大物習題答案第4章機械振動概要

1、第4章機械振動4.1基本要求1. 掌握描述簡諧振動的振幅、周期、頻率、相位和初相位的物理意義及之間的 相互關系2. 掌握描述簡諧振動的解析法、旋轉矢量法和圖線表示法，并會用于簡諧振動 規(guī)律的討論和分析3. 掌握簡諧振動的基本特征，能建立一維簡諧振動的微分方程，能根據給定的 初始條件寫出一維簡諧振動的運動方程，并理解其物理意義4. 理解同方向、同頻率簡諧振動的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡諧振動合成 的特點4.2基本概念1 簡諧振動 離開平衡位置的位移按余弦函數（或正弦函數）規(guī)律隨時間變化 的運動稱為簡諧振動。簡諧振動的運動方程 X =Acos（©t +W）2.振幅A作簡諧振動的物體的最

2、大位置坐標的絕對值。3.周期T作簡諧振動的物體完成一次全振動所需的時間。4 .頻率V單位時間內完成的振動次數，周期與頻率互為倒數，即5圓頻率 作簡諧振動的物體在2江秒內完成振動的次數，它與頻率的關系為6.相位和初相位簡諧振動的運動方程中項稱為相位，它決定著作簡諧 振動的物體狀態(tài)；t=0時的相位稱為初相位W 7簡諧振動的能量 作簡諧振動的系統(tǒng)具有動能和勢能。彈性勢能Ep =1kx-kA2 cos2 t +9)2 21 1 2 1動能Ek =尹/=丁七人引門艸+叩申） 彈簧振子系統(tǒng)的機械能為E =Ek +E p = -mB2A2JkA2p 2 2&阻尼振動振動系統(tǒng)因受阻尼力作用，振幅不斷減

3、小。9.受迫振動 系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。周期性外力稱為驅動力。10 .共振 驅動力的角頻率為某一值時，受迫振動的振幅達到極大值的現象。4.3基本規(guī)律1 一個孤立的簡諧振動系統(tǒng)的能量是守恒的物體做簡諧振動時，其動能和勢能都隨時間做周期性變化，位移最大時，勢能達到最大值，動能為零；物體通過平衡位置時，勢能為零，動能達到最大值, 但其總機械能卻保持不變，且機械能與振幅的平方成正比。圖4.1表示了彈簧振 子的動能和勢能隨時間的變化（=0 ）。為了便于將此變化與位移隨時間的變化 相比較，在下面畫了 x-t曲線，由圖可以看出，動能和勢能的變化頻率是彈簧振 子振動頻率的兩倍。圖4.1彈簧振子的動能和

4、勢能隨時間的變化2.簡諧振動的合成 若一個質點同時參與了兩個同方向、同頻率的簡諧振動，即Xj = A, cos®t +出）X2 = A2 cos®t +2）合振動仍是一個角頻率為的簡諧振動。合位移 X =X1 +x2 = Acos（®t 中W）合振動的振幅 A= Ja2 +a2 +2AAcosfp2 -督) 合振動的初相tan AsZ+Aa®2A cos/ + A2C0S護2振動加強：AW = ®2®1=k n， (k=0,1 ,2川I)當%-<Pi取其他值時A1+A? >AAiA?A = A + A2A= A1-A2振動

5、減弱：AW =-®1 =±(2k-1) n， (k = 1,2, 311)若兩個振動同方向，但不同頻率，則合成振動不再是周期振動，而是振幅隨時間 周期性變化的振動。若兩振動的振動方向相互垂直，頻率相同。一般情況下，合成振動軌跡為一橢圓。若兩個相互垂直的振動頻率不相同， 且為簡單比關系，則其合成振動的軌跡為封 閉的曲線，曲線的具體形狀取決于兩個振動的頻率比。 若兩頻率比為無理數，則 合成運動軌跡永不封閉。4.4學習指導1 .重點解析簡諧振動的運動學問題是本章的重點內容之一，主要有以下兩種類型:（1）已知簡諧振動表達式求有關物理量（2）已知運動情況或振動曲線建立簡諧振動表達式

