圓錐曲線離心率題型

1、圓錐曲線的離心率題型解析華中師大一附中博樂(lè)分校833400劉族剛 朱新婉圓錐曲線的的離心率 e是反映圓錐曲線幾何特征扁平或開(kāi)闊程度的一個(gè)數(shù)量,是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì),也是圓錐曲線“統(tǒng)一定義的紐帶,在全國(guó)各地歷年高考命題中,有關(guān)圓錐曲線離心率的試題屢見(jiàn)不鮮,因而掌握?qǐng)A錐曲線離心率的概念、題型與求解方法,不僅是穩(wěn)固根底知識(shí)、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想及學(xué)好解析幾何的需要,也完全符合“備考從高一高二開(kāi)始抓的教育理念.本文以離心率的內(nèi)容為主體,以題型解析為載體,小結(jié)出求解離心率問(wèn)題的策略和方法,希望對(duì)大家的解題 有所幫助.類型一：離心率的定義P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且例12021湖北卷R,F2是橢圓和雙曲線的公

2、共焦點(diǎn),F1PF2 600,那么橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為分析： PFiF2既是橢圓的焦點(diǎn)三角形,也是雙曲線的焦點(diǎn)三角形,由于焦點(diǎn)三角形中的邊長(zhǎng)蘊(yùn)含離心率所需的“ 2a,2c,所以利用圓錐曲線定義、離心率的定義是解答此題的切入點(diǎn)a2,橢圓、解析：不妨設(shè) PF1m, PF2 n,m n,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2a1 , m n 2a2,雙曲線的離心率分別為 e,e2,那么由橢圓、雙曲線的定義, 所以1 1 應(yīng).應(yīng)選A.平方得 m2 2mn n2 4a122mn4a22又由余弦定理得 m2 mn n2 4c2由消去 mn得a12 3a22 4c2,即里2ei32e

3、24.2 2再據(jù)平面向量不等式a b2 a b的坐標(biāo)表示得,11、2“113、2 1、,1()(1)(1 、)(7e e2e 3 e23 e1e2163e1 e23c評(píng)汪：圓錐曲線的離心率的定乂e 是解決離心率問(wèn)題的根底,值得注意的是,橢圓離心率ae (0,1)；拋物線的離心率e 1；雙曲線的離心率 e (1,).類型二：離心率的幾何意義22例2雙曲線C：與 烏 1(a 0,b 0)的離心率為2,假設(shè)直線l : y kx 3與曲線C的左右 a2 b2支各一個(gè)交點(diǎn),求k的取值范圍.分析：雙曲線離心率 e決定了雙曲線的分布與形狀,另外直線 l : y kx 3中k的幾何意義明顯(直 線陡峭程度),

4、故此題可用數(shù)形結(jié)合求解.22bI解析：由雙曲線C：與 與 1(a 0,b 0)的離心率為e 2,可得- Je2 1 J3 , a ba依離心率的幾何意義,雙曲線的兩支應(yīng)夾在兩漸近線yJ§x之間且無(wú)限接近(如圖),要使過(guò)點(diǎn)(0,3)且斜率為k的直線l : y kx 3與曲線C的左右支各一個(gè)交點(diǎn),直線 l必須繞(0,3)在兩直線 yV3x 3之間轉(zhuǎn)動(dòng),所以k ( J3,J3).評(píng)注：離心率e是圓錐曲線的特征數(shù),它確定了圓錐曲線形狀、分布等(做雙曲線先畫漸近線),借助這一幾何意義,往往為“數(shù)形結(jié)合解題帶來(lái)便利.聰明的讀者,k在什么范圍時(shí),直線l與雙曲線C的右支(或左支)有兩個(gè)交點(diǎn)呢？類型三

5、：求離心率的值22例3設(shè)雙曲線 烏心 1(a b 0)的半焦距為c,直線l過(guò)(a,0),(0,b)兩點(diǎn),假設(shè)原點(diǎn)到直線l的 a2 b2.3距離為 _c,求雙曲線的離心率 e.4分析：求圓錐曲線的離心率,一般要根據(jù)條件(如等量關(guān)系、幾何圖形的特征等)建立關(guān)于a,b,c的等量關(guān)系式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e的方程求解.x解析：.直線l過(guò)(a,0),(0,b)兩點(diǎn),直線l的方程為-a1,即成 ay ab 0, b 點(diǎn)一由于原點(diǎn)到直線l的距離為c ,所以abL理如c4Ja2b2 c 4那么4ab屈2,一-22又由于b ca2且離心率e ,a所以3e416e216 0,那么 e2244或e ,由于a3b 0,

6、所以e1馬 72,即e臣或e 2 (舍).a3評(píng)注：有沒(méi)有注意到條件 a b 0,涉及到最終答案的取舍,也是能不能準(zhǔn)確求解此題的關(guān)鍵類型四：求離心率的范圍例4 2021浙江2如圖,設(shè)橢圓筆 y21(a 1)a(I)求直線ykx 1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)(用 a,k表示)(n)假設(shè)任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍分析：求圓錐曲線的離心率取值范圍,就是列出關(guān)于a,b, c,e的不等關(guān)系,再解不等式y(tǒng) kx 1解析：(I)設(shè)直線y kx 1被橢圓截得的線段為 AP,由x22 得y 1 a9 999一2a k(1 a k )x 2a kx 0,故 x0 , x2

