高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)10--三角恒等變換

1、高中數(shù)學(xué)蘇教版必修 4三角函數(shù)知識點總結(jié)一、角的概念和弧度制：(1)在直角坐標系內(nèi)討論角：角的頂點在原點，始邊在 x軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就說過角是第幾象限的 角。若角的終邊在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限，它叫象限界角。與角終邊相同的角的集合： |3600k,k 2或 | 2k ,k Z與 角終邊在同一條直線上的角的集合： ;與 角終邊關(guān)于 x軸對稱的角的集合： ;與 角終邊關(guān)于 y軸對稱的角的集合： ;與 角終邊關(guān)于 y x軸對稱的角的集合： ;一些特殊角集合的表示：終邊在坐標軸上角的集合：;終邊在一、三象限的平分線上角的集合： ;終邊在二、四象限的平分線上角的集合： ;終

2、邊在四個象限的平分線上角的集合： ;(3象限角：第一象限角： ;第三象限角： ;第'、三象限角： ;寫出圖中所表示的區(qū)間角：(4)正確理解角：要正確理解“ 0o90o間的角” =;“第一象限的角” =銳角” =“小于900的角” =；(5)由 的終邊所在的象限，通過 來判斷一所在的象限。2來判斷一所在的象限3(6)弧度制：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零；任一已知角的弧度數(shù)的絕對值 L,其中i為以角 作為圓心角時所對圓弧的長，rr為圓的半徑。注意鐘表指針所轉(zhuǎn)過的角是負角。(7)弧長公式： ；半徑公式： ；扇形面積公式：；二、任意角的三角函數(shù)：(1)任意角的三角函

3、數(shù)定義：以角 的頂點為坐標原點，始邊為 x軸正半軸建立直角坐標系，在角的終邊上任取一個異于原點的點 P(x, y),點P到原點的距離記為 r,則sin ； cos tan ； cot ； sec ； csc ；如：角 的終邊上一點(a, J3a),則cos 2sin 。注意r>0(2)在圖中畫出角的正弦線、余弦線、正切線；比較x (0,), sinx , tanx , x 的大關(guān)系： 2(3)特殊角的三角函數(shù)值:0643232sincostancot三、同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式:(1)同角三角函數(shù)的關(guān)系，商數(shù)關(guān)系sin:=tan；cosJ倒數(shù)關(guān)系卜士 凡一"一一 一&quo

4、t;一' Ui ”hILi.UL- U -i -U UL-U-一山 U !:平方關(guān)系；tan cot =1I1, c 1一:sin2+ cos2=1, 1+tan2 =立,1+cot2=立-cossin作用：已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。(2)誘導(dǎo)公式：2k:55;:? ? ;:2: 55; :2 :?;2?;2£ .2誘導(dǎo)公式可用概括為：2K +,-，一土,+3,+ 的二角函數(shù)奇變偶不變，符號看象限的三角函數(shù)22-作用：去負一一脫周一一化銳”，是對三角函數(shù)式進行角變換的基本 思路.即利用三角函數(shù)的奇偶性將負角的三角函數(shù)變?yōu)檎堑娜呛瘮?shù) 去負；利用三角函

5、數(shù)的周期性將任意角的三角函數(shù)化為角度在區(qū)間 0o,360o)或0o,180o)內(nèi)的三角函數(shù)一一脫周；利用誘導(dǎo)公式將上述三角 函數(shù)化為銳角三角函數(shù)化銳.(3)同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式的運用：已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。注意：用平方關(guān)系，有兩個結(jié)果，一般可通過已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以 討論。求任意角的三角函數(shù)值。步驟：已知三角函數(shù)值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有無數(shù)多個.步驟：確定角所在的象限；如函數(shù)值為正，先求出對應(yīng)的銳角1;如函數(shù)值為負，先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角1;根據(jù)角所在的象限，得出02間的角一一如果適合已知條件的角在第二限；則它是 1；如