6、對于類型（1）主要采用比較法，就是把已知的振動表達式與簡諧振動的一般表 達式X = Acos（鎖+半）加以比較，結合有關公式求得各物理量。對于類型（2）的解題方法，一般是根據題給的條件，求出描述簡諧振動的三個 特征量A、W、0 ,然后將這些量代入簡諧振動的一般式，就得到要求的運動表 達式。其中角頻率0）由系統(tǒng)的性質決定，2 = % 振幅A可由初始條件求出，A = Jxo2 +V ;或從振動曲線上直接看出。初相W有兩種解法，一是解析法，即從初始條件得到tan W =二蟲，這里護有兩個值,圖,這是求初相最簡便且直觀的方法。必須根據條件去掉一個不合理的值；另一是旋轉矢量法，正確畫出振幅矢量如圖4-2

7、所示為某質點作簡諧振動的曲線。求該質點的振動方程。分析：若要求質點的振動方程，必須求出三個特征量 A、W、©。利用振動曲線可以看出A=4x10，m，t=0時刻，質點位移x0=-X2A，t=0.5s時，x=0。利2用這些信息可以確定W、。解：方法1解析法t=0時，xo 一yA，于是有Xo = Acos = -A2由t=0時刻對應的曲線斜率賽v0 = -sin 申 a0圖4-3所以-3兀4為求，先寫出質點振動方程/3x=4xio cost-”巧m將t=0.5s，x=0代入上式得 cos（|-3兀）=0，同樣結合該點的速度方兀向可以得到 氣，所以質點的振動方程是X = 4X10 cosqt

8、 - 方法2:旋轉矢量法由振動曲線可知，t=0時刻，質點位移Xo= J2茶A，質點速度V-0，對應的旋轉矢量如圖4-3所示，由圖可知護=。4t=0.5s時，x=0， vaO。此運動狀態(tài)對應矢量0P,即旋轉矢量由t=0時的OM經0.5s轉至OP，共轉了 一, «4rad L = rad s0.52質點的振動方程是X = 4x10工cos§t 一扌兀血2.難點釋疑疑難點1旋轉矢量自Ox軸的原點O作一矢量A，使它的模等于振動的振幅A，并使矢量A在Oxy平面內繞點0作逆時針方向的勻角速轉動，其角速度與振動的角頻率®相等，這個矢量就叫做旋轉矢量。如圖4-4所示。旋轉矢量A的

9、矢端在Ox軸上的投影點的運動,可表示物體在Ox軸上的簡諧振動。旋轉矢量 A與簡諧振動的物理量之間的對應關系如表 4-1所示。表4-1旋轉矢量A與簡諧振動的物理量之間的對應關系碇轉矢就A簡諧振動苻號或表達式模振幅A角速度圓頻率f三（）時-八與"r夾角初相Pu旋轉周期振動周期T=2卅3i時刻，肉與Ur夾角相位吹+円A在Or上的投影r A CCZ Gi/f + 護丿人端點的連度在dr上的投靈速度2 = n LivAsin+ 飆1)A端點的加速度在上的投席加速度(1 = = Li," Acos Cojf 十旋轉矢量是研究簡諧振動的一種比較直觀的方法， 可以使運動的各個物理量表現得直

10、觀，運動過程顯示得清晰，有助于簡化簡諧振動討論中的數學處理。 但必須 指出，旋轉矢量本身并不在作簡諧振動，而是旋轉矢量端點的投影點在作簡諧振 動。問題：簡諧振子從平衡位置運動到最遠點所需的時間為4嗎？走過該距離的一半所需的時間是T嗎？振子從平衡位置出發(fā)經歷 T時運動的位移是多少?8 8解析從平衡位置運動到最遠點對應旋轉矢量圖4-5中的角度變化是專，所需的振子的速度v = -sAsin(oot+®)不是常數，振子做變速直線運動，所以走過該距離的一半所需的時間不是TAT。振子從平衡位置運動到 -處(0M位置)時，振幅82矢量轉過了 6的角度，即即振子從平衡位置運動到A所用的時間是12，而

11、不是T。振子從-運動到平衡位置所用的時間是At= -036振子從平衡位置出發(fā)經歷 T時運動的位移是8T 兀兀J2X = Acos(© 一)= Acos(-)=A8 242圖4-5疑難點2當一個彈簧振子的振幅加倍時，則振動周期、最大速度、質點受力最大值和振動能量如何變化?解析彈簧振子的振幅一般由初始條件確定。振幅加倍時,振動周期不變，因為對于給定的彈簧振子系統(tǒng)其周期是一定的，即t=2応；最大速度的表達式是從，所以振幅加倍時最大速度也加倍，質點受力最大值為f=kA，所以振幅加倍時受力最大值也加倍；簡諧振動系統(tǒng)中機械能守恒為1E = -kA2，所以振幅加倍2時振動能量變?yōu)樵瓉?倍4.5習題

