空間解析幾何習(xí)題答案

1、一、計(jì)算題與證明題1已知 | a |1,| b |4 ,| c |5 ,并且 abc0 計(jì)算 ab b c c a 解：因?yàn)?| a|1,| b |4, | c |5, 并且 abc0所以 a 與 b 同向，且 ab 與 c 反向因此 ab0 ， b c0 ， c a0所以 abbcca02已知| ab |3,| ab |4, 求 | a | b | 解： | ab |ab cos3（ 1）| ab |absin4（ 2）22b225( 1)2 得 a所以ab54已知向量 x 與a (, 1, 5 ,2)共線,且滿足 ax3,求向量 x 的坐標(biāo)解：設(shè) x 的坐標(biāo)為x , y , z ，又 a1

2、,5,2則 a xx 5 y 2 z3（ 1）又 x 與 a 共線，則 xa0即ijkyzxyxyxyzijk1525212152 y5 z iz2 x j5 xy k0所以2 y5 z2z2 x25 xy20即 292226220 yz4 xz 10 xy0（2）x5 yz又 x 與 a 共線， x 與 a 夾角為 0或cos 01xa3222222222xxyz152yz30整理得x2y2z23（3）10聯(lián)立1、2、31,11解出向量 x 的坐標(biāo)為,51026已知點(diǎn) A(3,8, 7),B (1,2 , 3) 求線段 AB的中垂面的方程解：因?yàn)?A 3,8,7,B( 1,2,3 )AB 中

3、垂面上的點(diǎn)到A 、 B的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為Mx , y , z，則由 MAMB 得x 32y 822x 12y 222z 7z 3化簡(jiǎn)得2 x3 y5 z270這就是線段AB的中垂面的方程。7 向 量 a, b ,c具有相同的模,且兩兩所成的角相等,若 a ,b 的 坐 標(biāo) 分 別 為(1,1,0 )和 ( 0,1,1) , 求向量c的坐標(biāo)解： abcr且它們兩兩所成的角相等，設(shè)為則有 ab1011011則 cosab1abr2設(shè)向量 c 的坐標(biāo)為x , y , z則 a c1x1y0zxyab cosr r11（ 1）2r1（ 2）b c0 x1y1zyzbc cosrr21rc2y22

4、r22022xz112y222（ 3）所以 xzx13x14聯(lián)立（ 1）、（2）、 (3)求出y0 或y3z11z3所以向量 c 的坐標(biāo)為 1, 0 ,1 或141,3338已知點(diǎn) A( 3,6,1) ,B (2,4,1) , C (0,2,3), D(2,0,3 ) ，(1) 求以 AB , AC , AD 為鄰邊組成的平行六面體的體積(2) 求三棱錐 A BCD 的體積(3) 求 BCD 的面積(4) 求點(diǎn) A 到平面 BCD 的距離解：因?yàn)?A 3，0，1， B 2, 4,1 ,C 0, 2,3 ,D2,0, 3所以 AB1,10 ,0AC3 ,8 , 2AD5 ,6 ,4（1） AB,

5、AC,AD是以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積1100V38231000012012176564（2）由立體幾何中知道，四面體ABCD （三棱錐 ABCD）的體積1188V TV617636（3）因?yàn)?BC2，2，2 ， BD4，4， 4ijkBCBD22216 i16 j0 k444所以 BCBD22162 ，這是平行四邊形BCED的面積161611因此 SBCD2S BCED162822(4)設(shè)點(diǎn) A 到平面 BCD的距離為 H ，由立體幾何使得三棱錐ABCD的體積1V TS BCDH33883V T311112所以 HS BCD82221求經(jīng)過點(diǎn) A( 3,2,1) 和 B (1,2,3)

6、且與坐標(biāo)平面xOz 垂直的平面的方程解：與 xoy平面垂直的平面平行于y 軸，方程為AxCzD0(1)把點(diǎn) A3，2，1 和點(diǎn) B1，2，3 代入上式得3 ACD0(2)A3 CD0(3)由（ 2），（ 3）得 ADCD,22代入（ 1）得DDD02xz2消去 D 得所求的平面方程為x2z 02求到兩平面: 3 xy2 z60和xyz距離相等的點(diǎn)的軌跡方程:5121解；設(shè)動(dòng)點(diǎn)為 Mx , y , z，由點(diǎn)到平面的距離公式得3 zy2 z 65 x 2 y 10 z 102222222315210所以 3 xy 2 z 6145 x2 y 10 z 101293已知原點(diǎn)到平面的距離為 120,且

