圓錐曲線專題

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)圓錐曲線專題1若曲線ax2 + by2= 1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) a, b滿足（八2 I 2A. a >b1 1B. a<bD. 0<b<aC. 0<a<b 答案 C解析由 ax2 + by2= 1,2 2 得 Y + y = 1,a b因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以11a>b>0,所以0<a<b.2 2x y2.已知橢圓-+話=1（0< b<2）的左，右焦點(diǎn)分別為F1, F2,過F1的直線I交橢圓于 A B兩點(diǎn)，若I BF2| + |AF2|的最大值為5，則b的值是（）A. 1

2、B.乖 C. 3 D.書答案D解祈 由橢圓的方程，可知長半軸長儀=2§由橢圓的定義可知阿1 +汁超|=也=為所以包1=8-如1 +凹鄒由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點(diǎn).的弦中，通徑最短，即誓可求得護(hù)=兀即*=仮3已知直線AB與拋物線y2= 2x交于A, B兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，C是拋物線上的點(diǎn)，且使得 CA- CBX最小值，拋物線在點(diǎn) C處的切線為l，則（）A. CML ABB.CML CBC. CML CAD.CML l答案 D 解析如圖所示,321rCA- 6B= (AM- CM (CM =gM- (bMtam CMhAm- BMh CM- ab,4當(dāng)直線AB 定時，當(dāng)且僅當(dāng)iCM取得

3、最小值時，使得CA- CBX最小值，只有當(dāng)CML I時，I CM取得最小值,故選D.4 .已知拋物線y2= 2px( p>0) , ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) ABC三條邊AB BCAC的中點(diǎn)分別為 M N, Q且M N, Q的縱坐標(biāo)分別為 yi, y2, y 若直線AB, BC AC的斜率之和為一1,1 1 1則一+ +的值為yi y2 y3B.- pP1D環(huán)A.- 12p1C.-P答案 B解析設(shè)A(Xa, yA),B(xb, yB) , C(xc, yc),jyA= 2pxA,則 $yB= 2pXb,2 oyc= 2p xc,三個式子兩兩相減得fyA+ yByA-

4、yyA+ ycyA-yc=2pXa- XbyB+ ycyB-yc=2p=2pXa- XcXb- XcpyiyA - yB= 2pXa-Xb,即 f 2y3yA - yc= 2pXa-Xc,by?yB - yc= 2pxb-xc,P = g = kAB,yixa xb即< y2=xB=kBC，PyA yC= kAC,Xa Xc'y31 1 1 1 所以 y;+y;+y;=p.2 25 .若點(diǎn)0和點(diǎn)F分別為橢圓7+=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則6P吊的最大值為()A. 2B. 3C. 6D. 8 答案 C解析 由題意得鞏一叩)設(shè)點(diǎn)鞏尬腫)則 y8=3(l-X-2<

5、;xo).+ 1)+ It'SjA +jco + 3(1 (0 + 2)2 + 2*2 2x y 2又因?yàn)橐?2<xo<2,所以當(dāng)卞0=2時，莎麗5得最大值，最大值為®故選C6.已知雙曲線C a2b2 = 1(a>0, b>0)的離心率為宀A, B為左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn)，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PAPB,PO的斜率分別為ki,k2,k3,記m kikzks,貝Um的取值范圍為答案(0,2 /2)解析 雙曲線C：2 2x y_a b= 1( a>0, b>0)的離心率為羽，二 e=2=3,二 b=72a,設(shè)Rx, y)

6、 ,點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn),2 2x y二 f- b2= 1,且 x>0, y>0, A, B為雙曲線C的左,右頂點(diǎn)，點(diǎn) 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA PB PO的斜率分別為ki, k2, k3,二 kik2=汽=2，k3= y>0,又雙曲線的漸近線為y =± Q2x,二 0<k3<眾，二 0<m= kik2k3<2/2.2 27 已知A(1,2),耳1,2)，動點(diǎn)P滿足AP1 BP若雙曲線x y= 1.( a>0, b>0)的漸近線與動點(diǎn) P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是 答案 (1,2) 解析 設(shè)P(x，y)，

7、由題設(shè)條件, 得動點(diǎn) P 的軌跡為(X 1)( x + 1) + (y 2)( y 2) = 0, 即X2+ (y 2)2= 1,它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.x2 y2b又雙曲線02 b= 1(a>0, b>0)的漸近線方程為 y=±孑乂，即bx± ay= 0, 由題意，可得 J亍 2>1，即2a>1,pa + b cc所以e=Y2,a又 e>1，故 1<e<2.8 .在直線y = 2上任取一點(diǎn)Q過Q作拋物線x2 = 4y的切線，切點(diǎn)分別為A、B則直線AB恒過定點(diǎn) 答案 (0,2)解析 設(shè) 曲 劄Xxi.心Eg 型 拋物童

8、戔方程變?yōu)閥=護(hù)則戶芬 貝恠點(diǎn)鼻處的切線方程為丁 -腫=務(wù)0 -血】，化簡得3尸guc-沖，同理在點(diǎn)E處的切線方程為尸屛又點(diǎn)兇，-習(xí)的坐標(biāo)滿足這兩個方程，代入得：-2二討一腫，則說明Mg 心處打堆)都滿足方程-2=技一劃 即直線心的方程為$-8扣，因此直線血恒過走點(diǎn)g.已知橢圓C：2 + b2= 1(a>b>0)的離心率為 凈A(a,0),B(0 ,b),C(0,0), OAB勺面積為1.(1)求橢圓C的方程;(1)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線 PA與y軸交于點(diǎn) M直線PB與x軸交于點(diǎn)N求證：|AN BM為定值.c y31解 由已知a=y，2ab= 1.又 a = b + c，解得 a

