直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編（附詳解）直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)題組1.（優(yōu)質(zhì)試題課標(biāo)全國(guó)川,10,5 分）在正方體ABCD-ABCDi中,E為棱CD的中點(diǎn)，則（）A.A1EI DCB.A1EI BDC.A1EI BCD.A1EI AC2. 如圖,在斜三棱柱 ABC-ABQ中,/ BAC=90 ,BCi丄AG則Ci在底面 ABC上的射影 H必在（3A. 直線AB上C.直線AC上B. 直線BC上D. ABC內(nèi)部3.已知m,n是兩條不同的直線若mil,n若m/,n/若ml,n/若ml,n/3 ,mln,貝U a3 ,mln,貝U a3 ,mln,貝U aa / 3 ,貝 y,a , 3為兩

2、個(gè)不同的平面丄3 ；/ 3 ；/ 3 ；ml n.,有下列四個(gè)命題：其中所有正確的命題是（）A. B. C. D.,b ? 3 ,且a丄3 ”的平面 a , 3 (4.設(shè)a,b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“a ? aA.不存在B.有且只有一對(duì)C. 有且只有兩對(duì) D.有無數(shù)對(duì)動(dòng)點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段5. 如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊三角形 ABC的中線AF與中位線 中的一個(gè)圖形，則下列命題中正確的是DE交于點(diǎn)G,已知 A'DE是 ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程 BC/平面A'DE; 三棱錐A'-FED的體積有最大值.A. B. C.D.6.如圖，已知/

3、BAC=90 ,PC丄平面 ABC則在 ABCA PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線 是；與AP垂直的直線是.7.設(shè)a,b若a /若若若為不重合的兩條直線，a , 3為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題: a 且 b / a ,則 a / b;a且a丄3 ,貝U a / 3 ;a丄3 ,則一定存在平面 丫，使得丫a丄3 ,則一定存在直線I,使得I丄丄a , 丫丄3 ;a ,l / 3 .其中,所有真命題的序號(hào)是 .2,AC=BC=1 / ACB=90 ,D 是 AiBi 的中點(diǎn),F 是 BB 上的動(dòng)8.如圖，直三棱柱 ABC-ABQ中，側(cè)棱長(zhǎng)為點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E,要使AB丄平面GDF,

4、則線段B1F的長(zhǎng)為A9.如圖，過底面是矩形的四棱錐 F-ABCD的頂點(diǎn)F作EF/ AB,使AB=2EF且平面ABFEL平面ABCD若點(diǎn)G在CD上且滿足DG=GC求證:(1)FG /平面 AED;平面DA丄平面 BAF.B10.如圖，在三棱錐 P-ABC中,PA丄AB,PAIBC,ABIBC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段 PC上一 點(diǎn).(1)求證:PA丄BD;求證:平面BDEL平面PAC;當(dāng)PA/平面BDE時(shí),求三棱錐 E-BCD的體積.B組提升題組L1.如圖，四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=-,BD丄CD將四邊形 ABCD&對(duì)角線BD折成四面體 A&

5、#39;-BCD,使平 面A'BD丄平面A.A'C 丄 BDB. / BA'C=90°C.CA'與平面A'BD所成的角為30D. 四面體A'-BCD的體積為- 2.如圖,PA丄。0所在平面,AB是。0的直徑,C是。0上一點(diǎn),AE丄PC,AF丄PB,給出下列結(jié)論:AE1BCEF丄PB;AF丄BC;AE1平面PBC,其中真命題的序號(hào)是.3. 如圖,三棱柱 ABC-ABiCi中,側(cè)面BBCC為菱形,BiC的中點(diǎn)為 0,且AC丄平面BBCiC.(1)證明：BiC丄AB;若 AC! ABi, / CBB=60° ,BC=1,求三棱柱 A

6、BC-ABQ 的高.4.(1)優(yōu)質(zhì)試題課標(biāo)全國(guó)川,19,12 分）如圖，四面體ABCD中, ABC是正三角形,AD=CD.證明:AC丄BD;已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE丄EC,求四面體 ABCE與四面體ACDE的體積比.全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1. C TAiBi 丄平面 BCCB,BCi?平面 BCCBi, A iBi 丄 BC,又 BC 丄BQ,且 BQQA iBi=Bi,二 BO 丄平面 A BiCD, 又 AE?平面 ABiCD,. BC 丄AiE.故選 C.2. A 連接 AC. V/ BAC=90

7、 , AB丄 AC,又 AC!BC,BCiQAB=B,/.AC!平面 ABC,又AC?平面ABC,/.平面 ABCL平面 ABC.平面 ABCn 平面 ABC=AB,點(diǎn)C在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線 AB上,故選A.a , 3互相垂直，如圖所示，故正確；對(duì) 可能垂直，如圖（3） 所示,故丫 ,且丫 n 3 =g,如圖所3. A 借助于長(zhǎng)方體模型來解決本題,對(duì)于,可以得到平面于,平面a、3可能垂直，如圖（2）所示,故不正確；對(duì)于,平面a、3 不正確；對(duì)于，由ml a , a / 3可得ml 3 ,因?yàn)閚 / 3 ,所以過n作平面 示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙l 3 ,g ? 3 ,所