6、果在第三或第四象限，則它是1或21；如果要求適合條件的所有角，再利用終邊相同的角的表達式寫出適合條件的所有 角的集合。3、如 tan m , 則 sin, cos； sin()-2，15cot()。2注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度：(3, 4, 5); (6, 8, 10); (5, 12, 13);(8, 15, 17);四、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)1.周期函數(shù)定義定義對于函數(shù)f (x),如果存在一個不為零的常數(shù) T ,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x T) f(x)都成立，那么就把函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，不為零白常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.請你判斷下列函數(shù)的周期y | cosx

7、 |y cos|x |y sin xy cosxy | sin x |y=tan xy=tan |x|y=|tan x|y sin | x |k例求函數(shù)f(x)=3sin (5x )( k 0)的周期。并求最小的正整數(shù)k,使他的周期不大3解 =月皿41+甲)2匯俱中到w的周期為X南依題意，OKt 1 即口等W1,，用廬1加使這個不等式成立的最小正整數(shù)為32.注意 理解函數(shù)周期這個概念，要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常函數(shù) f(x)=c (c為常數(shù))是周期函數(shù)，其周期是異于零的實數(shù)，但沒有最小正周期.結(jié)論：如函數(shù)f(x k)f (xk)對于任意的x R ,那么函數(shù)f(x)的周期T=2

8、k;如函數(shù)f(xk)f(k x)對于任意的x R ,那么函數(shù)f(x)2 .圖像Ml川曲0定義城0cli -|-M)-UJ(k2-21C用工十 2(«. -+x) k的對稱軸是(x k)L1J當(dāng) r-2tai+ -最大(小)值體巨)時匕r= 1 ：時1碼-1;當(dāng)工21奇偶性奇感萩偶函數(shù)奇函徽奇函數(shù)r周期性片2U片即711有界性有果有界無界無罪單調(diào)性在2gl+ ：上都 是增函數(shù)， 在的+ p 加+巴上都 2在K%一鞏2同上都是嚕函 額在以尬(%+1)旬上都是旌皺在(加I-, 2加十-)raSE是增函藪在陶設(shè)十工求靖日是誠函放3。圖像的平移對函數(shù)y=Asin( «x+ ) + k

9、 ( A> 0, « > 0, 豐0, kw 0)，其圖象的基本變換有：(1)振幅變換(縱向伸縮變換)：是由 A的變化引起的.A> 1,伸長；Av 1,縮短.(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由3的變化引起的.1,縮短；9V 1,伸長.(3)相位變換(橫向平移變換)：是由。的變化引起的. >0,左移；<0,右移.(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的.k>0,上移；k<0,下移四、三角函數(shù)公式：ri i umm*. ibimi i lubmi ii i fi i i u:兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系：sin()=sincoscossi

10、ncos()=coscossinsinx /、 tan tantan( )1 tan tan倍角公式sin2cos2tan 2=2sin_ 2=cos22=2coscos-sin2-1=1-2sin22tan1 tan21sincos=sin(2+ )+sin( -)cossin1=sin(2+ )-sin( -)coscos1= cos(2+ )+cos( -)sinsin=cos(+ )-cos( -)積化和差公式2半角公式1 cos1 cossin 1,cosJ2 v 22 L 2x1 cos 1 cos sintan ，:=2 1 cos sin 1 cos升嘉公式和差化積公式sin

11、+sin = 2sinCOS22sin -sin = 2COSsin22cos +cos= 2 COsCOs22cos - cos = - 2sinsin2212tan + cot = sin cos sin 2tan - cot = -2cot21+cos1-cos1 + sin1=sin2c2=2 cos 一2=2sin 2 一 2, 、2=(sin cos)222+ cos221+cos = 2 cos -2c .21-cos = 2sin221±sin =(sin cos -)22sin = 2 sin - cos一 22降嘉公式21 cos 2sin22I21 cos2co

12、s22sin2+ cos2 =1sin cos = sin 2233二倍角公式：sin 33 sin 4 sin ； cos3 4 cos 3cos五、三角恒等變換：三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈 活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：.<1).一魚的變換;在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角 之間的和差，倍半，互補，互余的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使 問題獲解，對角的變形如：32 是 的二倍；4 是2 的二倍；是的二倍；萬是的二倍；3是3的二倍;一是一的

