拉氏變換與反變換

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2.5拉氏變換與反變換機(jī)電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用 拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，又能夠單獨(dú)地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡(jiǎn)便的工程數(shù)學(xué)方法。2.5.1拉普拉斯變換的定義如果有一個(gè)以時(shí)間t 為自變量的實(shí)變函數(shù)f t ，它的定義域是t 0 ，那么f t 的拉普拉斯變換定義為F sLf tf t e st dt0(2.10)s 是復(fù)變數(shù)， sj （、 均為實(shí)數(shù)） ，e st稱為 拉普拉斯積分 ； F (s) 是式中，0函數(shù)f (t) 的拉普拉斯變換， 它是一個(gè)

2、復(fù)變函數(shù)， 通常也稱F ( s) 為f (t ) 的象函數(shù)，而稱 f (t)為 F ( s) 的原函數(shù)； L 是表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號(hào)。式（ 2.10 ）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F (s) 。2.5.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換1. 單位階躍函數(shù) 1(t) 的拉氏變換單位階躍函數(shù) 是機(jī)電控制中最常用的典型輸入信號(hào)之一， 常以它作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為0(t0)1(t )(t0)1單位階躍函數(shù) 如圖 2.7 所示，它表示在t0 時(shí)刻突然作用于系統(tǒng)一個(gè)幅值為 1的不變量。單位階躍函數(shù) 的拉氏變換

3、式 為F (s)L1(t)1(t )e st dt1e st0s0當(dāng) Re(s)lim e st00 ，則 t。所以文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)L 1(t )1 e st0(1)1s0ss （2.11 ）圖 2.7單位階躍函數(shù)2. 指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù) 也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中是常數(shù)。令則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得（ 2.12 ）3. 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換設(shè)，則由歐拉公式 ，有所以F1 (s)1ej t e st dte j t e st dt2 j00文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)10e ( s j )t dte ( s j ) t e st dt2j011e (s j ) t1e (s

4、j )t2jsj0 s j01112jsjsjs22(2.13 ）同理(2.14 ）4. 單位脈沖函數(shù) ( t ) 的拉氏變換單位脈沖函數(shù) 是在持續(xù)時(shí)間期間幅值為的矩形波。其幅值和作用時(shí)間的乘積等于1，即。如圖 2.8 所示。圖 2.8單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換式為此處因?yàn)闀r(shí)，故積分限變?yōu)椤Ｎ陌复笕珜?shí)用標(biāo)準(zhǔn)(2.15)5. 單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù) ，又稱單位斜坡函數(shù) ，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為見圖 2.9 所示。圖 2.9單位速度函數(shù)單位速度函數(shù) 的拉氏變換式 為利用分部積分法令則所以文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)時(shí)，,則（ 2.16 ）6. 單位加速度函數(shù)的拉氏變換單位加速度函

5、數(shù) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式為如圖 2.10 所示圖 2.10單位加速度函數(shù)其拉氏變換式 為（ 2.17 ）2.5.3拉氏變換的主要定理根據(jù)拉氏變換定義或查表能對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對(duì)一般的函數(shù)可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化。1. 疊加定理拉氏變換 也服從線性函數(shù)的 齊次性和疊加性。（ 1）齊次性設(shè)，則（ 2.18 ）式中常數(shù)。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（2）疊加性 設(shè),，則（ 2.19 ）兩者結(jié)合起來，就有這說明拉氏變換 是線性變換 。2. 微分定理設(shè)則式中函數(shù)在時(shí)刻的值，即初始值 。同樣，可得的各階導(dǎo)數(shù)的 拉氏變換 是（ 2.20 ）式中,， 原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)刻的值。如果函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的

6、初始值均為零（稱為零初始條件 ），則各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換 為（ 2.21 ）3. 復(fù)微分定理若可以進(jìn)行 拉氏變換 ，則除了在的極點(diǎn)以外，文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)L tf td F sds（ 2.22 ）式中，。同樣有L t2f td2F sds2一般地，有L tnf tndnF sn 1,2,3,1dsn（ 2.23 ）4. 積分定理設(shè)，則（ 2.24 ）式中積分在時(shí)刻的值。當(dāng)初始條件為零 時(shí)，（ 2.25 ）對(duì)多重積分 是（ 2.26 ）當(dāng)初始條件為零 時(shí)，則（ 2.27 ）5. 延遲定理設(shè)，且時(shí)，則（ 2.28 ）函數(shù)為原函數(shù)沿時(shí)間軸延遲了，如圖 2.11 所示。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)圖 2.11函數(shù)6.

7、 位移定理在控制理論中，經(jīng)常遇到一類的函數(shù)，它的象函數(shù)只需把用代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù)坐標(biāo)中，有一位移。設(shè)，則（ 2.29 ）例如的象函數(shù)，則的象函數(shù)為7. 初值定理它表明原函數(shù)在時(shí)的數(shù)值。（ 2.30 ）即原函數(shù)的初值等于乘以象函數(shù)的終值。8. 終值定理設(shè)，并且存在，則（ 2.31 ）即原函數(shù)的終值等于 乘以象函數(shù)的初值。 這一定理對(duì)于求 瞬態(tài)響應(yīng) 的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。9. 卷積定理設(shè)，則有（ 2.32 ）即兩個(gè)原函數(shù)的卷積分的拉氏變換 等于它們 象函數(shù)的乘積。式（ 2.32 ）中，為卷積分的數(shù)學(xué)表示，定義為文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)10. 時(shí)間比例尺的改變（ 2.33 ）式中 比例系數(shù)例如 ,的象函