8、以mlg,所以ml n,故正確.4.D直線5.C>>任意作過a的平面a ,在b上任取一點(diǎn)M,過M作a的垂線,b與垂線確定的平面3垂直于a ,又b上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，則可以有無數(shù)個(gè)平面3 ,故有無數(shù)對(duì)平面 a , 3 ,故選D.中由已知可得平面 A'FG丄平面ABC,7所以點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段 AF上.BC/平面 A'DE. BC/ DE,根據(jù)線面平行的判定定理可得 當(dāng)平面A'DE丄平面ABC寸,三棱錐A'-FDE的體積達(dá)到最大.故選C.6. 豁案 AB,BC,AC;AB律解析/ PCI平面ABC, PC垂直于直線AB,BC,AC./ A

9、B丄AC,AB1 PC,ACn PC=C, AB丄平面PAC, AB丄AP,故與AP垂直的直線是 AB.7.1答案強(qiáng)解析 中a與b也可能相交或異面，故不正確; 垂直于同一直線的兩平面平行，正確. 中存在丫，使得丫與a , 3都垂直. 中只需直線I丄a且I ? 3就可以.tiW析 設(shè)BF=x,因?yàn)锳B丄平面CDF,DF?平面GDF,所以AB丄DF,由已知可得 AiBi= 一，設(shè)Rt AA1B1斜邊AB 上的高為h,則DE=h.又2X =h(-),所以 h ,DE=.在 Rt DBE 中,BiE=由面積相等得一X=X,得 x=.9.1 鑑證明(1)因?yàn)?DG=GC,AB=CD=2EF,/EF/ C

10、D, 所以 EF/ DG,EF=DG.所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以 FG/ ED.又因?yàn)镕G?平面AED,ECP平面AED, 所以FG/平面AED.(2)因?yàn)槠矫?ABFEL平面 ABCD平面 ABFn 平面 ABCD=AB,ADAB,AD ?平面 ABCD,所以ADI平面BAF,又Ad?平面DAF,所以平面DA丄平面 BAF.10.解析 (1)證明：因?yàn)?PA1 AB,PAI BC,ABn bc=b所以 pai平面 abc. 又因?yàn)锽D?平面abc,所以pai BD.證明：因?yàn)锳B=BC,D為AC的中點(diǎn)，所以 BDIAC.由(1)知,PAIBD,又 PAn ac=a,所以BDI平面

11、PAC又因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面 BDEL平面 PAC.(3)因?yàn)?PA/平面 BDE，平面 PACn平面 BDE=DE所以 PA/ DE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)， 所以 DE=PA=1,BD=DC=.由(1)知,PA丄平面ABC, 所以DEI平面ABC.所以三棱錐 E-BCD的體積 VdBD* DC- DErB組提升題組1.B 若a成立可得BDI A'D,產(chǎn)生矛盾，故a不正確；由題設(shè)知： BA'D為等腰直角三角形，易得CDL平面A'BD,所以CDL A'B,又A'B丄A'D,A'D n CD=DW以BA'丄平面 A'C

12、D,于是B正確；由CA'與平面A'BD所成的角為/ CA'D=45知 C不正確；Va'-BCD=V>A'BDa,D 不正確.故選 B.2答案硼軍析 因?yàn)锽CIAC,BCLPA,PAn AC=A所以 BCI平面PAC又BC?平面PBC所以平面pace平面Pbc,因?yàn)槠矫?PBCn平面 PAC=PC,AI pc,所以 AEI平面PBC所以AE! bc,故正確；由知 AE1平面PBC,所以AE1PB,AF丄PB,AFn AE=A所以 PB丄平面 AEF,所以EF丄PB,故正確,若 AF丄BC則易得 AF丄平 面PBC則AF/ AE,與已知矛盾，故錯(cuò)誤，由

13、可知正確.3.1金解析 （1）證明：設(shè)O為BC與BC的交點(diǎn).因?yàn)锽BCC為菱形，所以BiC丄BC.兒IB又AO!平面BBCC,所以BC丄AO,故 BQ丄平面 ABO. 由于AB?平面ABO,故BQ丄AB. 作ODL BC,垂足為 D,連接AD.作OHLAD,垂足為 H. 由于 BCIAO,BCLOD故 BCI平面 AOD所以 OHL BC. 又OHLAD,所以O(shè)HL平面 ABC.因?yàn)? CBB=60° ,所以 CBB1為等邊三角形，又BC=1,可得ODd.由于 ACIAB,所以 OA=BC=.由 OH AD=OD OA且 AD=一,得 OH=.又O為BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Bi到平面ABC的距離為 故三棱柱ABC-ABiCi的高為4.蹴軍析 （1）證明：取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO. 因?yàn)?AD=CD所以 ACI DO.又由于 ABC是正三角形，所以AC! BO.從而AC!平面DOB故ACI BD.連接EO.由（1）及題設(shè)知