一架飛機(jī)，飛機(jī)前進(jìn)了 800m時(shí)，此人才聽到的飛機(jī)的聲音。 大氣的溫度為288K o試求該飛機(jī)的飛行馬赫數(shù)、速度及聽到飛機(jī)的聲音時(shí)飛機(jī)已飛行過其 頭頂多少時(shí)間。第九講變截面、摩擦及換熱氣流9- 19-29-39-49-59-69-7試寫出各種形式的連續(xù)方程式，并說明其物理意義和適用條件。 試說明能量方程式的物理意義。引入滯止參數(shù)的意義何在？何謂聲速、臨界聲速？區(qū)別何在？