分式方程的概念解法及應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 分式方程的概念，解法及應(yīng)用 一、目標(biāo)與策略 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！ 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 分式方程的概念以及解法； 分式方程產(chǎn)生增根的原因； 分式方程的應(yīng)用題。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 重點(diǎn)：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的方法及其中的轉(zhuǎn)化思想， 用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題， 能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量 關(guān)系 難點(diǎn)：檢驗(yàn)分式方程解的原因，實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析 學(xué)習(xí)策略： 經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題分式方程整式方程”的過(guò)程，發(fā)展分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培 養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。 二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用 “凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”。科學(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽(tīng)講更有

2、目的性和針對(duì)性。 知識(shí)回顧復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，看看你的知識(shí)貯備過(guò)關(guān)了嗎？ （一） 什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程 使方程兩邊相等的 的值，叫做方程的解 （二） 分式的基本性質(zhì)： 分式的分子與分母同乘（或除以）同一個(gè) ，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)用式子表示 是： A A M A A M （其中 M 是不等于 0 的整式） B B M , B M B 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 （三） 等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)或 （除數(shù)不能為 0），所得的結(jié)果仍是等式。 （四） 解下列方程：（ 1） 93x 5x5； y 1 y 2 （2） y 2 2 5

3、知識(shí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí) 認(rèn)真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識(shí)要點(diǎn)內(nèi)容補(bǔ)充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽(tīng) 課學(xué)習(xí)。請(qǐng)?jiān)谔摼€部分填寫(xiě)預(yù)習(xí)內(nèi)容，在實(shí)線部分填寫(xiě)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容。課堂筆記或者其它補(bǔ) 充填在右欄。詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源 ID ： #tbjx5#233542 要點(diǎn)一：分式方程的定義 里含有未知數(shù)的方程叫 分式方程。 要點(diǎn)詮釋： （ 1）分式方程的三個(gè)重要特征：是 ；含有 ；分母里含 有 。 （ 2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系數(shù)），分母中含有未知數(shù)的方程是 ，不含有未知數(shù)的方程是 方程，如：關(guān)于 x 的方程 1 2 x 和 3 7 都是 方程，而關(guān)于 x 的

4、 x x 2 2 x 1 方程 1 x 2 x 和 x 1 d 都是 方程。 a b c 要點(diǎn)二：分式方程的解法 （一） 解分式方程的其本思想 把分式方程化為 方程，具體做法是“去分母” ，即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分 母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二） 解分式方程的一般方法和步驟 （ 1） ，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母， 把原方程化為整式方程。 （ 2）解這個(gè) 方程。 （ 3） ：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是 原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的 。 注： 分式方程必須 ；增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程， 學(xué)習(xí)好資料 歡

5、迎下載 但增根不適合原方程，可使原方程的 （三） 增根的產(chǎn)生的原因： 為零。 對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未 知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著 不為零的條件。 當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范 圍 了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那 么就會(huì)出現(xiàn)增根。 要點(diǎn)三：分式方程的應(yīng)用 分式方程的應(yīng)用主要就是 ，它與學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)列方程解應(yīng)用題 的基本思路和方法是一樣的，不同的是，表示關(guān)系的代數(shù)式是分式而已。 一般地，列分式方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟： （ 1） 題意

6、； （2）設(shè) ； （ 3）根據(jù)題意找 關(guān)系，列出分式方程； 4）解分式方程，并驗(yàn)根； 5）檢驗(yàn)分式方程的根是否符合題意，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)出答案 要點(diǎn)四：常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題中等量關(guān)系 （一）工程問(wèn)題 （1）工作量 工作時(shí)間， _ ， 工作效率 工作時(shí)間 工作量 ； _ 工作效率 2）完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和總工作量1 （二）營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題 （ 1）商品利潤(rùn)商品 一商品 ； （ 2）商品利潤(rùn)率 _ ； 100% _ （ 3）商品銷(xiāo)售額商品銷(xiāo)售價(jià)商品銷(xiāo)售量； （ 4 ）商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)（銷(xiāo)售價(jià)一成本價(jià)） （三）行程問(wèn)題 （ 1 ）路程 _ ，_ 路程 ； 時(shí)間， 速度 速度 時(shí)間 （ 2 ）在航行問(wèn)題中，其中

