冪函數(shù)老師版.

1、冪函數(shù)分數(shù)指數(shù)冪mn am （ a正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a n0 ， m 、 nN ，且 n1）m1 （ a負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a n0 ， m 、 nN ，且 n1 ）n am一、冪函數(shù)的定義一般地，形如yx （ xR）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中x 是自變量，是常數(shù).如11y x2 , y x3, yx 4 等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).二、冪函數(shù)的圖像冪函數(shù) yxn 隨著 n 的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法熟練掌握 yxn ，當 n 2 , 1,1, 1, 3 的圖像和性質(zhì)，列表如下23從中可以歸納出以下結論： 它們都

2、過點1,1 ，除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限a1, 1,1, 2 , 3 時，冪函數(shù)圖像過原點且在0 ,上是增函數(shù)32a1 ,1, 2 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在0 ,上是減函數(shù)2 任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點yxn奇函數(shù)yOxn1yOx0n1yn0Ox偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)yyOxOxyyOxOxyyOxOx三、冪函數(shù)基本性質(zhì)（ 1）所有的冪函數(shù)在（ 0，+）都有定義，并且圖象都過點（ 1，1）；（ 2） 0 時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在 0 ，+ 上，是增函數(shù)（ 3） 0 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（ 0，+）上是減函數(shù) . 規(guī)律總結1在研究冪函數(shù)的

3、性質(zhì)時，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負整指數(shù)冪化為分式形式再去進行討論；對于冪函數(shù)yx，我們首先應該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象2的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即0，0 1 和 1 三種情況下曲線的基本形狀，還要注意 0，± 1 三個曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來記憶： “正拋負雙，大豎小橫” ，即0（ 1）時圖象是拋物線型；0 時圖象是雙曲線型；1 時圖象是豎直拋物線型；0 1 時圖象是橫臥拋物線型經(jīng)典例題透析類型一、求函數(shù)解析式例 1. 已知冪函數(shù) y(m2m1) xm22 m 3，當 x (0， ) 時為減函數(shù)，則冪函數(shù)

4、 y _解析： 由于 y( m2 m1)xm22m 3 為冪函數(shù)，所以 m2m 11，解得 m2，或 m1當 m 2時， m22m33 ， yx3 在 (0， ) 上為減函數(shù)；當 m1時， m22m30 ， yx01(x 0)在 (0， ) 上為常數(shù)函數(shù)，不合題意，舍去故所求冪函數(shù)為yx 3 總結升華： 求冪函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，弄明白冪函數(shù)的定義是關鍵類型二、比較冪函數(shù)值大小例 2. 比較下列各組數(shù)的大小.4433(1)3.14 3與3； (2) (2)5 與 (3)5 .444解 : (1) 由于冪函數(shù) yx 3(x>0)單調(diào)遞減且3.14， 3.1433 .3(2)由于

5、yx 5這個冪函數(shù)是奇函數(shù) .f(-x)=-f(x)33333因此， (2) 5(2)5 ， (3)5( 3)5 ，而 y x5(x>0)單調(diào)遞減，且 23 ，333333(2)5(3)5(2)5( 3) 5.即(2) 5(3) 5.總結升華：(1) 各題中的兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷 .(2) 題(2) 中，我們是利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題. 當然，若直接利用x<0上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的.舉一反三【變式一】比較 0.80.5， 0.90.5， 0.9 0.5 的大小 .

6、思路點撥：先利用冪函數(shù) y x0.5 的增減性比較 0.80.5 與 0.90.5 的大小，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象比較0.90.5 與0.9 0.5 的大小 .解：yx0.5 在 (0， ) 上單調(diào)遞增，且0.80.9 ，0.80.50.90.5 .作出函數(shù) y x0.5 與 yx 0.5在第一象限內(nèi)的圖象，易知 0.90.50.9 0.5.故 0.80.50.90.50.9 0.5 .例 3. 已知冪函數(shù)yxn1 ，yxn2， yxn3 ， yxn4 在第一象限內(nèi)的圖象分別是 C ， C ， C ， C ，( 如圖 ) ，則 n ， n ， n ，n ， 0， 1 的大小關系 ?12341234

7、解 : 應為 n1<n2<0<n3<1<n4.總結升華： 對于冪函數(shù)yx (R) 的圖象，其函數(shù)性質(zhì)的正確把握主要來源于對圖象的正確處理，而冪函數(shù)的圖象， 最重要的是搞清第一象限的圖象類型及分布；反過來，也能通過第一象限的圖象判斷指數(shù)的取值范圍.舉一反三1【變式一】（ 2011 陜西文 4） 函數(shù) yx 3 的圖像是（）思路點撥： 已知函數(shù)解析式和圖像，可以用取點驗證的方法判斷解： 取 x1 ,1，則 y1 ,1，選項 B， D 符合；取 x1，則 y1，選項 B 符合題意8822類型三、求參數(shù)的范圍例 4. 已知冪函數(shù) y xm 2 ( mN) 的圖象與 x，

