余弦定理優(yōu)質(zhì)課

1、余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容 分析人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修（五）（第2版） 第一章解三角形第一單元第二課余弦定理。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前， 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、 向量基本知識(shí)和正弦定理 有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。 在此基礎(chǔ) 上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興 趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析 問題不深入， 知識(shí)的系統(tǒng)性不完善， 使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的 探求上有一定的難度， 在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、 表現(xiàn)形式的數(shù) 學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情； 從具體問題中抽象出數(shù) 學(xué)的本質(zhì)，

2、應(yīng)用方程的思想去審視， 解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。三、設(shè)計(jì)思想 新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地 理解基本結(jié)論的本質(zhì)， 體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程， 力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界 蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考， 作出判斷； 同時(shí)要求教師從知識(shí)的傳 授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行 者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生 的互動(dòng)合作， 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力， 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和 創(chuàng)新意識(shí)， 深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用， 激發(fā)學(xué)生探究數(shù) 學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能（ 1）掌握余弦定理的證明方法，牢記

3、公式 .（ 2）掌握余弦定理公式的變式，會(huì)靈活應(yīng)用余弦定理 .2、過程與方法（ 1）使學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S .(2) 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.(3) 培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.3、情感態(tài)度價(jià)值觀經(jīng)歷余弦定理的推導(dǎo)過程，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)美，通過比較余 弦定理公式感受數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱美，通過比較勾股定理以及余弦定理 體會(huì)一般與特殊的關(guān)系.五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。六、教學(xué)過程：教 學(xué) 環(huán) 節(jié)合作探究活動(dòng)學(xué)情分析與設(shè) 計(jì)意圖知 識(shí) 回 顧1、一般三角形全等的四種判斷

4、方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容bc ，sin A sin A sin C主要解決哪幾類問題的三角形？(學(xué)生答)回顧舊知，防止 遺忘創(chuàng) 設(shè) 引 入1、在厶 ABC 中 a=8, b= 5,Z c= 60°，你 能求c邊長嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實(shí)踐作圖方面進(jìn)行估 計(jì)判斷。學(xué)生可能比較 茫然，幫助學(xué)生 分析相關(guān)內(nèi)容， 從多角度看待 問題，用實(shí)踐進(jìn) 行檢驗(yàn)。提 出 問 題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、 坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處 理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。引導(dǎo)學(xué)生從相 關(guān)知識(shí)入手，選 擇簡(jiǎn)潔的工具。合 作 探 究利用向量法推導(dǎo)余

5、弦定理：”如圖：設(shè) cb a,cA b, ab cC-a由三角形法則有cab （等式關(guān)系的建立）+ 2 * 1 *cc c a b a br- * * _ -s*a a b b 2a b2 2a b 2abcosc即： ABC中:c2 a2 b2 2abcosc同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，2 2 2 2 2 2a b c 2bccos A, b a c 2a cosB學(xué)生對(duì)向量知 識(shí)可能遺忘，注 意復(fù)習(xí)；在利用 數(shù)量積時(shí)，角度 可能出現(xiàn)錯(cuò)誤， 出現(xiàn)不同的表 示形式，讓學(xué)生 從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn) 問題，鞏固向量 知識(shí)，明確向量 工具的作用。同 時(shí)，讓學(xué)生明確 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化 思想：化未知為 已知。歸 納

6、 概 括余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA22 2b a c 2accosB222cab 2abcosC三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平 方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩 倍。（引導(dǎo)學(xué)生觀察特征并記憶）知識(shí)歸納比較， 發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng) 識(shí)記結(jié) 構(gòu) 分 析觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的 具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A, b與B, C與c之 間的對(duì)應(yīng)表述，同時(shí)發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余 弦定理中同時(shí)出現(xiàn)使學(xué)生明確對(duì) 應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決 “邊、角、邊” 問題知 識(shí)k2 2 2余弦定理的推論：cosA -_C_L 2bc解決“邊、邊、 邊”2 2 2 2 2 2系cosB 3Cbc

