第三章+二維隨機變量及其分布

1、第三章二維隨機變量及其分布2008年考試內(nèi)容多維隨機變量及其分布二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布二維連續(xù)型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關性常用二維隨機變量的分布兩個及兩個以上隨機變量簡單函數(shù)的分布2008年考試要求1. 理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二維離散型隨機變量的概率分 布、邊緣分布和條件分布，理解二維離散型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨 機變量相關事件的概率。2. 理解隨機變量的獨立性及不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件。23. 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布N （

2、1, 2； 1,）的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義。4. 會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數(shù)的分布。本章構(gòu)架|本章的核心內(nèi)容是 離散三分布（聯(lián)合、邊緣和條件）；連續(xù)三密度（聯(lián)合、邊緣和 條件）；均勻與正態(tài)。介紹了作者原創(chuàng)的三個秘技（直角分割法、平移法和旋轉(zhuǎn)法） 求分布問題。本章是教育部關于概率論大題命題的重點。一、二維隨機變量（向量）的分布函數(shù)1.1二維隨機變量（向量）的分布函數(shù)的一般定義X, Y是二維隨機變量，對任意實數(shù)X和y，稱F（x, y） PX x, Y y P X x Y y P AB為X, Y的分布函數(shù)，又稱 聯(lián)合分布函數(shù)。 F x, y具有一維隨機

3、變量分布類似的性質(zhì)。 0 F x, y 1 ; F x, y對x和y都是單調(diào)非減的，如 x2 F xn y F x2, y ; F x, y對x和y都是右連續(xù)； F ,Jim F x, y 1, F ,F x,F , y 0, F x, y幾何意義：表示F x, y在x, y的函數(shù)值就是隨機點 X, Y在X x左側(cè)和Y方的無窮矩形內(nèi)的概率。對有限矩形域有：P xiXX2,yi丫討2F(X2,y2)F(xi,y2)F(X2,yjF(xyj1.2二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律設X, Y的一切可能取值為x, yj;i, j 1,2,，且X, Y取各對可能值的概率為P X 冷丫yjPj，則 F(x,

4、y)P X x, Y yP稱為聯(lián)合分布律。x x yj y設事件AXXi,Bj丫yj，根據(jù)全概率公式有P XxipAnP Bjj 1P An|BjP ABjj 1nPjP.j 1P YyjpBjnP Ai 1P Bjn|AiP ABji 1nPjPji 1所以我們定義:Fx(x)PjP.及Fx(x)RjPj分別稱為X，丫的邊緣分布律j 1i 1評注已知聯(lián)合分布，可求出全部邊緣分布，反之不然。如已知22fX x N 1, 1f x, y N i,2； i ,2；2fY y N2, 2反之則卻確定不了，還必須另給條件?！纠?】根據(jù)下表求P X 1, Y 3及P X 1和P Y 1。X12310.1

5、0.302000.230.10.10400.20解:P X 1, Y 3P X 2,Y3P X 2,Y4 P X 3,Y3 P X 3,Y40.1 0.20 00.3P X 1 P X 1, Y 1,2,3,40.1 0 0.1 0 0.2(邊緣分布)；(邊緣分布)P Y 1 P X 1,2,3, Y 10.1 0.3 0 0.41.3二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度連續(xù)型聯(lián)合分布函數(shù)：x yF(x,y) P X x,Y yf(u,v)dudvf(u,v)dudv直角分割區(qū)域正概率區(qū)間D區(qū)域D按照陳氏直角分割法 確定且有聯(lián)合概率密度：2匸fF x,yf x,yx y邊

6、緣分布的概率密度Fx x F x,xf x, y dy dxfx xdFx xf x, y dydxydFY yFx x F, yf x, y dx dyfY yf x, y dxdy評 注|二維連續(xù)型 X, Y的兩個分量X, Y還是連續(xù)型，但兩個分量都是連續(xù)型的隨機變量的 二維隨機變量卻不一定是連續(xù)型，即可能成為既非連續(xù)型，又非離散型?！纠?】已知二維隨機變量X,Y N2j12, 2，求邊緣分布概率密度解:f X, y1 (x 1)2 22 1 2122x 1 y 2 y 2 21 2 22efx xx, y dy由于1 22x 11e"2 1 2dX 12121 "21