7、1 a例5 (2021江西)如圖,雙曲線C：% y2ak2因此APX21 a2k2P,Q滿足(II )假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對(duì)稱性可設(shè) y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)AP AQ .記直線AP,AQ的斜率分別為k,k2,且臨*2 0,且k由(I )知,AP2a2k| .22a2 k2|AQ 1 1 1a na2k221,2a2 |k2故"寸2a2k11 k221a？'1kJ'所以(kk22)1 k12k22 a2(2a2)ki2k22°,由于k1,k20,且 ki2k2,礙 1kk22 a2(2a2)k12k220,I 1因此(土 k11)(古1) 1

8、22a (a2).由于1k111)k21) 1,所以關(guān)于k1, k2的方程有解的充要條件是1a2(a2 2)1,2 .因此,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為評(píng)注:般地,建立關(guān)于 a,b,c的不等式的方法主要有：利用題設(shè)指定條件、圓錐曲線的定義、圓錐曲線的方程(如參數(shù)方程)、圓錐曲線的性質(zhì)(如范圍)二次方程的判別式、不等式等.類型五：與離心率有關(guān)的定值1(a 0)的右焦點(diǎn)F,點(diǎn)A, B分別在曲線C的兩.為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求雙曲線C的方程;條漸近線上, AF x軸,AB OB, BF / OA (過(guò)曲線C上一點(diǎn)P(xo,yo)(yo 0)的直線l :XnX二T y

9、.y 1與直線AF相交于點(diǎn) M ,與直線 a3一相父于點(diǎn)N,證實(shí)點(diǎn)P在曲線C上移動(dòng)時(shí),2MFNF恒為定值,并求此定值、,MF ,分析：此題第二問(wèn)P(xo,y0)(y0 °)的位置不影響 的值,宜米用直接證實(shí)法,即先求出M, NNF的坐標(biāo),用距離公式代入檢驗(yàn)即可.值得提醒的是直線l: x°xy°y 1為雙曲線過(guò)點(diǎn)P的的切線,一,、3而直線x 一為雙曲線的一條“準(zhǔn)線2解析：(1)設(shè)F(c,0),由于b 1,所以c <a2 3 11 1直線OB萬(wàn)程為y x,直線BF的萬(wàn)程為y -(x aa又直線OA的方程為y 1x,貝u A(c,C), kAB -.aaac cc

10、),解得B(一,),2 2a31 .又由于AB OB,所以一(一) a a1,解得a2- -、一 x23,故雙曲線C的方程為3y2 1.(2)由(1)知aJ3,那么直線l的方程為電3y°y1,即 yx0x 33 y0- 十一 ,2x0 3由于直線AF的方程為x 2,所以直線l與AF的交點(diǎn)M (2,),3y.直線l與直線x3 一的父點(diǎn)為 233 2x0N(-,2-2 3y03-)2MF |2 NF_ 24(2x.3)9y.2 (x.2)2代入上式得2MF2NF_ 24(2x0 3)9y02 (x02)2MFNFe.評(píng)注：與圓錐曲線離心率有關(guān)的定值問(wèn)題有很多,其中教材有經(jīng)典例題,那就是圓

11、錐曲線的“統(tǒng)一定義.依據(jù)統(tǒng)一定義可得：橢圓22xy1(.kC21 (abab0上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn) Fic,0或左F2 c,0的距離與到直線2a 右準(zhǔn)線或xc2a左準(zhǔn)線的距離之比為橢圓離心率 e ;c雙曲線0,b 0上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)Fic,0或左F2 c,0的距離與到直右準(zhǔn)線或xa2左準(zhǔn)線的距離之比為離心率 e .c圓錐曲線的離心率問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的一類典型問(wèn)題,一般要涉及到解析幾何、平面幾何、代數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),往往綜合性強(qiáng)且方法靈活,從上可以看出,解決圓錐曲線離心率問(wèn)題,定義是根底、運(yùn)算是關(guān)鍵、建立關(guān)于 a,b,c間的關(guān)系等或不等是解題突破口.只有審清題意,認(rèn)真推演,才能準(zhǔn)應(yīng)對(duì)練習(xí)2 x1、20

12、21天津設(shè)橢圓aa> J3的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.1OF_1_OA3eFA其中.為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.求橢圓的方程.2、2021山東雙曲線E :22與七1(a Qba b0,假設(shè)矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且 2 AB 3BC,貝U E的離心率是 3、斜率為1的直線l與雙曲線2 x2 a2 y b21(a 0, b 0)相交于A, B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為C1,3,求雙曲線C的離心率.4、22設(shè)F,F2為橢圓C： 七 a b1( a0的兩焦點(diǎn),假設(shè)上存在點(diǎn)P,使得 F1PF290°,求(0-),以 A,B 為2橢圓離心率的范圍.5如圖,在等腰梯形 ABCD中,AB/CD,且AB 2AD,設(shè) DAB焦點(diǎn),且過(guò)C,D的雙曲線的離心率為 e ,以C,