7、在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為2:6:5, 求的方程解：設(shè)截距的比例系數(shù)為k ，則該平面的截距式方程為xyz12 k6 k5 k化成一般式為15 x 5 y 6 z 30 k0又因點(diǎn) O 0,0,0到平面的距離為120，則有30 k1202221556求出 k4 286所以，所求平面方程為15 x5 y6 z12028605已知兩平面: mx 7 y6 z240 與平面: 2 x3 my 11 z 190 相互垂直， 求 m的值解：兩平面的法矢分別為n 1m ,1, 6 ， n 22 , 3 m ,11 ，由 n1 n 2 ，得2 m21 m 66066求出 m196已知四點(diǎn)A(0,0,0) ,B

8、 (,2,5,3) ,C (0,1,2) ,D (2,0,7 ) , 求三棱錐DABC中 ABC面上的高解：已知四點(diǎn) A 0 ,0,0 , B 2 ,5,3 ,C 0,1, 2 ,D 2,0,7 ,則DA2,0, 7 , DB0, 5, 4 ,DC2,1, 9由 DA, DB, DC為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積為207VDA,DB,DC054219900070089070828由立體幾何可知，三棱錐DABC的體積為1114VDABCV28366設(shè) D 到平面 ABC的高為 H則有V D1SABCHABC3所以H3V DABCS ABC又 AB2,5,3, AC0 ,1,2ijkABAC2537

9、 i4 j2 k012所以， S ABC1ABAC17222122426923143282869因此， H169696927已知點(diǎn) A 在 z 軸上且到平面: 4 x2 y7 z140的距離為 7,求點(diǎn) A 的坐標(biāo)解： A 在 z 軸上，故設(shè) A 的坐標(biāo)為（0 0 z），由點(diǎn)到平面的距離公式，得7 z147222247所以7 z1469則 z269那么 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為A 0,0,2698已知點(diǎn) A 在 z 軸上且到點(diǎn)B ( 0 ,2 ,1) 與到平面: 6 x2 y3 z9 的距離相等 , 求點(diǎn) A的坐標(biāo)。解：A 在 z 軸上，故設(shè)A 的坐標(biāo)為0 , 0 , z，由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到平面的距

10、離公式得 02223 z921z222623化簡(jiǎn)得 40z2229074 z因?yàn)?42402293116404方程無實(shí)數(shù)根，所以要滿足題設(shè)條件的點(diǎn)不存在。1求經(jīng)過點(diǎn) P (1, 2 , 0 ) 且與直線x 1y 1z1 和 xyz 1 都平行的平面的方110110程解：兩已知直線的方向矢分別為v1，1，0 ， v1， 1，0，平面與直線平行，則平面的法12矢 aA， B ， C 與直線垂直由 a v1 ，有 A B0 0（ 1）由 a v 2 ，有 A B0 0（ 2）聯(lián)立（ 1），（2）求得 A0 , B0,只有C0又因?yàn)槠矫娼?jīng)過點(diǎn)P 1，2，0，代入平面一般方程得0102C0 D0所以D0

11、故所求平面方程Cz0 ，即 z0，也就是 xoy 平面。2求通過點(diǎn) P(1， 0， -2) ，而與平面 3x-y+2z-1=0平行且與直線x 1y 3z 相交的直421線的方程解：設(shè)所求直線的方向矢為vm ， n ， p，直線與平面 3 x2 z10 平行，則 v n，有3 mn 2 p0（ 1）直線與直線x1y3z相交，即共面421mnp則有4210113002所以7 m8 n120（ 2）由（ 1），（ 2）得mnp，即 mnp1223314503181212778取 m4 ， n50， p31，得求作的直線方程為x1yz2450313求通過點(diǎn) A ( 0 ,0 , 0 ) 與直線 x3y

12、4z4的平面的方程211解：設(shè)通過點(diǎn) A ( 0 ,0 , 0 ) 的平面方程為A ( x0 )B ( y 0 )C ( z 0 ) 0即AxByCz0(1)x3y4z4v 與平面法矢 n 垂直又直線在平面上，則直線的方向矢211所以2 ABC0(2)直線上的點(diǎn)3 ,4 , 4也在該平面上，則3 A4 B4 C0（ 3）由（ 1），（ 2），（ 3）得知，將A , B , C 作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為xyz2110344即 8 x 5 y11z0 ，這就是求作的平面方程。4求點(diǎn) P (1 ,1,0 ) 到直線 x 2yz1 的距離110解：點(diǎn) A 2 ,0,1在直線上，直線的方向矢v1

13、,1,0AP1,1,1,則 AP 與 v 的夾角為APv1100cosAPv22222111110所以90因此點(diǎn) P 1,1 ,0 到直線的距離為dAP1 21 21 235 取何值時(shí)直線3 xy2 z60x4 yz15與 z 軸相交 ?03 xy2 z600 ，0， z，解：直線與 z 軸相交，則有交點(diǎn)坐標(biāo)為x4 yz150由直線方程得2 z60，求得5z1507求過點(diǎn) (3, 25 ) 且與兩平面 x4 z3 和 3 xy z1 平行直線方程解：與兩平面平行的直線與這兩個(gè)平面的交線平行，則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢所確定的平面，即直線的方向矢為ijkvn 1 n 21044 i 13