7、dyx 11 TTx e2 1t2e 7dtX 1 2/r 21 N同理 fY yeV222y 22 22 2 N2, I，可見二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然是正態(tài)分布。三分三密決定隨機變量的相互獨立性二元分布有聯(lián)合、邊緣和條件形式共三種分分布函數(shù)和三種密度函數(shù)，簡稱：三分三密。一般型：任意X1丄，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)F X1,L ,Xn滿足F Xp X2L,XnFx1X1Fx2X2LFxnXn時，稱X1，L,Xn 相互獨立。注意，可以證明，這個定義與前面的用事件的概率來定義事件之間的獨立性是完全等價的二維離散型：X, Y相互獨立的充要條件是 Pij Pi二維連續(xù)型：X, Y相互獨立的充要條件是

8、 f x, yfX x fY y如果f x,y在規(guī)則區(qū)域，如矩形區(qū)間等，具有分離變量形式，即f x, y g x h yx a,b , y c, d ，則 X, Y 一定相互獨立。如f x, y 8xy 0 x 1, 0 y 1中X, Y就一定不獨立。注意g x , h y 不是邊緣分布。如f x, y 8xy 0 x y, 0 y 1，存在不規(guī)則區(qū)間，故 X, Y不獨立。如果上述兩個條件一個都不滿足，則一般不獨立。二維正態(tài)型和隨機變量只取二值型：X, Y相互獨立的充要條件是相關系數(shù)0，即X, Y不相關。 如果Xi N i,'，且Xi相互獨立，則n n n 2ZKXiNKi,ki ii

9、 1i 1i 1設隨機向量 X1,L ,Xm 和 Y,L ,Yn 及 X1,L ,Xm； ¥,L ,Yn 滿足FX1,L,Xm；y1丄，F(xiàn)1X1,L,XmF?y1,L, yn則稱X1,L ,Xm與Y,L ,Yn相互獨立；此時，Xi與Yi必相互獨立；并且，任意函數(shù)分布g X1,L ,Xm與h Y,L ,Yn也相互獨立，如隨機變量Xi,X2相互獨立，則隨機變量的函數(shù)f Xi與g X2必相互獨立，但f Xi,X2 與g X1, X2卻不一定獨立。設隨機變量X1, X2, L , Xn相互獨立，它們的聯(lián)合分布函數(shù)為 FXi xi ，貝UMMax Xi, X2, L , Xn Fmhx zPM

10、 z Fxiz Fx2 zLFxnzNMin Xi, X2, L , XnFMin zP Nz 11Fx z1Fx?zL Fx.zFx1 z Fx2 z L Fxn z F xnn 1M Max X1, X2, L , Xn FMax z P M z F z fMax x nf x F znn 1N Min X1, X2, L , XnFm z P N z 11 F z fMin xnf x 1 F z X, Y相互獨立，如X, Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f x, y ，則Z aX bYfZ zfX x fY ax dxfX by fY y dyba形象記憶掌握法：這個公式特別有規(guī)律，在形式上，只要從

11、 z ax by中解出y 三空代換 bfY y中的y，或者從 z ax by中解出x三旦代換fx x中的x即可。 a 4類可加性分布（其余分布不可加） X, Y 相互獨立，X B m, p , Y B n, p，貝UZ X YBm n, p X, Y 相互獨立，X P , , Y P 2 ， 貝UZ X Y P 12但泊松分布不存在線性性，即丫 aX b不再是泊松分布。 X, Y 相互獨立，X N 1,12 , Y N 2,；，則Z X YN如果X, Y不獨立，則Z X Y N2, X, Y 相互獨立，X 2 n1 , Y 2 n2，則Z X Y 2 n,n2 '模球模型1 如口第i

