余弦定理優(yōu)質(zhì)課

1、余弦定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容 分析人教版普通高中課程標準實驗教科書必修（五）（第2版） 第一章解三角形第一單元第二課余弦定理。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前， 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、 向量基本知識和正弦定理 有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進一步的認識。 在此基礎(chǔ) 上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興 趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，看待與分析 問題不深入， 知識的系統(tǒng)性不完善， 使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的 探求上有一定的難度， 在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、 表現(xiàn)形式的數(shù) 學(xué)美時，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情； 從具體問題中抽象出數(shù) 學(xué)的本質(zhì)，

2、應(yīng)用方程的思想去審視， 解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點。三、設(shè)計思想 新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地 理解基本結(jié)論的本質(zhì)， 體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程， 力求對現(xiàn)實世界 蘊涵的一些數(shù)學(xué)模式進行思考， 作出判斷； 同時要求教師從知識的傳 授者向課堂的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行 者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生 的互動合作， 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力， 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和 創(chuàng)新意識， 深刻地體會數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用， 激發(fā)學(xué)生探究數(shù) 學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能。四、教學(xué)目標1、知識與技能（ 1）掌握余弦定理的證明方法，牢記

3、公式 .（ 2）掌握余弦定理公式的變式，會靈活應(yīng)用余弦定理 .2、過程與方法（ 1）使學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S .(2) 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.(3) 培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.3、情感態(tài)度價值觀經(jīng)歷余弦定理的推導(dǎo)過程，感受數(shù)學(xué)思維的嚴謹美，通過比較余 弦定理公式感受數(shù)學(xué)公式的對稱美，通過比較勾股定理以及余弦定理 體會一般與特殊的關(guān)系.五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時的思路。六、教學(xué)過程：教 學(xué) 環(huán) 節(jié)合作探究活動學(xué)情分析與設(shè) 計意圖知 識 回 顧1、一般三角形全等的四種判斷

4、方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容bc ，sin A sin A sin C主要解決哪幾類問題的三角形？(學(xué)生答)回顧舊知，防止 遺忘創(chuàng) 設(shè) 引 入1、在厶 ABC 中 a=8, b= 5,Z c= 60°，你 能求c邊長嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實踐作圖方面進行估 計判斷。學(xué)生可能比較 茫然，幫助學(xué)生 分析相關(guān)內(nèi)容， 從多角度看待 問題，用實踐進 行檢驗。提 出 問 題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、 坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處 理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。引導(dǎo)學(xué)生從相 關(guān)知識入手，選 擇簡潔的工具。合 作 探 究利用向量法推導(dǎo)余

5、弦定理：”如圖：設(shè) cb a,cA b, ab cC-a由三角形法則有cab （等式關(guān)系的建立）+ 2 * 1 *cc c a b a br- * * _ -s*a a b b 2a b2 2a b 2abcosc即： ABC中:c2 a2 b2 2abcosc同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，2 2 2 2 2 2a b c 2bccos A, b a c 2a cosB學(xué)生對向量知 識可能遺忘，注 意復(fù)習(xí)；在利用 數(shù)量積時，角度 可能出現(xiàn)錯誤， 出現(xiàn)不同的表 示形式，讓學(xué)生 從錯誤中發(fā)現(xiàn) 問題，鞏固向量 知識，明確向量 工具的作用。同 時，讓學(xué)生明確 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化 思想：化未知為 已知。歸 納

6、 概 括余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA22 2b a c 2accosB222cab 2abcosC三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平 方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩 倍。（引導(dǎo)學(xué)生觀察特征并記憶）知識歸納比較， 發(fā)現(xiàn)特征，加強 識記結(jié) 構(gòu) 分 析觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的 具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A, b與B, C與c之 間的對應(yīng)表述，同時發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余 弦定理中同時出現(xiàn)使學(xué)生明確對 應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決 “邊、角、邊” 問題知 識k2 2 2余弦定理的推論：cosA -_C_L 2bc解決“邊、邊、 邊”2 2 2 2 2 2系cosB 3Cbc

7、osC3bC問題2ac2ab用準確的量化方關(guān)系去解決問法怎樣準確地解答引入中的兩個問題？題，用邊長去判應(yīng)怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？斷三角形形狀，用勾股定理是余弦定理特例。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識例 1:在厶ABC 中，已知 b = 60cm, c= 34cm,求解問題加強A = 41°，求解三角形（角度精確到1°,邊計算器的運算知功能，同時，鞏識長精確到1cm）固好正弦定理，應(yīng)例2:在厶ABC中，已知 a= 134.6cm, b =余弦定理知識，用發(fā)現(xiàn)兩種知識87.8cm, c= 161.7cm,解三角形（角度精確到方法在解三角1 ')形中的綜合應(yīng)1 )用。6例 3:已

8、知 ABC 中 a 3,b V3,sinA 求 c3繼續(xù)深化正弦、邊長余弦定理，尤其是余弦定理的分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)知方程思想求解識(2)應(yīng)用余弦定理a2 b2 c2 2bccosA問題優(yōu)越于余深弦定理。并讓學(xué)化構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。生初步發(fā)現(xiàn)（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦“邊、邊、角”問題解法，為下定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。具有優(yōu)越性。練 習(xí) 檢 測1、某人站在山頂向下看列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第輛車與第一輛車的距離 di與第二輛車的距離d2之間關(guān)系為()A: d1>d2B: d1=

9、d2C: di< d2D:大小不確定2、銳角 ABC中b= 1, c= 2,貝S a取值為( )A:(1,3)B:(1J3 )C：(蟲,2)d：( V3, 75)3、在厶ABC中若有acosA bcosB ,你能判斷 這個三角形的形狀嗎？若acosB bcosA呢？用練習(xí)去鞏固 所學(xué)知識，使學(xué) 生逐步形成良 好的知識結(jié)構(gòu)， 加強數(shù)學(xué)知識 應(yīng)用能力的培 養(yǎng)。課 堂 小 結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？ 各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識和方法？通過知識回顧， 使學(xué)生各自體 會收獲。板 書 設(shè) 計1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理

10、，比較它們理解知識作 業(yè) 設(shè) 計1、討論余弦定理的其它解法設(shè)計思路。2、第11頁A組3、4題鞏固知識 多角度看待問 題七、教學(xué)反思本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計時既要兼顧 前后知識的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點， 將新舊知識逐漸 地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、 結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)， 才 能更好地應(yīng)用求解問題。本課教學(xué)設(shè)計力求在型（模型、類型），質(zhì) （實質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達到教學(xué)效果。本課之前 學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理 等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了

11、較多的處理工具，也使余弦定 理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計中抓住前后知 識的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認識 數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決一些實際問題。學(xué) 生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在 于學(xué)生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看 待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學(xué)生進行 示范引導(dǎo)，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高， 幫助學(xué)生建立自 己的良好知識結(jié)構(gòu)。點評：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理 的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦

12、法。李 老師從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，弓I發(fā)認知沖突，激起學(xué) 生的求知欲望，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；在定理證明的教學(xué)中，引 導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討 論，注意分析思路，揭示蘊含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最后引導(dǎo)學(xué)生用 向量知識推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個等式和三個推論之后，又對知識進行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識記，同時也指出了 勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)， 學(xué)習(xí)命題的重要目的是 應(yīng)用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計 中的例 1、例 2 是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解問題，鞏固正弦 定理、余弦定理知識。例 3 是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可 用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了