兩角和與差的正弦余弦正切公式

1、兩角和與差的正弦余弦正切公式教學目標1. 能根據(jù)兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦公 式，并靈活運用.（重點）2. 能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正 切公式.（難點）3. 掌握兩角和與差的正切公式及變形應(yīng)用.（難點、易錯點）基礎(chǔ)初探教材整理1兩角和與差的余弦公式閱讀教材Pl28 “思考”以下至“探究”以上內(nèi)容，完成下列問題名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(a cos( a = cos a cos B + sin a sin 3a , 3 R兩角和的余弦公式C(a+ cos( a+ 3 = cos a cos 3 sin a sin 3a ,3 Rcos

2、75 cos 15 sin 75 sin 15 的值等于【解析】逆用兩角和的余弦公式可得教材整理2兩角和與差的正弦公式閱讀教材Pl28 “探究”以下內(nèi)容，完成下列問題.1 .公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦5( a + p )sin( a+ p = sin a cos p + cos a sin pa、p R兩角差的正弦S( a- p)sin( a p = sin a cos p cos a sin pa、p R2重要結(jié)論-輔助角公式y(tǒng)= asin x+ bcosx= a2 + b2sin(x+ 0)(a, b 不同時為 0),其中 cos八a Ab0 = a2 + b2，sin 9

3、= 52+判斷(正確的打“，錯誤的打“x”)(1) 兩角和與差的正弦、余弦公式中的角 a B是任意的.()(2) 存在 a B R，使得 sin(a p = sin a sin 3 成立.()(3) 對于任意a, p R , sin(a+ 3 = sin a + sin p 都不成立.()(4) sin 54 cos 24 sin 36 sin 24= sin 30 .()解：(1).根據(jù)公式的推導過程可得.(2).當 a= 45 , 3= 0 時,si n( a 3 = sin asin p. x .當 a= 30, p= 30 時，sin(a+3= sin a+sin p成立.(4) V.

4、因為 sin 54cos 24-sin 36sin 24=sin 54os 24-cos 54in 24=sin(54-24) = sin 30 故原式正確.【答案】(1) (2) V (3)x(4)V教材整理3兩角和與差的正切公式閱讀教材Pl29 “探究”以下至“例3”以上內(nèi)容，完成下列問題.名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切T( a+ 3tan(a+ 3 =tan a +tan 3a ,3 , a + 3工 kn + 2(k Z)且tan a - tan 3 工 11 tan a tan 3兩角差的正切T( a- 3tan(a 3 =tan a tan 3a ,3 , a 3工 kn +

5、 -(k Z)且tan a tan 3 工一11 + tan a tan 3判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 存在 a B R，使 tan(a+ 0 = tan a +tan 3 成立.()(2)對任意3 R, tan( a+ 0)=tan a1 ta n+ tan 3a tan 3都成立.(3)tan( a+tan a +tan3 1 tan a tan等價于 tan a + tan 3=tan( a+n解：(1)V.當 a0, 3= 3時，tan(a+ = tann0 +空n=tan 0+tan -3,但一般情況下不成立.nX倆角和的正切公式的適用范圍是a, 3, a+蘆k n

6、 + 2nnn V .當 a kn+ 2(k Z), Bkn + 2(k Z) ,a +時，由前一個式子兩邊同乘以1 tan atan B可得后一個式子.【答案】(1)V (2) x(3)V小組合作型靈活應(yīng)用和、差角公式化簡二角函數(shù)式例 （1）（2016濟寧高一檢測）sin 47 sin 17 cos 30cos 17 （2）化簡求值:J+tan 75 1- tan 75 sin( 0+ 75 ) + cos(0+ 45).3cos( B+ 15 );(2016 遵義四中期末)tan 20 + tan 40 +V3tan 20 tan 40 .(1) 化簡求值應(yīng)注意公式的逆用.(2) 對于非特

7、殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值.解:sin 47-sin 17 cos 30cos 17 sin (17 + 30) sin 17 cos 30cos 17 sin 17cos 30+os 17 sin 30 sin 17 cos 30cos 17cos 17si n 301cos 17= sin 302【答案】 Ctan 45+a n 75原式=1 tan 45tan 75=tan(45 + 75 ) = tan 120= 3.原式=一 .3.設(shè)a= 0+ 15則原式=sin( a+ 60 ) + cos( a+ 30 ) ./3cos a1Qsina+ a cos a +2

8、1 . a qSina 3cOS a= 0.原式=0.原式=tan 60(1 tan 20 tan 40) +3tan 20 tan 40=3.原式=.3.1. 公式T( a+,T( a-是變形較多的兩個公式，公式中有tan a tanB, tan a+tan 或 tan atantan(a+(或 tan(a).三者知二可表示出或求出第三個.兀_n12. 化簡過程中注意 T與“ tan 4” “羽”與“tan空”第”n與“COS 3”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化.再練一題1. 化簡求值：(1) cos 61 cos 16 + sin 61 sin 16;(2) sin 13 cos 17