12、屮幺球在有若干個紅球和黑球的箱中逐次隨機取一球，令Xj，丄“ 紅丄 i 1,2，則'0,如第i取出黑球不管放回與否，Xi和X2同分布，但放回抽樣時Xi和X2獨立，不放回抽樣時Xi和X2不獨立1.4 .離散型與連續(xù)型分布函數(shù)的關系P N X X2，yi Y y2f x, y dxdy證明:P xiXX2, yi丫y2F(X2,y2) F(xi,y2) F(X2,yJ F(xi,yjP X X',Y yj P x X x dx, y Y y dyF(x dx,y dy) F(x dx, y) F(x, y dy) F(x, y)Fy(x dx, y)dy Fx(x,y)dyFXy(

13、x, y)dxdy f x, y dxdyi.5條件分布離散型PX | Y yjP XXi, YyjP Y yjPijP.ji, j =i,2也Pi.PY yj | X <【例3】已知X, Y的聯(lián)合分布律表，求Y i條件下的X分布律。7、i234Py YyjIiiii2548I2I64820i丄丄I38I2I648i2I0300I2I648PxX X'ii丄ii4444解：先求出所有的邊緣分布，如上表，于是P X 1Y 12 Y 13Y 14 Y 1P X 1,Y 112512_P Y 14 48251 25684825125412482512531.5.2連續(xù)型f x, yfx

14、|Yx|yfY yf x, yfY|X y|xfx x證明:P X x, y YyP y Yyx,y dy dxxf x, 1 dxxf x, 1 dxfY y dyfYfYx f x,-dxfY 2y, y0x f x,fY yf x|yxfdxfY yf x, yfY y同理:fYix y |xf x, y例 4】 設 X, Y N 0, 0; 1, 1;解：因為f x, yN 0, 0;又，fx xe 2,fY yf x, yf x,yfXYfY y1 e首x2 2 xy y212 1 21, 1;e，2.'12，求 fxY xy 與 gx y x 。2x y121 22e N2

15、y, 12 116 4825X1234P 1264P 3P25252525fY|Xf X, yf x, yfx x1 叮7TeX, 12可見正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然是正態(tài)分布。般地X, Y NfXYN112y2 ,2112fY|XN22x1 ,22121而且，從上式可以看出，當0,即X, Y獨立或不相關時，兩個正態(tài)邊緣分布和條件分布相 同。1.6連續(xù)型分布的概率密度、邊緣密度和條件密度函數(shù)的關系乘法公式全概率公式貝葉斯公式二維隨機變量f X, yxy fx x fY|x y | xfY y fxY x | yp p.pjiiPjRijfx xfx|Y x| yf x, y dyfY y fx

16、|Y x|y dyfx_x_fY|x_y|xfY yx, Y的聯(lián)合分布唯一地確定兩個邊緣分布、條件分布；但反之不然。若x, Y獨立，由兩個邊緣分布可以確定聯(lián)合分布；若 x, Y不獨立，則由一個邊緣分布再加上 個對應的條件分布才能確定聯(lián)合分布（參看上述乘法公式）。二、2大二維連續(xù)型分布函數(shù)（其它的多維分布函數(shù)不是考點）1 二維均勻分布1I,x, y Df x,ySD U D0,other評 注|設x, Y服從非矩形區(qū)域、圓形區(qū)域 D x, y |x2 y2 r2等上的均勻分布，則兩 個邊緣分布都不是均勻分布，但兩個條件分布都是均勻分布。設X, Y服從D x, y |a x b, c x d上的均

17、勻分布，則兩個邊緣分布和兩個條件分布都是對應的一維均勻分布，而且 X, Y獨立2二維正態(tài)分布2 2f x, yi2.2 ；（X 1）2 X 1 y 2 y 2 21 2 2 1 2 ；-e2評注 設二維隨機變量X, Y N 1, 2； 12,；，則X, Y線性組合Z GX CY N G 1 C2 2, C12 12 d ； 2C1C2 1 2仍然是正態(tài)分布；但任意兩個正態(tài)隨機變量的線性組合卻不一定是正態(tài)分布；兩個邊緣分布都是正態(tài)分布的二維隨機變量也不 一定是正態(tài)分布。三、6大二維函數(shù)的分布函數(shù)及其模型（簡稱函數(shù)分布X, Y）1 備用模型Z X Y FZ z PZz P X Y z1.1離散型直

