2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試天津卷

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）理科數(shù)學(xué)參考答案號(hào)位座封號(hào)場(chǎng)考不號(hào)證考準(zhǔn)裝名姓卷 此、選擇題（1）B(2) C(3) B(4) A（5）D(6) A（7） C5分，滿分30分.(8) A、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.母小題（9）4-5 (10)-1 (11)212（12）121(13)-4(14) (4 ,8)答案解析一.選擇題（1）解析 由題意可得:結(jié)合交集的定義可得:AI (eR B) =0 VX c1.故選 B（2）解析 繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值,IX + y = 5聯(lián)立直線方程：y*y=1據(jù)此可知目

2、標(biāo)函數(shù)的最大值為:，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A（2,3 ）,Zax =3x + 5y =3咒2+5咒3 = 21.故選 C（3）解析結(jié)合流程圖運(yùn)行程序如下:首先初始化數(shù)據(jù)：N =20,i =2,T =0,20= -=10，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行T=T+1=1, i=i+1=3，此時(shí)不滿足i5；20盲，結(jié)果不為整數(shù)，執(zhí)行i =i +1=4，此時(shí)不滿足i 5；=20=5，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行4T=T+1=2 , i=i+1=5，此時(shí)滿足 i X 5 ；跳出循環(huán)，輸出T =2.故選B.(4)解析 絕對(duì)值不等式|X-1|x1J0x12 2 21 1 據(jù)此可知| X 2是x1 , b =1n 2 =壬(0,1 ), l

3、og = log 2 3 log2e ,2 3據(jù)此可得：cab.故選D.(6)解析由函數(shù)圖像平移變換的性質(zhì)可知:將 y =sin 2x+n的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后的解析式為:10y =sin 2 lx= sin2x.L I 10丿5nn則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：2k n才2x2kn+才(“ Z ),nn即 kn-上 xkn+衛(wèi)(k 亡 Z ),44令k=1可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：乎普函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：2kn+ n2心心，k壬Z),即 kn+n xkn + 曲化 Z ）,44令k =1可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為:5 n 7 n_ 廳刁.故選A.解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（c,0 心0），

4、貝y Xa =Xb =c.2 2,c y由p -p =1可得:a b不妨設(shè)：A|c, ,B|c,I a J Ib2雙曲線的一條漸近線方程為:bx ay = 0，據(jù)此可得:三,d2lbc+b2bc + b22bcc= 2b=6，貝U b = 3,b2 =9，雙曲線的離心率:據(jù)此可得：a2 =3，則雙曲線的方程為2 2丄=1 .故選c.9(8)解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,0，C0- I，Di點(diǎn) E 在 CD 上，貝y DE =aDC(0a1 )，設(shè) E =(x, y ),y=A I223. y =人2據(jù)此可得：E(品、AI273 3 J,_扎2 2丿，且:1 忑徑-73,3/V22丿由數(shù)

5、量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，AE ”BE =A -I22丿整理可得：AE BE =?(4幾24-2a+2)(0a1 ),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)2時(shí)，忑晁取得最小值21.416故選A.二.填空題(9)解析由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得:6+7i (6+7i )t1-2i) 20 5i / .1 +2i (1+2i!(1-2i)5(10)解析 結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有:stx-冷x2c5r5_t32令5-r =2可得：r =2，貝U x的系數(shù)為:2(Ug.(11)解析由題意可得，底面四邊形EFGH為邊長(zhǎng)為的正方形，其面積2ZSefgh =頂點(diǎn)到底面四邊形EFGH的距離為由四棱錐的體積公式可得:VM _EFG

6、Hd J21= X32 12(12)解析 由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(X1)和=1，直線的直角坐標(biāo)方程為:y-3 = (x+1 )，即卩 y + x-2 =0,則圓心到直線的距離：d =1+0-272由弦長(zhǎng)公式可得:AB1 V2則 Sabc =XV2X2 2(13)解析 由 a 3b +6 =0 可知 a 3b =-6，1且: 2a + =2a +2；b，因?yàn)閷?duì)于任意x,2X A0恒成立,結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：2a + 2 3二2= 2丘 =-當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)bb4，即? -3時(shí)等號(hào)成立.a3b=-6b=11 1綜上可得2匕的最小值為-.(14)解析 分類討論：當(dāng)x0時(shí)，方程2f(x)=ax 即

7、 x +2ax + a=ax，整理可得：X2 =-a(x+1),很明顯X=1不是方程的實(shí)數(shù)解，則x+1當(dāng)X aO時(shí)，方程f(X)=ax即-x2+ 2ax-2a =ax,整理可得：x2=a(x-2),很明顯x=2不是方程的實(shí)數(shù)解,令 g(x)=,x 0觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是(4,8卜三、解答題(15)命題意圖 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.解析(1)在 ABC 中，由正弦定理L，可得 bsinA=asinB，又由 bsin A=acos(B-)sin A sinB6得 a sin B

8、=acos(B -n)，即 sin B =cos(B n)，可得 tan B =.又因?yàn)?B 忘(0 , n，可得6 6()在 ABC 中，由余弦定理及 a =2, c=3, B =，有 b2 =a2 +c2-2accosB =7，故3b=77 .,nTa2由 bsin A =a cos(B ，可得 sin A =.因?yàn)?a c c，故 cosA .6J7774J31因此 sin 22sin AC。如,cos2A =2cos2 A -r .所以，si n(2 A _B) =si n 2 AcosB cos2 As in B一丄二33727214(16)命題意圖本小題主要考查分層抽樣、離散型隨機(jī)