9、+ cos 13 sin 17; 1+tan 12 tan 72(3) tan 12 tan 72 .o oo 罷解：(1)原式=cos(61 6 ) = cos 45 =?.1(2)原式=sin(13+7)= sin 30 =1+tan 12ta n 721原式=tan 12an 72。= tan (722)給值求值卜例(2016普寧高一檢測)已知n a 3n, o n,nCOS/+ a= 35,35sin 4兀 + =13，求 sin( a+ 的值.【導學號:00680069】可先考慮拆角，n+a+B=+ 0= sin (n+ a+ 0 求值.+兀3-4n二+ a，然后再利用sin(an

10、3n n解：因為 a4 n,所以 24 +a n.( If/” n2 n4所以 sin & + a =1 cos + a = 5.n 33又因為 O04, &n4 n + 仟 n,所以 COS& n + 0= 1 sin2 n + 0= 彳3,所以 sin(a+ 0)= sin( n + a+ 0-=sin4-/ 、 n3f、n/y3 nsin-J +acos4 n+ 01+ cosrJJ+asini4 + 05丿13 +；4 12) ( 35136365.1. 本題屬于給值求值問題，求解時，關(guān)鍵是從已知角間的關(guān)系入手，分析出已知角和待求角的關(guān)系.如本題中巧用0= ( a+ 0 a這一關(guān)系.2

11、. 常見角的變換為(1)2 a+ 0= ( a+ 0 + a, 2 a 0= ( a 0 + a；a+ 0/0/ a2 =a 2丿-0 0,/ 、 n/ na +a+&+B/ 、nnJ +a+J B,an求 cos( a+ B .解：因為a3 nn, 2jcos a 5,所以sin35.因為1tan B= 3,所以3幀Vi0cos B= io , sin B=所以cos( a+ B = cos acos 3 sin asin104 J 3(3 ,io =10 .給值求角例已知 sin a =f, sin B =嚅,且a, B為銳角，求a+ B的值.確定a+ 0的范圍f求a+ 0的值解：/ si

12、n a=-g5, a為銳角,又sin 0=-10, 0為銳角, COS 0=：1 - sin2 0= 1*0 10.cos（a+ 0） = cos acos 0 sin asin 0紅5衣 空0亠5衣二0上-510 510 - 2 ./ n又a 肚0,廳，Ov a+ 0 n,n因此a+ 0= 4.1. 求解該類問題常犯的錯誤是對角的范圍討論程度過大（?。? 導致求出的角不合題意或者漏解.2. 求角的大小，要解決兩點：（1）確定所求角的范圍，求角的 某一三角函數(shù)值，特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函 數(shù)值.再練一題/X/Xnn3 .若把本例題的條件改為“ a 0, nr , 0 帀,0

13、，且cos（aI 2丿 、一 2 丿解：T a0,二 a 3 (0,兀)，由 COS(a3升3 = 5，知 sin(a43= 5.由 sin 3=n 7,2IO，知 cos 3= io .sin a= sin( a 3 +3=sin(a 3cos 3+ cos( a 3sin 3=5X又an，2.J4 7 23齊 + 5X探究共研型輔助角公式的應(yīng)用探究1函數(shù)y= sin x+ cos x(x Z)的最大值為2對嗎？為什么?【提示】不對.因為sin x+ cos x飛陽x+爭cos x廠nn=72 sin x cos 丁+ cos x sin 7 i44丿/ 、=2sin x + n .i 4丿

14、所以函數(shù)的最大值為2.【提示】34、因為 y= 3sin x+ 4cos x= 5gsin x+5COS xj,令 cos A5, sin x4貝卩 y= 5(sin xcos + cos xsin )= 5sin(x+冊,所以函數(shù)y的最大值為5.探究 3 如何推導 as in x + bcos x=p a2 + b2s in (x + 妨 Jta n = a公式.【提示】asin x+ bcos xabsin x+ cos x2 + b2- ；a2 + b2人ab.令 cos * 申 b2, sin 2 4 b2，則asin x+ bcos x= - ：a2 + b2(sin xcos +

15、cos xsin )a2 + b2sin(x+ )(其中角所在象限由a、b的符號確定，KKa角的值由tan =；確定，或由sin = /二和cos = /共a a2 + b2、a2 + Ja+b2同確定).卜例當函數(shù)y= sin x 3cos x(0x2 n )取得最大值時，x=可先用公式SaB將函數(shù)化為y = Asin(3汁冊形式再求最大值對應(yīng)的x值.兀n冗2sin解:f(x) = sin x cos x+D.當 0W x2 n時，一3 x 33,所以當y取得最大值時，x3 = ，所以x=6【答案】56n61 .對于形如sin a士cos a, 3sin a士COS a的三角函數(shù)式均可利 用