18、接計算Z的分布律?！纠?】4121520320求 Z X Y 和 Z XY。12320202612020解：先列出Z的分布律，如下表P520220620320320120X, Y1, 11,11,22, 12,12,2Z X Y201134Z XY112224從表中看出：Z X Y 2, 0, 1, 3, 4P X Y 2 P X 1丫 12020PXY1 P X 1丫2 PX 2,Y1 £ "20 20 20320120于是Z X Y的分布律如下Z X Y-20134P520220920320120同理可得到Z XY的分布律如下1.2連續(xù)型XY-20134P4202205

19、20320120設X, Y的概率密度為f (x, y)，則分布函數(shù)Fz zP Z yf x, y dxdyx y zx y z是x y z及其左下方的半平面，則Fz zf x,y dxdyx y zz yf x, y dx dy令x u y，并交換積分次序u y, y dy dufz zFz zf z y,ydy由于X,Y的輪換對稱性，易知fZ z FZ z f x, z x dx即得備用模型的連續(xù)型公式fZ zf z y, y dy f x, z x dx如果X,Y獨立，則可寫成下述卷積形式fz zfx z y fY ydy fx fyfz zfx x fY z x dx fY fxfx f

20、Y即得備用模型的連續(xù)型公式fz zfx z y fy y dyfx x fY z x dx fx fY評注 備用模型是常年考點，它的一般形式更重要，在獨立性結(jié)論中已經(jīng)列舉過，希望讀者仿 照上訴方法務必反復推導三次，領會其一般思想，切不可硬背。如果存在非正規(guī)區(qū)域（即：積 分區(qū)域不能用一項表示出來），則需要使用平移法劃分為若干個正規(guī)區(qū)域。2并聯(lián)模型一M Max X, 丫和串聯(lián)模型一N Min X, Y，X, Y獨立F Max zP M zP X乙丫zP Xz P Y zFx z Fy zF Min zP N z1 PNz1PX乙丫z 1P X z PY z1 1P X z 1 PYz11Fxz 1

21、 Fy z一般地:FmaxzFX!zFX?z LFXnzFminz11FX1z1Fx2 z L1Fxzn如XiX丄Xn為同分布，則有nF max zF zn 1max zn fX F Zn 1min z n f X 1 F ZnFmin z 11 F z評注等價表示：M Max X, Y1XY X Y ； N Min X, Y3商積模型fu, v u, V般來說，如果U g X,YX,Y存在唯一的反函數(shù)：X X U, V , YU, V，利用雅可比微元變換 J可得u, v u,vX, Y x u,v ,y u,v I J3.1商模型 求Z的概率密度,方法如下FzpXx, ydxdyy,uv,

22、yFzuv, uJ dudvf uv,u du dvfz zf zu, u u duzy, yy dy如X, Y獨立,fx zy fY y y dy。這也是一個常用公式【例6】設X, Y相互獨立,都服從，求Zx-的分布密度函數(shù)fz z。解:fxxe0,fY ye0,y, yfz zf zy,y dyfx zy fYy ydyydy 1 z0,評注商模型是重要考點如果存在非正規(guī)區(qū)域（即：積分區(qū)域不能用一項表示出來），則需要使用旋轉(zhuǎn)法劃分為若干個正規(guī)區(qū)域。3.2積模型求Z XY的概率密度。只要改寫成Z XY |，然后Y令 u , v xyy1x uv, y 一 u1uv, 一 uJ dudvZ X

23、Y fZ z上1 duf zu, u uy dyy評注積模型本質(zhì)上就是二維聯(lián)合分布。數(shù)學1,3考點Xi,X2丄Xn為獨立同分布N 0,1nXi2i 1n護n20,n2 2Xi ni 1kY2 n Z Y 2 niniL nki 1tn模型數(shù)學1,3考點Y 21n 12n1tt12 n1 , Yn2X,Y獨立nin22n1n1n12n2n21 6n2n20,n21F1口，n2Fn2, n1四、典型題型與求解秘訣【例7】 把一硬幣連擲三次，X表示正面次數(shù)，丫 |2X 3,求X, Y的聯(lián)合分布律和邊緣分 布律。解：應符合二項式分布B(n, p) Ckpk(1 p)n k11本題中 P , n 3,