8、y 軸都無交點，且關于y 軸對稱，求 m 的值，并畫出它的圖象解： 圖象與 x， y 軸都無交點，m 2 0 ，即 m 2 又 mN ，m0，1，2 冪函數(shù)圖象關于y 軸對稱，m0，或 m 2當 m0 時，函數(shù)為yx 2，圖象如圖 1；當 m2時，函數(shù)為yx01(x 0) ，圖象如圖 2舉一反三a232a2【變式一】若1，求實數(shù) a 的取值范圍 .解法 1：a122， 考察 yx 2 的圖象，得以下四種可能情況:3 2a32a032a032a032a0(1)a10(2)a10(3)a1 0(4) 1a03 2a a 13 2a a 13 2a(a 1)(3 2a) a 1分別解得 :(1)1a

9、2. (2) 無解 . (3)a1. (4)a 4 .32 a 的取值范圍是，.，1143解法 2：畫出 yx 2 的圖象， 認真觀察圖象， 可得 : 越接近 y 軸，y 值越大， 即|x|越小， y 值越大，22a1 0a 1即 32a 0要 使3 2a，解| a1| |32a |得 :，12，.，143總結升華：以上兩種方法都是運用函數(shù)的單調(diào)性，但顯然第二種方法更好. 而這種方法的應用，必須對圖象的特征有深刻的認識 . 可見，能很好地運用數(shù)形結合是解決函數(shù)問題的重要途徑.類型四、討論函數(shù)性質(zhì)1例 5. 求函數(shù) y=( x2) 2的定義域 .2(3x) 3解 : 原函數(shù)可化為y=x2x203

10、x x -2 ， 3) (3 ， + ).3(3x)20總結升華： 正確判斷函數(shù)的定義域是完成函數(shù)的圖象，討論函數(shù)的性質(zhì)的前提，必須加以重視.( x23例 6. 討論函數(shù) y2x3) 4 的單調(diào)性 .33解 : y( x22x3)4 可看作是由 y2u 4 與 u=x -2x-3復合而成，3 yu 4 中， u2-2x-3>0 ， 得到 x>3 或 x<-1.(0 ，+ ). x當 x>3 時， u=(x-1)2-4 ， 隨著 x 的增大 u 增大，3又 yu 4 在定義域內(nèi)為減函數(shù)，y 隨著 u 的增大而減小，3即 x3，時， y(x22x3)4 是減函數(shù)，而 x，

11、1時，原函數(shù)為增函數(shù) .總結升華：1. 復合函數(shù)的討論一定要理清x，u， y 三個變量的關系 .2. 對于這樣的冪函數(shù)與二次函數(shù)的復合，要先考慮冪函數(shù)的定義域?qū)ψ宰兞縳 的限制 .舉一反三1【變式一】討論函數(shù)f (x)xm2 m 1 (mN ) 的定義域、奇偶性和單調(diào)性解：（ 1）m2mm(m1)(mN ) 是正偶數(shù)，m2m1是正奇數(shù)函數(shù) f ( x) 的定義域為 R （ 2）m2m1是正奇數(shù)，11f (x)( x) m2 m 1xm2 m 1f ( x) ，且定義域關于原點對稱f ( x) 是 R 上的奇函數(shù)（ 3）10 ，且 m2m 1 是正奇數(shù)，m2m1函數(shù) f ( x) 在 ( ， )

12、 上單調(diào)遞增指對冪函數(shù)試題1. 已知冪函數(shù) f ( x )圖像過點（ 2，22），則 f ( 4 ) =122. 函數(shù) yf ( x) 與 g(x)log 2 x 的函數(shù)圖象關于直線 yx 對稱，則 f ( 2)143. 求函數(shù) y4x2x 13 的值域 .解：令 t2x ，則 t 0 ，故 yt 22t 3(t 1)22 ， t0 所以 y 2, )4、設 a20.3 ,b0.32 , clog2 0.3，則 a, b, c 的大小關系是a>b>c5. Ay y ( 1 ) x, x 1， By y ln x, x 1 ，則 A B_ 0,1 _226、若函數(shù) f ( x)a x (a0,a1) 的反函數(shù)是 g( x) ，且 g (x) 在1 ， 2 上的最大值與最小值之和為 1，則 a1.27、若2，則實數(shù)a的取值范圍是_(0,2) _log a 515) (1,8、已知冪函數(shù) f( x) 的反函數(shù)的圖像過 (2,2) ，求函數(shù)