9、= 2,2x二橢圓方程為4 + y2= 1.b= 1, c =羽.證明由知，A(2,0),B(0,1).2設(shè)橢圓上一點(diǎn) F(xo, yo)，則¥ + y0= 1.yo當(dāng)xoM0時，直線PA方程為y= 廠;(X2),Xo 2-2yo令 x= 0 得 yM= xxo2從而 |BM = |1 yM = h + Xo 2j.直線PB方程為y =專X + 1.令 y=0 得 xN= I AN = |2 Xn| =2 +Xo2yoIBM =2 + yo 11 + xo 2yo 1Ian Xo|xo+ 2yo 2Xo + 2yo 2 ' Xo 2yo 1X2+ 4y0 + 4xoyo 4x

10、o 8yo + 4xoyo xo 2yo + 2|4xoyo 4xo 8yo+ 8I Xoyo Xo 2yo + 2=4.當(dāng) Xo= 0 時，yo= 1, | BM = 2, | AN = 2, I AN 丨 BM = 4.故I AN 丨BM為定值.2 210.已知橢圓M a+ 3 = 1(a>0)的一個焦點(diǎn)為R - hO)，左，右頂點(diǎn)分別為A B經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C, D兩點(diǎn).(1)求橢圓方程; 當(dāng)直線I的傾斜角為45°時，求線段 CD的長; 記 ABDW ABC的面積分別為 S和S2，求| S S2|的最大值.解 因?yàn)镕( 1,O)為橢圓的焦點(diǎn),所以c = 1,又

11、b2= 3,所以a2= 4,2 2所以橢圓方程為x+七=1. 因?yàn)橹本€的傾斜角為 45 °,所以直線的斜率為1,所以直線方程為 y= x + 1, 2ix+J1和橢圓方程聯(lián)立03ly=x+1,消掉 y，得到 7x2 + 8x 8 = O, 8 8所以 = 288>0, X1 + X2= 7, X1X2 = 7, 所以 | CD| = p 1 + k21 X1 X2| = I4.當(dāng)直線I無斜率時，直線方程為x= 1, 此時 D( 1, 2), q 1, I), ABD ABC面積相等，I S S2| = 0.當(dāng)直線I斜率存在(顯然kM0)時，設(shè)C(xi, yi) , D(x2,

12、y2)，設(shè)直線方程為y = k(x + 1)( k豐0),八 2|X-+y-= 1和橢圓方程聯(lián)立i43y = k X +1 ,消掉 y，得(I + 4k2)X2 + 8k2x + 4k2 12= 0.8k2顯然 >0,方程有根，且 X1+ X2= _-p,I+ 4k24k 12X1X2=.此時 IS S2I = 2| y2| |y1| = 2|y2 + y1|=2| k(X2 +1) + k(xi +1)|2.=2| k(X2 + X1)+ 2k| = I?4k：因?yàn)閗M0,上式=丁2<而 + 4|k|2=鼎=5( k=±乎時等號成立)，而 4|k| 所以|S1 S2|的

13、最大值為73.11.如圖所示，拋物線關(guān)于X軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2),A：X1,y1),B(X2,y2)均在拋物線上.(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程; 當(dāng)PA與 PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求y1 y2的值及直線 AB的斜率.解析：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2= 2px(p>0).因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2)在拋物線上，所以22= 2pX1,解得p= 2.故所求拋物線的方程是y2= 4X，準(zhǔn)線方程是x=1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kpA,直線PB的斜率為kpB, 則 kPA=斗(XiM 1) , kPB= j(X2工 1),Xi 1'八X2 1因?yàn)镻A與

14、 PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kpA= kpB.由A：xi, yi)，0X2, y2)均在拋物線上，得2yi= 4xi,y2= 4X2, 所以 一 =1,所以 yi+ 2= (y2+ 2).1y2-14y2-1 所以 yi+ y2=- 4.由一得，yi y2 = 4(X1 X2),yi y24所以 kAB= X；= 1(Xi*X2).3R1 ,-)在橢圓 E上，且 I PFI + IPRI = 4.2 2X y12.已知Fi, F2為橢圓E： -+古=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)a b(1)求橢圓E的方程;過Fi的直線I 1, I 2分別交橢圓E于A, C和B, D,且I

15、1丄I 2,1 1問是否存在常數(shù) 入，使得盒,入，篙；成| AC | BD等差數(shù)列？若存在，求出 入的值，若不存在，請說明理由.解析： I PF| + I P冋=4,2a= 4, a= 2.2 2X y橢圓 E: - +吉=1.4 b32將R1 , 2)代入可得b = 3,2 2橢圓E的方程為牛+ 3 =(2)當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時,11117亠=豐一=；I AC 十丨 BD = 3十 4= 12 ； 當(dāng)AC的斜率k存在且kM0時，AC的方程為y = k(x + 1),2 2代入橢圓方程X +卷=1,并化簡得(3 + 4k2)X2 + 8k2X + 4k2 12= 0.設(shè) A：Xi, yi) , CX2, y2),-8k24k2 12則 X1 + X2= 3W, x