B1-074 證明對任意整數(shù)n,存在一個唯一的多項式Q(x),系數(shù){0,1,

1、B1-074 證明對任意整數(shù)n，存在一個唯一的多項式Q(x)，系數(shù)0，1，9，Q(-2)Q(-5)n【題說】第二十六屆(1997年)美國數(shù)學奧林匹克題 3【解】如果多項式f(x)與g(x)在x=-2與-5時值均相等，就記成f(x)=g(x)，如x2+7x+10=0在n0，1，9時，常數(shù)n就是滿足要求的多項式Q(x)在n=10時，Q(x)=x3+6x2+3x滿足要求，將它簡記為(0，3，6，1)一般地，Q(x)=akxk+a0簡記為(a0，a1，ak)設(shè)Q(x)=(a0，a1，ak)的系數(shù)0，1，2，9，我們證明存在多項式P(x)，系數(shù)0，1，2，9，并且P(x)=Q(x)+1，P(x)的系數(shù)和

2、也等于Q(x)的系數(shù)和+1為此，對Q(x)的系數(shù)和a0+a1+ak進行歸納，奠基顯然設(shè)對系數(shù)和較小的多項式結(jié)論已經(jīng)成立若a09，結(jié)論顯然若a0=9，則(a0，a1，ak)+1=(0，a1，ak)+(0，3，6，1)(i)若3+a19，則(0，a1，ak)+(0，3，6，1)=(0，a1+3，a2，ak)+(0，0，6，1)對多項式(a2，a3，ak)運用歸納假設(shè)，得多項式(a2，a3，ah)=(a2，a3，ak)+1繼續(xù)對所得多項式用歸納假設(shè)，直至得到再用歸納假設(shè)得(ii)若3+a110，則令a1=a1-7，(0，a1，ak)+(0，3，6，1)=(0，a1，a2，ak)+(0，0，9，7，1

3、)在a2=0時，(0，a1，a2，ak)+(0，0，9，7，1)=(0，a1，9，a3，ak)+(0，0，0，7，1)，情況與(i)類似在a21時，令a2a2-1，則(0，a1，a2，ak)+(0，0，9，7，1)=(0，a1a2，a3，ak)+(0，0，10，7，1)=(0，a1，a2，a3，ak)最后一步利用了10+7x十x2=0另一方面，設(shè)Q(x)(a0，a1，ak)的系數(shù)0，1，2，9，可以證明存在多項式R(x)，系數(shù)0，1，2，9，并且R(x)=Q(x)-1這只要注意Q(x)lQ(x)+(9，7，1)再多次利用上面關(guān)于Q(x)+1的結(jié)果即得因此，對一切整數(shù)n，均有合乎要求的多項式Q(

4、x)存在如果又有多項式Q1(x)滿足要求，設(shè)Q(x)-Q1(x)=(b0，b1，bk)，bi0，1，9，0ik由Q(-2)-Q1(-2)=0得2b0同理，5b0，所以10b0但b010，所以b00于是bk(-2)k+b1(-2)=0，從而222b1，2b1同理5b1所以b1=0依此類推，可得b2=bk=0從而合乎條件的Q(x)是唯一的B1-075 觀察由這些例子的啟發(fā)，敘述一般規(guī)律，并加以證明對任何大于1的n，證明存在正整數(shù)i和j(ij)使得 (1)【題說】第五屆(1973年)加拿大數(shù)學奧林匹克題 7【解】所給例子暗示的規(guī)律是于是(1)右邊等于取i=n-1，j=(n-1)n-1，則即(1)式成

5、立B1-076 設(shè)P是集合Sn=1，2，n的一個排列如果p(j)=j，元素jSn叫做p的不動點設(shè)fn是沒有不動點的排列的個數(shù)，gn是恰有一個不動點的排列的個數(shù)證明：fn-gn=1【題說】第十四屆(1982年)加拿大數(shù)學奧林匹克題 4本題結(jié)論可加強為fn-gn=(-1)n【證】顯然f1=0，f2=1當n3時，fn=(n-1)(fn-2+fn-1) (1)事實上，若k(1)排在第一個，這時如果1排在第k個(即1與k對換)，其余n-2個數(shù)沒有不動點的排列有fn-2個；如果1不排在第k位，這相當于n-1個數(shù)都沒有不動點，其排列數(shù)為fn-1當k遍歷2，3，n時，便得到(1)式對于gn顯然g1=1，g2=0當n3時，除某一數(shù)k不動外，其余數(shù)皆變動，而k可以是1n中任一個，故得gn=nfn-1因而 fn-gn=(n-1)(fn-2+fn-1)-nfn-1=(n-1)fn-2-fn-1=gn-1-fn-1 (2)由f1-g1=-1及(2)得fn-gn=(-1)nB1-077 10名運動員參加乒乓球循環(huán)賽，每兩人均賽1場，設(shè)第1個選手勝x1場、負y1場，第2個選手勝x2場、負y2場等等證明：【題說】第二十一屆(1987年)全蘇數(shù)學奧林匹克八年級題