12、解答4.1兩根輕彈簧和一質量為m的物體組成一振動系統(tǒng),彈簧的勁度系數為ki和k2.串聯后與物體相接，則此系統(tǒng)的固有頻率為十等于(A) J(ki +k2)/m/(2；i)習題4.1圖(B)Jkik2 /( K +k2)m/(2兀)(C)Jm/(ki +k2)/(2；i )(D)解析：正確答案（B） 兩彈簧kl和k2串聯后可等效為勁度系數k的彈簧，設kl和k2的形變量分別為 xi和X2, k的形變量為 X,貝9有 x= Axi+AX2,亦即kik2k = ki +k2據此可確定系統(tǒng)的固有頻率為V喬k而&2兀）4.2把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，使擺線與豎直方向成一微小角度 日，然后

13、由靜止放手任其振動，從放手時開始計時。若用余弦函數表示其運動方程，則該單擺振動的初相為(A) n(B)n /2(D)(C) 0解析：正確答案（C）由已知條件可知其初始時刻的位移正向最大。利用旋轉矢量圖可知,初相相位是0。選（C）4.3用余弦函數描述一簡諧振動。已知振幅為A,周期為T,初相®一專，則振動曲線為:A-尹A<C)-A(D)解析：正確答案（A） 由已知條件可知：初始時刻振動的位移是 y=ACOS（=）=，速度是32v=-©As in （©t+）=©A，方向是向y軸正方向，則振動曲線上t=0時刻的斜率是正值。4.4已知某簡諧振動的振動曲線如圖

14、所示，位移的單位為厘米，時間單位為秒。則此簡諧振動的振動方程為：x =(B)x =(C)x =(D)x =2兀t + -兀)cm32 兀t-一兀)cm3,2、兀t-一兀)cm32兀t + 一兀)cm3解析:正確答案（D）A由振動圖像可知，初始時刻質點的位移是-，且向2y軸負方向運動，下圖是其對應的旋轉矢量圖，由圖可知，其初相位是頭振A2動曲線上給出了質點從二到A的時間是伍其對應的相位從孑變化到，22兀-所以它的角速度© = rad s = rad。13.丄2、兀t +-兀）3簡諧振動的振動方程為x=4.5質點作簡諧振動，已知振動周期為 T，則其振動動能變化的周期是(A)T/4(B)T

15、/2(C)(D) 2解析：正確答案（B）質點作簡諧振動的動能表達式是Ek=1 m2A2sin2®t +®），可見其變化的周期是簡諧振動周期的1。4.6設某人一條腿的質量為 m長為I，當他以一定頻率行走時最舒適，試用一種簡單的模型估算出該人行走最舒適的頻率應為 （A） 士尊（B）（C） A總（D）諸 解析：正確答案（D）它繞端可以將人行走時腿的擺動當作復擺模型，這樣人行走時最舒適的頻率應是復擺的簡諧振動頻率。此人的一條腿可看成是一個質量為 m長為I的細長桿,點的轉動慣量J=1m|2,根據復擺的周期公式厝，這里。故頻率2兀4.7圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線。若這兩個簡諧振

16、動可疊加,則合成的余弦振動的初相為(A)(B)(D)1兀20解析：正確答案（B）由振動曲線可知，這是兩個同振動方向，同頻率簡諧振動，它們的相位差是一A運動方程分別是Xi -Acost）和X2 = Acos（Bt +兀），它們的振幅不同，對于這樣兩個簡諧振動，可用旋轉矢量法，很方便求得合運動方程是X2=fcos©t+巧04.8質點作諧振動，周期為T,當它由平衡位置向x軸負方向運動時,中處到-A處這段路程所需要的時間為(C)(D) 12解析：正確答案（B）2AX軸負方向運動時在一一處221對應的相位是2兀，位移是-A處對應的相位是沢，所以這段路程的相位差是丄沢33已知條件結合對應的旋轉矢

17、量圖，它由平衡位置向對應的時間是一天一=4.9彈簧振子作簡諧振動，已知此振子勢能的最大值為100J，當振子處于最大位移的一半時其動能為(A) 25J(B) 50J(C) 75J(D) 100J解析：正確答案（C）物體做簡諧振動時，振子勢能的表達式是 Ep周期性變化，物體通過平衡位置時，勢能為零,=平2，其動能和勢能都隨時間做動能達到最大值；位移最大時， 勢能達到最大值Ep冷尿，動能為零，但其總機械能卻保持不變。當振子處于 最大位移的一半時其勢能為Ep冷吟y2，所以此時的動能是E-kA-kA-kA-J =100咒3 J = 75J。2 82444.10 一質點作簡諧振動，速度最大值 Vm = 0