8、數(shù), 則的象函數(shù)為11. 拉氏變換的積分下限在某些情況下 ,在處有一個(gè) 脈沖函數(shù) 。這時(shí)必須明確 拉普拉斯積分 的下限是還是，因?yàn)閷?duì)于這兩種下限，的拉氏變換 是不同的。為此，可采用如下符號(hào)予以區(qū)分：若在處包含一個(gè) 脈沖函數(shù) ，則因?yàn)樵谶@種情況下顯然，如果在處沒有脈沖函數(shù) ，則有2.5.4拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換的公式為f t L 1 F (s)1cjcF ( s)est dsj2j（ 2.36 ）文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)式中L 1 表示拉普拉斯反變換的符號(hào)通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)f (t) 。1. 部分分式展開

9、法在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是的有理分式為了將寫成部分分式，首先將的分母因式分解 ，則有 的根的負(fù)值， 稱為的極點(diǎn) ，按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來研究。2. 的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)時(shí)的拉氏反變換（2.37 ）式中，是待定系數(shù)，它是處的留數(shù)，其求法如下（2.38 ）再根據(jù)拉氏變換 的迭加定理 ，求原函數(shù) 例 2.1求的原函數(shù)。解 :首先將的分母因式分解，則有文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)即得3. 含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)的拉氏反變換如果有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),，其余極點(diǎn)均為各不相同的 實(shí)數(shù)極點(diǎn) 。將展成式中 ,和可按下式求解即（ 2.39 ）因?yàn)? 或是復(fù)數(shù)，故式（2.39 ）兩邊都應(yīng)是復(fù)數(shù)， 令等號(hào)兩邊的

10、實(shí)部、）虛部分別相等，得兩個(gè)方程式，聯(lián)立求解，即得，兩個(gè)常數(shù)。 例 2.2已知, 試求其部分分式。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解:因?yàn)椋?.40 ）含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),和一個(gè)極點(diǎn)，故可將式（ 2.40）因式分解成（ 2.41 ）以下求系數(shù)、和。由式（ 2.40）和式（ 2.41 ）相等，有（2.42 ）用乘以上式兩邊，并令，得到上式可進(jìn)一步寫成由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，可得聯(lián)立以上兩式，可求得為了求出系數(shù), 用乘方程（ 2.42 ）兩邊，并令, 將代入，得<!endif>將所求得的,值代入（ 2.41 ），并整理后得的部分分式文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)查拉氏變換表便得， 結(jié)果見式（ 3.16 ）。

11、例2.3已知求。解 :將的分母因式分解，得利用方程兩邊實(shí)部、虛部分別相等得解得，所以這種形式再作適當(dāng)變換：文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)查拉氏變換表得4. 中含有重極點(diǎn)的拉氏反變換設(shè)有 r 個(gè)重根，則將上式展開成部分分式（2.43 ）式中， ，的求法與單實(shí)數(shù)極點(diǎn)情況下相同。， ，的求法如下：則(2.44 ） 例 2.4設(shè)，試求的部分分式。解:已知文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 2.45 ）含有 2 個(gè)重極點(diǎn)，可將式（ 2.45 ）的分母因式分解得（ 2.46 ）以下求系數(shù)、和。將所求得的、值代入式（ 2.46 ），即得的部分分式查拉氏變換表可得。 例 2.5求的拉氏反變換。解 :將展開為部分分式上式中各項(xiàng)系數(shù)為于是查拉

12、氏變換表，得文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)5. 用 MATLAB展開部分分式(1) 概述MATLAB是美國(guó) Math Works 公司的軟件產(chǎn)品，是一個(gè)高級(jí)的數(shù)值分析、處理與計(jì)算的軟件，其強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力和完美的圖形可視化功能， 使得它成為國(guó)際控制界應(yīng)用最廣的首選計(jì)算機(jī)工具。SIMULINK 是基于模型化圖形的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真軟件， 是 MATLAB的一個(gè)工具箱， 它使系統(tǒng)分析進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段， 它不需要過多地了解數(shù)值問題， 而是側(cè)重于系統(tǒng)的建模、分析與設(shè)計(jì)。 其良好的人機(jī)界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和工程界所采用。(2) 用 MATLAB進(jìn)行部分分式展開MATLAB有一個(gè)命令用于求B( s)/ A

13、( s) 的部分分式展開式。設(shè) s 的有理分式為式中（ i=）和(j=） 的某些值可能為零。在 MATLAB的行向量中， num和 den分別表示 F(s) 分子和分母的系數(shù)，即num=den=1命令r,p,k=residue(num,den)MATLAB將按下式給出F(s) 部分分式展開式中的留數(shù) 、極點(diǎn) 和余項(xiàng) ：上式與式（ 2.37 ）比較，顯然有 p(1)=- p1，p(2)=- p2， ，p( n)=- pn；r (1)= A1, r (2)= A2 ， ，r ( n)= An ；k（ s）是余項(xiàng)。 例 2.6試求下列函數(shù)的部分分式展開式解：對(duì)此函數(shù)有num=1 11 39 52 2

14、6den= 1 10 35 50 24命令r,p,k=residue(num,den)于是得到下列結(jié)果r,p,k=residue(num,den)r=1.0000文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k= 1則得如果 F(s) 中含重極點(diǎn)，則部分分式展開式將包括下列諸項(xiàng)式中，p(j)為一個(gè) q 重極點(diǎn)。 例 2.7試將下列函數(shù)展開成部分分式解：對(duì)于該函數(shù)有num=0 1 4 6den =1 3 3 1命令r,p,k=residue(num,den)將得到如下結(jié)果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000p=-1.0000-1.0000-1.0000k= 所以可得注意，本例的余項(xiàng)k 為零。文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)2.5.5應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程時(shí)，采用下列步驟：(1)對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變?yōu)閟 的代數(shù)方