14、jk311將已知點(diǎn)代入直線的標(biāo)準(zhǔn)方程得x3y 2z541318 一 平 面 經(jīng) 過 直 線 （ 即 直 線 在 平 面 上 ） l ： x5y 2z ， 且 垂 直 于 平 面314x y z 150 ，求該平面的方程解：設(shè)求作的平面為 AxByCzD0(1)直線 x 5y 2z314與平面的法矢 nA,B,C在該平面上， 則有點(diǎn)5, 2 , 0 在平面上， 且直線的方向矢v3,1, 4垂直所以5 A2 BD0(2)3 AB4 C0(3)又平面與已知平面xyz110 垂直，則它們的法矢垂直所以ABC0(4)A5D39聯(lián)立 (2),(3),(4) 得 B7D34C2D34代入（ 1）式消去 D

15、并化簡(jiǎn)得求作的平面方程為5 x2 y2 z 3903求頂點(diǎn)為 O ( 0 ,0 ,0)，軸與平面 x+y+z=0 垂直，且經(jīng)過點(diǎn) ( 3 , 2 ,1) )的圓錐面的方程解：設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為Px ， y ， z，依題意，該圓錐面的軸線與平面x y z 0 垂直，則軸線的方向矢為v1，1，1，又點(diǎn) O0 ,0,0與點(diǎn) 3，2 ,1在錐面上過這兩點(diǎn)的線的方向矢為l 13, 2 ,1 ，點(diǎn) O ( 0 , 0 , 0 ) 與點(diǎn) Px ， y ， z的方向矢為 l 2x , y , z，則有 l 1與 v的夾角和 l 2與 v 的夾角相等，即x 1 y 1 1 13121112222222222

16、22xyz111321111化簡(jiǎn)得所求的圓錐面方程為2211 z214 yz011 x11 y14 xy4已知平面過 z 軸 ,22z28 y10 z410 相交得到一個(gè)半徑為且與球面 xy6 x2 的圓 , 求該平面的方程解：過 z 軸的平面為 AxBy0（ 1）球面方程化為 x2y42523z9表示球心坐標(biāo)為O3, 4 ,5到截面圓的圓心的距離為d222圖所示35 ,如題三 .4由點(diǎn)到平面的距離公式為3 A4 B52AB化簡(jiǎn)得 4A2211 B224 BA0解關(guān)于A的一元二次方程地24 B24 B2424 11BA24求出 A1111B, A2B22分別代入 (1)式得1BxBy11By0

17、0 ,Bx22消去 B 得所求平面方程為x3y2 y 或 x115求以 z 軸為母線x1, 直線為中心軸的圓柱面的方程y 1解 :如習(xí)題三 .5 所示 ,圓柱面在 xoy 平面上投影的圓心坐標(biāo)為1 ,1 ,半徑為2 ,所以求作的圓柱面方程為x2221y16求以 z軸為母線,經(jīng)過點(diǎn) A(, 4,2,2)以及 B ( 6,3,7 )的圓柱面的方程解 :設(shè)以 z 軸為母線的柱面方程為xa2b22ya(1)因?yàn)辄c(diǎn) A(, 4,2,2), B ( 6, 3,7 ) 在柱面上 ,則有42222(2)abR623b22(3)aR222(4)則a0b 0R聯(lián)立 (2),(3),(4) 求出 a2552225,

18、 b, R6484代入 (1) 式得所求的柱面方程為25222525xy84647根據(jù) k 的不同取值 , 說明 ( 92( 42(121 表示的各是什么圖形k ) xk ) yk ) z解:方程9k2421 k21(1)xk yzk9時(shí) ,(1)式不成立 , 不表示任何圖形 ;2224k9時(shí) ,(1)xyz1 , 表示雙葉雙曲線 ;式變?yōu)?22abc2221k4時(shí) ,(1)xyz1, 表示單葉雙曲線 ;式變?yōu)?22abc k 1 時(shí),(1) 式變?yōu)?k 1 時(shí) ,(1) 式變?yōu)?k4 時(shí) ,(1) 式變?yōu)?k9 時(shí) ,(1) 式變?yōu)?22xyz, 表示橢球面 ;2212abc22xy1 , 表示母線平行于z 軸的橢圓柱面 ;22ab22xz1 , 表示雙曲柱面 ;22ab2z2y1 , 不表示任何圖形 ;2c2b1已知| a |2,| b | 7, | c | 5, 并且 abc 0 計(jì)算 abbcc a 解 :| a | 2 ,| b | 7 ,| c |5 , 且 abc0則 a 與 c 同向，a 、 c 均與 b 反向.所以 abbcca02 7 cos 18007052 cos05 cos 1800143510393已知點(diǎn) A( 0,1,4