13、二倍;是一的二倍。415o45oo3060o 45osin 12；cos 123)-4(2)函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是 基礎(chǔ)，通常化切、割為弦，變異名為同名。(3)常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常 數(shù)“ 1”的代換變形有：1 sin2cos2sec2tan2 tan cot sin 90o tan45o(4)哥的變換：降哥是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降哥處理的方法。常用降哥公式有： ;。降哥并非絕對，有時需要升哥，如對無理式71 cos 常用升哥化為有理式，常用升哥公式有

14、：; ;(5)公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。1 tan1tan如：；1 tan1tantan tan:1tan tan;tan tan;1tan tan;2tan;1,2tan;tan 20 o tan 40oJ3tan 20o tan 40o sin cos =；asin bcos =(其中 tan ；)1 cos ； 1 cos (6)三角函數(shù)式的化簡運算通常從：“角、名、形、哥”四方面入手；基本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。cot如：sin 50o（1 j3

15、tan10°） ； tan24cos coscos _99935cos coscos777246coscoscos777山東省萊州一中高一數(shù)學(xué)試題-三角恒等變換測試題第I卷、選擇題（本大題共 12個小題，每小題 5分，共60分）1、cos24 cos36 cos66 cos54 的值為（）.332. cos533A、65B、6365sin一, 是第三象限角，則 cos（13C、5665D、16653. tan 20 tan 40而tan 20 tan 40 的值為（）A 1B C - 73D 734.已知tan3,tan5 ,則 tan 2 的值為（）5.,都是銳角，且sinA、33

16、B、85一,cos1316C 561D 84一，則sin 的值是（5D、6365656565cos x36.,x （，一）且4 43 一 ，一.一則cos2x的值是（5A、725B、2425C、2425D、7257.函數(shù)y sin4 xcos4 x的值域是0,11,12,18.已知等腰三角形頂角的余弦值等于4 r一,則這個三角形底角的正弦值為（51010,10103.10103,10D 109.要得到函數(shù)y2sin 2x的圖像,只需將y , 3 sin 2xcos2x的圖像（A、向右平移個單位B、向右平移一個單位G向左平移一個單位D、向左平移一個單位10.函數(shù)6.一 x sin 一21212A

17、、 X1111.已知31 cosxA、12.若A、.3 cos-的圖像的一條對稱軸方程是cosx0,一46二、填空題13.14.15.sin xsin x4（本大題共.在ABC中，已知已知tan x 2 ,則2 ,則tanx的值為0,且tan2,tan C34小題，每小題125分，共20分.4請把答案填在題中的橫線上）tanA ,tanB 是方程 3x2 7x 23sin 2x 2cos 2x , 的值為cos2x 3sin 2x0的兩個實根，則tanC已知直線1i12, A是1i,12之間的一定點，并且 A點到1i,12的距離分別為h1，h2, B是直線l2上一動點，作 AC AB,且使AC

18、與直線 1 交于點C,則 ABC面積的最小值為16.關(guān)于函數(shù)f x cos2x 2j3sinxcosx,下列命題:若存在 x1, x2有x1x2時，f X f x2成立；f x在區(qū)間一，一上是單調(diào)6 3遞增;函數(shù)f x的圖像關(guān)于點 一,0成中心對稱圖像；12一 一 一，,一 ，5 _ 一一一，一.將函數(shù)f x的圖像向左平移 5-個單位后將與y 2sin2x的圖像重合.12其中正確的命題序號（注：把你認為正確的序號都填上）第II卷、選擇題：（每小題5分共計60分）題號123456789101112答案二、填空題：（每小題5分，共計20分）13、14、15、16、三、解答題：1 517.已知 0, tan- -，試求 sin l 的值.（12 分）2 2 tan_ 232的值.2)(12 分)19.已知a為第二象限角，且酬.=史，求阿14 sin 2 cos2-的值.(12分)104 3tan12 318.求 020-sin12 (4cos 122-220