9、變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.解析(I)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3 : 2 : 2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.(n)( i )隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0, 1, 2, 3.P( X =k)=Ck c34 3 3 (k=0/IZ3).C7所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P丄1228J-3535353511218412隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望以)=0丄+1咒上+2咒一+3天上=X353535357(ii)設(shè)事件取的3人中,由(i)知,B為

10、抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有 2人”事件C為 抽 睡眠充足的員工有 2人，睡眠不足的員工有 1人”則a = BUc，且B與C互斥,(n)依題意，可得 BC =(1,0,0 ), BE =(1, 2 ,2),CF =(0,1,2 )P(B) =P(X=2), P (C) = P(X =1),故 P( A) = P(bUc)= P(X =2) +P( X =1) =- 所以，事件A發(fā)生的概率為6(17) 命題意圖本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.解析 依題意

11、，可以建立以 D為原點(diǎn)，分別以DA，DC , Dg的方向?yàn)閄軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得D(0,0,0), (2,0,0),B, 2,0), C0,2,0),E 2,0,2), (01,2),G( 0,0,2),(。，釘)，(10,2)y2).(I)證明：依題意 DC= ( 0, 2, 0), DE = (2, 0, 設(shè)no =(x, y, z)為平面CDE的法向量,C. .n0 DC =0,J2y =0,川n。“D?=0,即 2x+2z =0,不妨令 z =-,可得 no =(1,0,1 )了 3 )又 MN =2，丿，可得 MN，no =O,又因?yàn)橹本€ MN 2平面

12、CDE，所以MN /平面CDE 則性=n ”BE =0,z）為平面BCF的法向量,設(shè)n （x, y, z）為平面BCE的法向量,IX = 0,即 2y+2z=0,不妨令 z=1 ,可得 n =(0,1,1).設(shè) m =( x, y,則r BC=0即m BF =0,-x =0,y +2z =0,不妨令Z9，可得m = (0,2,1卜因此有sin m, n=匹10所以，二面角E -BC -F的正弦值為迥10（川）設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h（h耳0,2）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0, h卜可得h)易知，DC （0,2,0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，故BPDCcos 0，可得 q =2, 故 an =2n4設(shè)等

13、差數(shù)列bn的公差為d，由a4 = b3中b5，可得b中3d = 4.由氏=b4 + 2 ,可得 3b, +13d =16,從而 b, =1,d =1,故 bn =n.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =2心，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn.(11)(：)由(I),有 SnTn =2 (2k1)=1： 2knk412n1_2，故1-2（ii）證明：因?yàn)?Tk+bk+2)bk =(2-k-2+k+2)k22(k+ 1)(k +2)(k + 1)(k +2)2(k+ 1)(k + 2) k+22“所以，三昭=（泊）+（沁）（一-2心)=22-2.n+2 n+1 n+2=9，又由宀宀2，可得論3b.由已知可得，

14、FB| =a ,AB| =倉(cāng)，由 |FBHAB| =6j2，（19）命題意圖本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.2解析（I）設(shè)橢圓的焦距為 2c,由已知有 冷a可得ab =6，從而a =3,2所以，橢圓的方程為 .+紅=1.94（n）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（Xi, yi）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（X2, y2）.由已知有 丫2 0，故|PQ|sinNAOQ=y1 -y2 .又因?yàn)閥2lAQ % in NOAB，而 NOAB = n，故 I AQ|由4i=sinZAOQ，可得 5% =9y2.|PQ|4由方程組

15、|y =kx, 22194=1,消去x，可得y16kJ9k2 +4 .易知直線AB的方程為x+y -2 =0 ,由方程組H0,消去x，可得y22k k+1.由5y9y2，可得 5 ( k+1)=3丿911，可知當(dāng)X變化時(shí)，h(x), h(x)的變化情況如下表:所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(二,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,畑).(II)證明：由f(x)=axl na，可得曲線y = f(x)在點(diǎn)(xi,f(xi)處的切線斜率為a I na.11由g (X)=，可得曲線y = g(x)在點(diǎn)(X2, g(x2)處的切線斜率為XI n ax2 In a1因?yàn)檫@兩條切線平行，故有axi In a =，

16、即x2a1 (In a)2 = 1.x2 In aIna兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得Ioga X2 +xi +2log 21n a = 0 ,所以xi + g(X2)=In a(III)證明：曲線 y = f (x)在點(diǎn)(,axi)處的切線 h : y-a =&為 Ina (x-xj .1曲線 y =g(x)在點(diǎn)(x2,Ioga x?)處的切線 I2: Ioga x一；(x-x?).x21 n a1要證明當(dāng)a ee時(shí)，存在直線I，使I是曲線y= f (x)的切線，也是曲線 y = g(x)的切線，只需證明當(dāng)a ee時(shí)，存在Xi亡(亠，畑)，X2亡(0,畑)，使得Ii和I2重合.axi In a = 1即只需證明當(dāng)a 2時(shí)，方程組ee時(shí)，關(guān)于x1的方程有實(shí)數(shù)解.A Oln In O1設(shè)函數(shù)u(x)=aX _xaXln a+x +，即要證明當(dāng)aee時(shí),ln a ln a函數(shù)y=u(x)存在零點(diǎn).u(x) =1-(lna)2xax，可知 x-,0)時(shí)，u(x)0 ； xO,址)時(shí),u(x)單調(diào)遞減，又，為1-(1 n a)2x0aXo =0 .12=1a(lna)0，使得 u(X0)= O，即由此可得u(x)在(-XO上單調(diào)遞增，在(x0,址)上單調(diào)遞減.u(x)在xX)處取得極大值U(X0).1因?yàn)?a ee，故 ln(ln a) -1，所