7、數(shù)量關(guān)系是： 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 順?biāo)俣?水流速度，逆水速度靜水速度 ； （ 3）航空問(wèn)題類似于航行問(wèn)題 經(jīng)典例題 - 自主學(xué)習(xí) 認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反 三。若有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處。 更多精彩請(qǐng)參看網(wǎng)校資源 ID ：#jdlt0#233542 類型一：分式方程的定義 例 1 下列各式中，是分式方程的是（ ） A x y 5 B x 2 2 y z C 1 D. y 0 5 3 x x 5 思路點(diǎn)撥： 要逐個(gè)檢查是否符合分式方程的三個(gè)特征： A x y 5 因?yàn)榉匠汤餂](méi)有 ，所以 分式方程； B x 2 2y z 雖然有分母，但是分母

8、里沒(méi)有 5 3 ，所以 分式方程； C 1 沒(méi)有 ，所以不是 ， 它只是一個(gè) 答案 ： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式】方程 x ；D y 0 具備分式方程的三個(gè)特征， 是 。 x 5 x 3 x 2 中， x 為未知量， a， b 為已知數(shù)，且 a b ，則這個(gè)方程 a b （ ） A 分式方程 B 一元一次方程 C 二元一次方程 D 三元一次方程 答案： 類型二：分式方程解的概念 例 2 請(qǐng)選擇一組 a, b 的值，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于 x 的形如 a b 的分式方程，使它的解 x 2 是 x 0 這樣的分式方程可以是 . 思路點(diǎn)撥： 分式方程是 中含有 的 ，能夠使分式方程 成立的未知數(shù)的值叫分

9、式方程的 . 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式】在 x 0, x 1, x 1 中，哪個(gè)是分式方程 x3 x 的解，為什么？ x 0 1 解析： 類型三：分式方程的解法 例 3解方程 1 x 1 2 x 2 2 x 思路點(diǎn)撥： 在解分式方程的時(shí)候，要把分式方程變?yōu)?方程。原方程的兩邊都 要乘 ，方程等號(hào)右邊的常數(shù) -2 也必須乘 。在找最簡(jiǎn)公 分母的時(shí)候有時(shí)需要先把分式方程變形。 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式】解方程： （ 1） 3 4 ， （2） 10 5 2. x 1 x 2x 1 1 2x 解析： 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 類型四：增根的應(yīng)用 例 4 當(dāng)

10、 m 為何值時(shí)，方程 x 2x x m 會(huì)產(chǎn)生增根（ ） x 3 3 A 2 B1 C 3 D3 思路點(diǎn)撥： 分式方程 x 2x m ，去分母得 ，將增根 x 3 x 3 代入，得 m 。所以，當(dāng) 時(shí)，原分式方程會(huì)產(chǎn)生增根。 答案： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式】 .若方程 x 3 m 無(wú)解，則 m 。 x 2 2 x 解： 類型五：分式方程的應(yīng)用 （一）營(yíng)銷(xiāo)類應(yīng)用性問(wèn)題 例 5 某校辦工廠將總價(jià)值為 2000 元的甲種原料與總價(jià)值為 4800 元的乙種原料混合 后，其平均價(jià)比原甲種原料每 0.5kg 少 3 元，比乙種原料每 0.5kg 多 1 元，問(wèn)混合 后的單價(jià)每 0.5kg 是多少元

11、？ 思路點(diǎn)撥 ：市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，常遇到營(yíng)銷(xiāo)類應(yīng)用性問(wèn)題，與價(jià)格有關(guān)的是：?jiǎn)蝺r(jià)、總價(jià)、 平均價(jià)等，要了解它們的意義，建立它們之間的關(guān)系式 解析： 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 總結(jié)升華： 舉一反三 ： 【變式】 A 、B 兩位采購(gòu)員同去一家飼料公司購(gòu)買(mǎi)同一種飼料兩次，兩次飼料的價(jià)格 有變化，但兩位采購(gòu)員的購(gòu)貨方式不同其中，采購(gòu)員 A 每次購(gòu)買(mǎi) 1000 千克，購(gòu) 貸員 B 每次用去 800 元，而不管購(gòu)買(mǎi)飼料多少，問(wèn)選用誰(shuí)的購(gòu)貨方式合算？ 答案： （二）工程類應(yīng)用性問(wèn)題 例 6某工程由甲、乙兩隊(duì)合做 6 天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共 8700 元， 乙、丙兩隊(duì)合做 10 天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程

12、費(fèi)共 9500 元，甲、丙兩隊(duì) 合做 5 天完成全部工程的 2 ，廠家需付甲、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共 5500 元 3 1）求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？ 2）若工期要求不超過(guò) 15 天完成全部工程，問(wèn)由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢(qián)最少？請(qǐng)說(shuō)明理由 思路點(diǎn)撥 ：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢(qián)兩種未知量對(duì)于 工期，一般情況下把整個(gè)工作量看成 ，設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所 需時(shí)間分別為 x 天， y 天， z 天，可列出分式方程組 解析 ： 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式 1】某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成， 若由甲隊(duì)去做， 恰好如期完成； 若由乙隊(duì)