24、k x; X B 3,-2 2X 0, 1, 2, 3 Y 2X 33, 1, 1,3P(X0, Y3)P(X0)"12 8P(X1, Y1)P(X1)c3 1 山2 32 2 8P(X2, Y1)P(X2)d "J) 32 2 8P(X3, Y3)P(X3)c； (1)3(1)0 -2 2 8其它的X, Y組合的概率全為0X, Y的聯(lián)合分布律如下:Y012310383803180018X, Y的邊緣分布如下:X0123Y13P1331P31888844【例8】設(X, Y) U 0 x 2 , 0 y 1 ，求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度fS s。解：顯然，0 s

25、2，曲線xy s與正概率區(qū)域的右邊交點為 2,-，于是P XY s2 -0 dx 02 f x, y dy1sdy2x, y dx2dx0匕dy0 Sd1 s sdy°y 21 dx 1Sd22dx0s；dy1 -sdy ydx02sln21s121In 22In 2 In sIn s【例9】設離散型X,Y的分布列為Y12111632193118問，取什么值時X, Y獨立解：邊緣分布為Y12P.1111632112991131818Pj11133由歸一性知，11 11333要使X, Y獨立，顯然要求再驗證每一項疋否滿足獨立：經(jīng)驗證29,1時，X, Y 獨立。9【例10】X, Y獨立，

26、且PX 1P Y 1p 0, P X 0 P Y 01 p 0，1-9.1 1-3 1-3Yp12-9Xp1,1,X Y為偶數(shù)X Y為奇數(shù)，問當p為何值時,X與U獨立?解：如果X與U獨立，又X與U都是二值變量，故只需要求任意組數(shù)獨立即可(另一組自動滿2 x y, 0 x 1,0 y 1,0其他足獨立性要求)，則P X1,U 1P X1PU1PX1,XY為偶數(shù)攵pPU1PX1,Y1 pPX0,Y0 PX1,Y1PX1,Y1 pPX0,Y0 PX1,Y1PX1 PY 1pP X0P Y0P X1 P Y 1p2 P 1 P2p2p 1【例11】設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)1 求

27、 P X 2Y ；2 求Z X Y的概率密度fz(z)解：1P X 2Yf (x, y)dxdyx 2y 0x1,0 y 11"dy12y(2x y)dx32(2 5y 4y )dy724X Y的概率密度fz(z)可以直2如果已知(X, Y)的聯(lián)合概率密度為f(x, y)，則Z接用公式fz(z)f (x, z x)dx求解。f (x, z x) 2 x (z x) 2 乙由于被積函數(shù)f (x, z x)只有在0 x 1, 0 zx 1 2時不為0 (正概率區(qū)域)，則當0z 1時，如右圖的下三角形區(qū)域(視zfz(z)0 (2 z)dx z(2 z).z為常數(shù))當1z 2時,如右圖的上三

28、角形區(qū)域(視z為常數(shù))fz(Z)11(2z 1z)dx(2 z)2.于是Z的概率密度為fz(Z)z(2(20,z),z)2,1 z 2其它【例12】設X，丫相互獨立，且都服從N0, 2解Fz zP 、x2 Y2P X2當z當zZ x,y2 2x y-e才2匸Fz zx2 y2丄e2 2edxdyz2fzFz z0,【例13】解:，求Z X2 Y2函數(shù)分布。Y2r2z22 22 2re 2 dr 1 e 20，1)上的均勻分布 的分布函數(shù)和密度函數(shù)；設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從(求Z X Y設U X Y, V X Y，求U, V的密度函數(shù);求U, V關于U與V的邊緣密度函數(shù)。均勻分布為:f

29、 x ,y石 X，y D0, other1, x, y D0, other1 FZ z PZz PXYz0,PzX Yz 六邊形的面積 12 i1 z 1 z1,0z 0112 z0 z 11z 1fzzFz z2 1 z ,0,0 z 1 other2 X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)f x, y1, 0 x 1, 0 y 10,其它令 u x y, u x yu vu vx,y22JU , V的密度函數(shù)x, yu, v根據(jù)商積模型公式，得f(uv,v)J,0220,0u v 2,0 u2'0,其它fu, v (U, V)11(u v) 1, 0 (u v) 122其它v 23 U, V關于U的