16、特殊值與特殊角的關(guān)系，運用和差角正、余弦公式化簡為含有一個 三角函數(shù)的形式.2. 在解法上充分體現(xiàn)了角的變換和整體思想，在三角函數(shù)求值 化簡的變換過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則.再練一題/Xn4.函數(shù)f(x) = sin x cosx +三 的值域為()V 6丿A . 2, 2B. 3,31,1sin x于cos x+坯 x 3 qsin x -cos x二屆嘰右,i 6丿所以函數(shù)f(x)的值域為3,3.故選B.【答案】B構(gòu)建體系廠兩角和與養(yǎng)的止眩公式兩倩和芍差的1E眩. 余弦、亡切公式1兩角和対弄的余弦公式1_兩角和與術(shù)的止切公式1. (2016 清遠期末)化簡：sin 21 co

17、s 81 cos 21 sin 81 等于 ()1 1A . 2B. 2C .于D T解：原式=sin(21 81) = sin 60= 專故選 D.【答案】D3i2 .已知a是銳角，sin a = 5，則COs4 + a等于()210103解：因為a是銳角，sin a= 5,所以 cos a= 4,所以cos二亠垂X 4進x 3=遽2525- 10 .故選 B.【答案】 B3. 函數(shù)y = sin x cos x的最小正周期是（）C.2n解:y= sin x cos x= 2sinnX刀，所以T= 2 n.4丿【答案】 C4. 計算i+3：黑解：=3抄甸151 + 3tan 151 + ta

18、n 60 tan 15=tan 45M.【答案】5.已知a, 3均為銳角，sin a =Vio +,cos 3 =0，求 a 3解：T a,供勻為銳角，sin a =_55.3伍2/5-sin 3= 10 , cos a= 5 .nTsin asin 3,a 3,sin( a0= sin acos 3 cos asin 3.5、10 2.5、3102T % 而V % F=三=510In2，二 a 3= 4.學業(yè)分層測評學業(yè)達標、選擇題1 .若 a+ 3=則(1 + tan a )(1 + tan 3 )等于()解：(1+tan a)(1 + tan 3)=1 + (tan a+tan 3) +

19、 tan atan 3=1 +tan( a+ 3(1 tan atan 3) + tan atan 3n=1+tan 4 (1 tan atan 3) + tan atan 3= 2.【答案】 C2.cos a 3sina化簡的結(jié)果可以是（解:12cos1 cosnC3acosa 3sin2os亞.a 2 sin acosn0CCOS3 sin using=2cosna+ 3【答案】3. （2016北京高一檢測）在厶ABC中，A=nn, cos B10，則sin C等于（）A.2；5B.2/555C.二5D.5解:因為cos B =10 口且 0B n,所以 sin B= 3100又 A=n,

20、n所以 sin C= sin(A+ B) = SS4COS B+ cosin B冷X嚅+存詰【答案】4.若 sin3=5,fnn，貝y cos5n、 2 ,2丿4 +aa=()B.請2107 210解:因為sin35,所以cosa = 5,故 COs5 na+45 n=COs aCOs 4sin210.【答案】35. 若 sin a = 5, tan(a+ = 1,且 a是第二象限角，則 tan 3的值為（）C.解:3由sin a = 5,且a是第二象限角,可得COS a =4,則 tan1-34 ,所以 tan B= tan (a + atan ( a+ tan a1+tan ( a+ 0)

21、 tan a3、 工=7 (3廠 7. -4丿【答案】 C二、填空題1 tan 156 計算 3+tan 60 tan 15 =tan 45 an 15解：原式=3( 1 + tan 45 tan 15 )1 1 = ta n( 45。5 =-.1【答案】-卄1“3“tan a7右 sin(a+ 0 = 5，Sind = 5，則tan=十宀1解: 由題意得 sin acos B+ cos asinsin acos 3 cos asin 3= 5, 2+得sin acos 3= 5,1得 cos asin 3= 5,tan a寧得=2.tan 3【答案】 2三、解答題8 .設(shè)方程12X2 n X 12 n = 0的兩根分別為a, 3,求cos acos 3 3sin a cos 3 . 3cos a sin 3 sin a sin 3 的值.n解：由題意知a+ 3= 12,故原式=cos( a+ 3 3si n( a+ 3=2sin冗4cos=2n122sin -4n66 cos 4sin 可S/2並返、2 X 2 2、=2s咱-(a+ 3)9如圖31 1，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角a B,它們的終邊分別與單位圓交于 A、B兩點，已知A、b的橫坐標分別為H、55.圖 3-11(1)求 tan(a+ 的值;求a+ 2B的值.解：