13、去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰 好在規(guī)定日期完成，問(wèn)規(guī)定日期是多少天？ 答案： 【變式 2】今年某大學(xué)在招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)， 2640 名學(xué)生的成績(jī) 數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致 . 已知教師甲的輸入速度是教師乙的 2 倍，結(jié)果甲比乙少用 2 小時(shí)輸完 .問(wèn)這兩位教 師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績(jī)？ 答案： （三）行程中的應(yīng)用性問(wèn)題 例 7甲、乙兩地相距 828km ，一列普通快車(chē)與一列直達(dá)快車(chē)都由甲地開(kāi)往乙地，直達(dá) 快車(chē)的平均速度是普通快車(chē)平均速度的 1.5 倍直達(dá)快車(chē)比普通快車(chē)晚出發(fā) 2h

14、， 比普通快車(chē)早 4h 到達(dá)乙地，求兩車(chē)的平均速度 思路點(diǎn)撥 ：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是：路程速度 時(shí)間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問(wèn)題中的等量關(guān)系解析 ： 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 總結(jié)升華： 舉一反三 ： 【變式 1】一隊(duì)學(xué)生去校外參觀他們出發(fā) 30 分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給 帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車(chē)從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍若騎車(chē)的速度是隊(duì)伍 行進(jìn)速度的 2 倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離學(xué)校的距離是 15 千米，問(wèn)這名學(xué)生從學(xué) 校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間？ 答案： 【變式 2】農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠 15 千米的生產(chǎn)隊(duì)檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車(chē)先走，

15、40 分鐘后，其余的人乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車(chē)的速度是自行車(chē)的 3 倍，求兩車(chē)的速度 答案： 【變式 3】輪船在順?biāo)泻叫?30 千米的時(shí)間與在逆水中航行 20 千米所用的時(shí)間相等， 已知水流速度為 2 千米時(shí)，求船在靜水中的速度 答案： 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 三、總結(jié)與測(cè)評(píng) 要想學(xué)習(xí)成績(jī)好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們 鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，提高學(xué)習(xí)能力。 總結(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué) 認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧。 相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源 ID ： #tbjx13#233542 （一） 一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得

16、整式方程有可能使原方程中分母為 0，因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入 最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為 ，則整式方程的解是原分式方程的解，否則，這個(gè)解不是原分式方程的解 （二） 列方程（組）解應(yīng)用題，在弄清題意后，接著就是設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)對(duì)后面列方程起著關(guān)鍵作用，對(duì)于一道應(yīng)用題，首先考慮設(shè)直接未知數(shù)，如果設(shè)直接未知數(shù)不奏效，就應(yīng)考慮設(shè)間接未知數(shù)，就是把一個(gè)不是題目中最后要求的未知量設(shè)為未知數(shù)，求出該數(shù)后，再求出要求的數(shù) 成果測(cè)評(píng) 現(xiàn)在來(lái)檢測(cè)一下學(xué)習(xí)的成果吧！請(qǐng)到網(wǎng)校 測(cè)評(píng)系統(tǒng) 和模擬考試系統(tǒng) 進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的 測(cè)試。 知識(shí)點(diǎn)： 可化為一元一次方程的分式方程及其應(yīng)用 測(cè)評(píng)系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)： 模擬考試系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)： 如果你的分?jǐn)?shù)在 80 分以下，請(qǐng)進(jìn)入網(wǎng)校資源 ID ： #cgcp0#233542，做基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)部分的練習(xí)，如果你的分?jǐn)?shù)在 80 分以上， 你可以進(jìn)行能力提升題目的測(cè)試。 自我反饋 學(xué)完本節(jié)知識(shí)，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習(xí)題，將其中的好題及錯(cuò)題分類整理。如有問(wèn)題，請(qǐng)到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學(xué)”交流。 我的收獲 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 習(xí)題整理 題目或題目出處 所屬類型或知識(shí)點(diǎn) 分析及注意問(wèn)題 好題 錯(cuò)題 注： 本表格為建議樣式，請(qǐng)同學(xué)們單獨(dú)建立錯(cuò)題本，或者使用四中網(wǎng)校錯(cuò)題本進(jìn)行記錄。 網(wǎng) 校重 要 資源 知識(shí)導(dǎo)學(xué)：分式方程的概念，