30、邊緣密度函數(shù)求法是：把u看成常數(shù)，對v進行全區(qū)域積分，得邊緣U分布由x, y0, 10 u v 2, 0 u v 2，畫圖可知u, v所圍區(qū)域是一個邊長為2,旋轉(zhuǎn)了 45°的正方形。由圖形立即可得：0 u 2, 1 v 1。則u 1dv u u20 u 1u0 u 1u0 u 12 u 1fu (u)dv 2u1 u 22u1 u 22u1 u 2u 2 20其它0其它0其它2 v 1du v 1v 21 v 0fv(v)2 v 1du 1 vv 20 v 10其它ex x 0 【例14】設隨機變量X與Y相互獨立且同分布，密度函數(shù)f(x)0x0試證明X Y與-也相互獨立。Y證明：X,

31、Y的聯(lián)合密度函數(shù)f u, v (u, v)產(chǎn))1 vu(1 u)21(1 v)2uue0, v 00其它U , V的邊緣密度函數(shù)為f(x, y)e(x y)0x0, y 0其它令xuvu0,v 0x yu, vx1Jy ,uyv1vxxvuuvJ(x, y)uv1v1 v12v(u, v)yy1uuv1v1v2故得U , V的密度函數(shù)為u(1 v)2fu(u)fuv (u, v)du12 ue0 (1 v)2dvuue0,其它fv(u)fuv (u, v)du12 ue0 (1 v)2du(1 v)2'0,其它于是fuv (u, V)fu (u) fv(v)，命題得證。陳氏第5技【二維

32、直角分割法】。秘訣如下在某局部區(qū)域中，已知兩個隨機變量不為零的分布密度 率點區(qū)域)，求全部區(qū)域的分布函數(shù)F x, y問題是一個難點 清晰地解決這類題型。二維直角分割法秘訣如下f x, y (這個局部區(qū)域又稱為正概 作者創(chuàng)立的直角分割法可以方便1如果正概率點區(qū)域在x和y兩個方向都有界，則需要將全平面區(qū)域劃分為 5類積分區(qū) 域，在每類區(qū)域中求x, y時，積分區(qū)域為直角分割區(qū)域和正概率點區(qū)域的交集。第1類積分區(qū)域占八、x, y的直角分割區(qū)域與f x, y正概率點區(qū)域無交集，顯然這時x, y第2類積分區(qū)域占八、x, y的直角分割區(qū)域畫在與f x, y正概率點區(qū)域y方向的外邊，積分區(qū)域為直角分割區(qū)域和正

33、概率區(qū)域的交集部分，顯然這時相當于求X的邊緣分布函數(shù)F x, y FX x ；第3類積分區(qū)域點x, y的直角分割區(qū)域畫在與fx, y正概率點區(qū)域x方向的外邊，積分區(qū)域為直角分割區(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分，顯然這時相當于求X的邊緣分布函數(shù)F x, yFy y ；第4類積分區(qū)域點x, y的直角分割區(qū)域畫在fx, y正概率點區(qū)域的內(nèi)部，積分區(qū)域為直角分割區(qū)域和正概率區(qū)域的交集部分；第5類積分區(qū)域點x, y的直角分割區(qū)域包含整個正概率點區(qū)域的全部，積分區(qū)域是正概率點區(qū)域本身，顯然此時有F x, y 12如果正概率點區(qū)域在x和y兩個方向有一個區(qū)間無界，由于直角分割區(qū)域頂點無法畫在該無 界區(qū)間的外部，則只

34、需將全部區(qū)域劃分為3類積分區(qū)域，即沒有第2類和第5類，或者沒有第3 類和第5類。在每類區(qū)域中F x, y積分區(qū)域仍為直角分割區(qū)域和正概率點區(qū)域的交集?！纠?5】已知隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布密度為f x, y4xy,0,0 x 1, 0 y 1其它，求（X,Y）的的聯(lián)合分布函數(shù)F x, y 。解：采用直角分割法。第 1 類：x 0,或 y 0 F x, y 0 ；第2類：直角分割區(qū)域頂點x, y在區(qū)域y1, 0 x即在正概率點區(qū)域0x1, 0 y 1的y方向的外部），積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與定義區(qū)域0x1, 0 y 1(即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。x 1x124uvdudv 4udu