7、osC3bC問題2ac2ab用準(zhǔn)確的量化方關(guān)系去解決問法怎樣準(zhǔn)確地解答引入中的兩個(gè)問題？題，用邊長去判應(yīng)怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？斷三角形形狀，用勾股定理是余弦定理特例。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)例 1:在厶ABC 中，已知 b = 60cm, c= 34cm,求解問題加強(qiáng)A = 41°，求解三角形（角度精確到1°,邊計(jì)算器的運(yùn)算知功能，同時(shí)，鞏識(shí)長精確到1cm）固好正弦定理，應(yīng)例2:在厶ABC中，已知 a= 134.6cm, b =余弦定理知識(shí)，用發(fā)現(xiàn)兩種知識(shí)87.8cm, c= 161.7cm,解三角形（角度精確到方法在解三角1 ')形中的綜合應(yīng)1 )用。6例 3:已

8、知 ABC 中 a 3,b V3,sinA 求 c3繼續(xù)深化正弦、邊長余弦定理，尤其是余弦定理的分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)知方程思想求解識(shí)(2)應(yīng)用余弦定理a2 b2 c2 2bccosA問題優(yōu)越于余深弦定理。并讓學(xué)化構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。生初步發(fā)現(xiàn)（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦“邊、邊、角”問題解法，為下定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。具有優(yōu)越性。練 習(xí) 檢 測(cè)1、某人站在山頂向下看列車隊(duì)向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第輛車與第一輛車的距離 di與第二輛車的距離d2之間關(guān)系為()A: d1>d2B: d1=

9、d2C: di< d2D:大小不確定2、銳角 ABC中b= 1, c= 2,貝S a取值為( )A:(1,3)B:(1J3 )C：(蟲,2)d：( V3, 75)3、在厶ABC中若有acosA bcosB ,你能判斷 這個(gè)三角形的形狀嗎？若acosB bcosA呢？用練習(xí)去鞏固 所學(xué)知識(shí)，使學(xué) 生逐步形成良 好的知識(shí)結(jié)構(gòu)， 加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí) 應(yīng)用能力的培 養(yǎng)。課 堂 小 結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？ 各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？通過知識(shí)回顧， 使學(xué)生各自體 會(huì)收獲。板 書 設(shè) 計(jì)1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理

10、，比較它們理解知識(shí)作 業(yè) 設(shè) 計(jì)1、討論余弦定理的其它解法設(shè)計(jì)思路。2、第11頁A組3、4題鞏固知識(shí) 多角度看待問 題七、教學(xué)反思本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要兼顧 前后知識(shí)的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)， 將新舊知識(shí)逐漸 地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識(shí)系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、 結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)， 才 能更好地應(yīng)用求解問題。本課教學(xué)設(shè)計(jì)力求在型（模型、類型），質(zhì) （實(shí)質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達(dá)到教學(xué)效果。本課之前 學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理 等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了

11、較多的處理工具，也使余弦定 理的探討有了更加簡(jiǎn)潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后知 識(shí)的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問題。學(xué) 生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在 于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)不夠完善。因此本課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看 待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行 示范引導(dǎo)，將舊知識(shí)與新知識(shí)進(jìn)行重組擬合及提高， 幫助學(xué)生建立自 己的良好知識(shí)結(jié)構(gòu)。點(diǎn)評(píng)：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理 的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦

12、法。李 老師從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，弓I發(fā)認(rèn)知沖突，激起學(xué) 生的求知欲望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；在定理證明的教學(xué)中，引 導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討 論，注意分析思路，揭示蘊(yùn)含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最后引導(dǎo)學(xué)生用 向量知識(shí)推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個(gè)等式和三個(gè)推論之后，又對(duì)知識(shí)進(jìn)行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識(shí)記，同時(shí)也指出了 勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)， 學(xué)習(xí)命題的重要目的是 應(yīng)用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計(jì) 中的例 1、例 2 是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問題，鞏固正弦 定理、余弦定理知識(shí)。例 3 是已知兩邊一對(duì)角，求解三角形問題，可 用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了