18、.05m L，振幅A=2cm若令速度具有正最大值的那一時刻為t=0,則振動表達式為 解析：y =0.02cos(2.5t)m速度的最大值Vm= 0.05m "S，A=0.02m 所以Vm0.05=2.5rads。A 0.02CO 振動的一般表達式X =Acos（eot +護），現在只有初相位沒確定，速度具有正最大值的時位于原點處，由旋轉矢量法可知：W=0,振動表達式為y = 0.02cos（2.5t）m習題4.11圖d、e各狀態(tài)的相解析：0、3233結合旋轉矢量圖，振動曲線上的a、 b、 c、d、e對應旋轉矢量圖上的a'、b、c '、d'、e',所以其

19、相位分別是0、有32cm則該簡諧振動的初34.12 一簡諧振動的旋轉矢量圖如圖所示，振幅矢量長相為，振動方程為解析：X = 0.02cost +=)4振動方程的一般表達式是X = Acos（o）t +旳，是指t=0時對應的相位，也是初相位。由圖可知 t=0時的角度 是一，所以該簡諧振動的初相為-。角速度是。44t代入振動方程可得x=0.02cos（兀t+7）。4.13 一單擺的懸線長l=1.5m,在頂端固定點的豎直下方習題4.12圖0.45m處有一小釘，如圖所示。設擺動很小，則單擺的左右兩方振幅之比的近似值為解析：0.8411左右擺動能量應相同，應有 一m?/A"2 = m22幾22

20、2以習題4.13圖4.14質點按如下規(guī)律沿ox軸作簡諧振動:x=0.1cos（8骯 2+二）m，求此振動的周期、振幅、3相、速度最大值和加速度最大值。解析：本題屬于由運動方程求解簡諧振動各特征量的問題，可采用比較法求解。即將已知的簡諧運動方程與簡諧運動方程的一般形式x = A cos t N）作比較，即可求得各特征量，而速度和加速度的計算與質點運動學中由運動方程求解速度和加速度的計算方法相同。將該簡諧振動的表達式與簡諧運動方程的一般形式X = Acost +護）作比較后可得：周期是0.25s,振幅是0.1m,初相位是，速度最大值Vm =朋=2.51m £二32_2加速度最大值am=

21、63.17m s4.15質點的振動曲線如圖所示。試求:(1)振動表達式(2)點P對應的相位到達點P對應位置所需時間。解析：(1)根據振動曲線對應的旋轉振幅矢量可r/s2知，初相% =，從t=0到t=1s時間內相位差3為心?？垲梗越穷l率為3=罟=號5 ?？傻谜駝颖磉_式為y =0.06cos(-兀t -)m6 3(2)P點相對應的相位為0。 到達P點所需時間為At'=-JI0r= 0.4s4.16 沿x軸作簡諧振動的小球，振幅A=0.04m 速度的最大值Vm= 0.06m L。若取速度為正的最大值時t=0。試求:(1) 振動頻率;(2) 加速度的最大值;(3)振動的表達式。解析：速度的

22、最大值Vm = Ab = 0.06m，A=0.04m尬="006 = 1.5rad s"1，a 0.04Hz 。2 2加速度的最大值a A 0.09m s(3)速度為正的最大值時t=0，由旋轉矢量法可知:JL23y =0.04cos(?t-3)m4.17物體沿x軸作簡諧振動，振幅為6.0cm，周期為2.0s，在t=0時物體位于 3.0cm處且向負x方向運動.求：(1)初相位；(2) t = 1.0s時，物體的位置、t=1.0s代入上式，可得:d2xa =dt2=dAcost +半）=dx把已知量代入上式可得：V =9.42X10°-J_2a = 0.296m s速

23、度和加速度 分析：初相位的確定可采用兩種方法：旋轉矢量法和解析法。解析；（1）取平衡位置為坐標原點，質點的運動方程可寫為x = Acos®t +護）,現在用旋轉矢量法求解初相位。根據初始條件，初始時刻旋轉矢量A的矢端應 在圖中的M位置，所以申=-3 依題意，A=0.06mT=2.0s，則=冷-=dsTT-質點的運動方程可寫為X =0.06cos（；it +二）,3X =0.06cos（兀 +|）m = 0.03m = -3.0cmdx兀V = 一 = 一0.06 花 sin （兀 t +） dt32 1？ ？ V =1.63X10 m s4.18在一平板上放一質量為 m=2kg的物體