35、 vdv x 0 0 0 0F x, y第3類：直角分割區(qū)域頂點x, y在區(qū)域x 1, 0 y 1內(nèi)（即在正概率點區(qū)域0x1, 0 y 1的x方向的外部），積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與定義區(qū)域0x1, 0 y 1(即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。y 14uvdudv0 0F x, yy124vdv udu y00第4類：直角分割區(qū)域頂點 x, y在正概率點區(qū)域0 x 1, 0 y 1的內(nèi)部，積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與定義區(qū)域0x1, 0 y1 （即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。F x, yy x4uvdudv0 0yx4vdv udu0 0第5類：直角分割區(qū)域頂點x, y在區(qū)域x 1, y1

36、的內(nèi)部，直角分割區(qū)域包含正概率點區(qū)域0x1, 0 y 1的全部,積分區(qū)域為定義區(qū)域0x 1, 0 y 1 （即正概率區(qū)域）的本身。F x, y14uvdudv014vdv udu0綜上所述，得0,x0或y02x ,0x 1, y12y ,0y 1, x12 2x y ,0x 1, 0y1,x1,y 1F (x, y)1【例16】設隨機變量（X,Y）的密度函數(shù)xey 0 x yf (x, y)，試求分布函數(shù) F(x, y)。0其它，由于區(qū)域邊界不是常數(shù),解：利用【直角分割法】計算，先畫圖確定正概率區(qū)域0 x y易知全平面只有3類直角分割區(qū)域。第 1 類：x 0 或 y 0 F(x, y) 0，因

37、為直角區(qū)域與正概率區(qū)域0 x y無公共部分;第2類：不存在;第3類：直角區(qū)域頂點在0 y x（即正概率區(qū)域0y的x方向外部），積分區(qū)域為直角分割區(qū)域與定義區(qū)域0 x（即正概率區(qū)域）的公共部分（即交集）。第4類:F (x, y)F(x, y) P(X x, Y y)三角區(qū)域頂點在0P(X x, Yy)xdx0y0dyx1c0xeydx 1 (-y2y 1)e y內(nèi)，積分區(qū)域為三角區(qū)域與定義區(qū)域0 x yxe ydyx2ey2第5類：綜上所述，得不存在F(x, y)(2y2 y1)e y評注由于乍(X,Y)x y(x 1)e xS2ey20,所以當密度函數(shù)為零,分布函數(shù)卻不一定為零。如本題 f x

38、,1區(qū)域0 y x為零，而在概率分布函數(shù)中等于1 （- y2 y 1）e y。10 x 10 y 2x例 17】X, Y 的概率密度 f x, y l, 0 x l, 0 y 2x，求 P Y 0,otherfx解：由于條件分布和聯(lián)合分布及其邊緣分布有關，故首先求邊緣分布2xfxx0,f x, y dy dy 2x, 0 x 1 .otherP Y 1|X 12 2P Y 1, X2x, y dxdy點1，1的直角分割區(qū)域正概率區(qū)域2 21、2 fx x dx316141 1jdy dx2至 2xdx0Z aX bY的分布函數(shù)密度陳氏第6技 【備選模型平移法】。精妙絕倫秘訣如下備選模型中，已知

39、兩個隨機變量的分布密度，求它們線性組合fz z ,如果積分區(qū)間是分段的，我們必須將 z分割成不同的積分區(qū)間，再利用平面積分手段或 備選模型公式Z aX bY fz z f x, -_ax dx。問題關鍵和難點就是如何確定積分區(qū)b間，為此，作者創(chuàng)立了平移法可以方便而清晰地解決這類題型。平移法秘訣如下1首先畫出基準直線ax by 0 ；2把基準直線平移到正概率區(qū)域的全部邊界點上，從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線,該直線與x軸的交點就是x方向的積分區(qū)間分段點，與y軸的交點就是y方向的積分區(qū) 間分段點。【例 18】設 X, Y 獨立，fxx ° j 1,fYy ey0，求 Z2X 丫 的 fz

40、z。0, other0,y0解：fZzfXxfYz 2x dx 1fYz 2x dxe2x zdx但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域，x的積分區(qū)間必須依照z的不同范圍分段進行。按照平 移法，先作基準直線2x y 0 ,然后將該基準直線平移到x 1邊界點得直線方程2x y 2， 從而得到z在x軸上的關于正概率區(qū)間的兩個分界點 z1 0, z2 2。其中當0 z 2時，又把基 準直線任意平移到該區(qū)間，得方程2x y z，該直線與x軸的交點為x -，即為此區(qū)間x的積2分上限。由圖形立即看出z 0為零概率區(qū)間，所以分三段分別計算 fZ z如下fZ ze2x zdx【例19】X, Y的概率密度f x, y1

41、 P X 2Y ；2 Z X解：1 P X 2Yx 2y 0x1,0 y 10,z012x ezdxz22x ze dx1ze ,0 z 200212x ezdx12ze 1 e ,z 2022xy,0x1, 0y 1求0,otherY的fzz 0x, y dxdy1 rdx 2 2 xy dy7 ；0 0242 fz zf x, z x dx 2 z dx但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域,x的積分區(qū)間必須依照z的不同范圍分段進行按照平移法，先作基準直線x y 0，然后將該基準直線平移到x 1邊界點得直線方程x y 1，再平 移到x 1, y 1邊界點得直線方程x y 2，從而得到z在x軸上的關

42、于正概率區(qū)間的三個分 界點乙0, Z2 1, Z3 2。其中，當0 z 1時，又把基準直線任意平移，得方程 x y z，該 直線與x軸的交點為x z，即為此區(qū)間x的積分上限，當1 z 2時，又把基準直線任意平移到 該區(qū)間，得方程x y z，但該直線與x軸的上限交點x z已經(jīng)超出正概率區(qū)間，當與直線y 1的下限交點為x z 1，即為此區(qū)間x的積分下限。由圖形立即看出z 0為零概率區(qū)間,所以分四段分別計算fz z如下fz z2 z dx0, z 0z2 z dx012z 1or zz dx 2【例20】X, Y的概率密度f x, y3x, 00,x 1,0other，求 Z X Y 的 fz z解

43、:fz zf x, z x dx3xdx但由于上述積分區(qū)域不是正規(guī)區(qū)域,x的積分區(qū)間必須依照z的不同范圍分段進行按照平1，從而移法，先作基準直線x y 0 ,然后將該基準直線平移到x 1邊界點得直線方程x y得到z在x軸上的關于正概率區(qū)間的二個分界點 zi 0, Z21,。其中，當0 z 1時，又把基準直線任意平移到該區(qū)間，得方程x y z，該直線與x軸的交點為x z，即為此區(qū)間x的積分下 限（上限為1），因為此時y為變區(qū)間，即0yx 0xzx 0 z x x z。由圖形立即看出z 0為零概率區(qū)間，fZ z0，z1為全概率區(qū)間，F(xiàn)Z z 1 fZ z 0。所以分三段分別計算fz z如下0,z0

44、 or z 1fZ z3xdx1323xdx-1z2 ,0 z 1z2陳氏第7技【商模型旋轉(zhuǎn)法】。秘訣如下Y商模型中，已知兩個隨機變量的分布密度求它們的商函數(shù) Z -的分布函數(shù)密度fz z，如Y果積分區(qū)間是分段的，我們必須將 z分割成不同的積分區(qū)間，再利用平面積分手段或商模型公式Z Xfz z f zy, y y|dy。問題關鍵和難點就是如何確定積分區(qū)間，為此，作者創(chuàng)立了平移法可以方便而清晰地解決這類題型。旋轉(zhuǎn)法秘訣如下1首先畫出基準直線-1 ；y2把基準直線旋轉(zhuǎn)到正概率區(qū)域的全部邊界點上，從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線，該直線與x軸的交點就是x方向的積分區(qū)間分段點，與y軸的交點就是y方向的積分區(qū)Y間分段點1, 0 y 10, other【例21】設X, Y獨立，都服從U 0, 1，求Z解: fx x 1, 0 x 1,fY y0, otherfz zf zy, y y dy