24、，平板在豎直方向作簡諧振動，其振 動周期為T=0.5s，振幅A=4cm求：（1）物體對平板的壓力的表達式；（2）平板 以多大的振幅振動時，物體才能離開平板?解析：（1）設平衡位置為坐標原點，向上為正方向，t=0時刻，振動的相位為零,iN1G« = rad s' Ty =0.04cos（4 兀 t）m物體的運動和平板相同。分析物體受力可知:則平板的運動方程是N mg =ma廣I va=_2Acos®日）所以 N = mg +ma2Acos(4;it)根據牛頓第三定律可知物體對平板的壓力與平板對物體的支持力是一對作用力與反作用力。所以物體對平板的壓力N丨-mg+m)2A

25、cos(4；it)(2)當平板振動的最大加速度大于 g時，物體能離開平板A = 0.062m4.19 一彈簧振子由彈性系數為k的輕彈簧和質量為 M的物塊組成，將彈簧的一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質量為m速度為V0的子彈由下而上射入物塊，且留在物塊中。求子彈留在物塊中系統(tǒng)的振幅與周期，并求出系統(tǒng)的總振動能量。'If解析：子彈擊中物塊后系統(tǒng)的角頻率為0=需性，所以周期JM k m。設子彈擊中物塊后系統(tǒng)獲得速率為V，習題4.19圖由動量守恒定律可得 V = v0.M +m子彈進入物塊后，振子的平衡位置改變了，以新的平衡位置為坐標原點O,豎直向下為X軸正方向。以子彈進入物塊的瞬間為計時

26、零點，則t=0時刻，振子的初位移為Xo =-(X2-Xi)，其中Xi為子彈未進入物塊時彈簧的伸長量，Mg =kxi； x?為子彈進入物塊后彈簧的伸長量，(M +m)g =kx2，因此,M +m M m« =-( -gk kk方法一：根據已知條件可得振子的振幅為:A=Jxo2十右J( m )2Z_mg 1+ 財kkV (m + M)g2M +m系統(tǒng)的總振動能量. .22 1 2 . 2 2 eBT罟（1 +念）中2&+侖）方法2:子彈射入物塊后，系統(tǒng)的機械能守恒，所以系統(tǒng)的總振動能量即為初始4 4 1 2 2時刻的振動能量， E =-kx02 +-（m +M ）v2 = m2（

27、 + V0一）222 k m + M4.20 物體質量為0.25 kg，在彈性力作用下作簡諧振動，彈簧的勁度系數k =25 N? m1，如果起始振動時具有勢能0.06J和動能0.02J，求 振幅;(2) 動能恰等于勢能時的位移；(3) 經過平衡位置時物體的速度。解析：物體做簡諧振動時，振子勢能的表達式是Ep =*kx2，動能表達式是Ek二丄口/。其動能和勢能都隨時間做周期性變化，物體通過平衡位置時，勢能2為零，動能達到最大值；位移最大時，勢能達到最大值 EpJkA2，動能為零, P 2但其總機械能卻保持不變?yōu)镋kA2。1(1) 由于振動過程總機械能卻保持不變，0.06+0.02 = x25xA

28、2，A=0.08n。2(2) 動能恰等于勢能時，也就是此時勢能是總機械能的一半，Ep，-kx2 二丄咒丄kA2，X =±A = ±0.057mP 22 22(3)通過平衡位置時，勢能為零，動能達到最大值，此時1 2 ,0.06 +0.02 = xmv2， v =0.8m.24.21 一作簡諧振動的振動系統(tǒng)，振子質量為2kg，系統(tǒng)振動頻率為1000Hz,振 幅為0.5cm，貝U其振動能量是多少？解析：簡諧振動系統(tǒng)的能量E =-mo52A2，把已知量代入上式可得:2E =-m«2A2 =m(2 兀 v)2a2 =986.96J2 24.22 一質點作簡諧振動，其振動方程為 X = 6.0咒10化os§t 一7）（51）。求:（1）當X值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？（2）質點從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為多少?解析:X =±亞X 6.0x10 訃= ±4.24x10, m2T 6t =丄= 2s = o.75s8 84.23 質點同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為X1 =5x10'cos（4t+t）（SI）X2 =3<10sin（4t -才）（SI）畫出兩振動的旋轉矢量圖，并求合振動的振動方程。解析：X3<10sin（4t - 為=3x10, cos（4t