絕對(duì)值與一元一次方程(含問題詳解)-

1、實(shí)用文檔絕對(duì)值與一元一次方程知識(shí)縱橫絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)最活躍的概念之一, ? 能與數(shù)學(xué)中許多知識(shí)關(guān)聯(lián)而生成新的問題,我們把絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫含絕對(duì)值符號(hào)的方程, 簡稱絕對(duì)值方程.解絕對(duì)值方程的基本方法有: 一是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào), 將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為常見的方程求解 ; 一是數(shù)形結(jié)合, 借助于圖形的直觀性求解. 前者是通法 , 后者是技巧 .解絕對(duì)值方程時(shí), 常常要用到絕對(duì)值的幾何意義, 去絕對(duì)值的符號(hào)法則, ? 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值常用的基本性質(zhì)等與絕對(duì)值相關(guān)的知識(shí)、技能與方法.例題求解【例 1】方程 5x+6 =6x-5 的解是 _.(2000年重慶市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥設(shè)法去掉絕對(duì)值

2、符號(hào), 將原方程化為一般的一元一次方程來求解.解 :x=11提示 : 原方程 5x+6=± (6x-5) 或從 5x+6 0、 5x+6<0 討論 .【例 2】適合 2a+7 + 2a-1 =8 的整數(shù) a 的值的個(gè)數(shù)有 ().A.5B.4C.3D.2(第 11 屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥用分類討論法解過程繁瑣, 仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)特征, 借助數(shù)軸也許能找到簡捷的解題途徑 .解:選B提示 : 由已知即在數(shù)軸上表示2a 的點(diǎn)到 -7 與+1 的距離和等于8, ? 所以 2a 表示 -7 到 1之間的偶數(shù) .【例 3】解方程 : x- 3x+1 =4;(天津市競(jìng)賽題 )思路點(diǎn)撥從內(nèi)

3、向外 , 根據(jù)絕對(duì)值定義性質(zhì)簡化方程.解 :x=-5 或 x= 3 提示 : 原方程化為 x- 3x+1=4 或 x- 3x+1 =-442【例 4】解下列方程 :實(shí)用文檔(1) x+3 - x-1 =x+1;(北京市“迎春杯”競(jìng)賽題)(2) x-1 + x-5 =4.(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥解含多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的方程最常用也是最一般的方法是將數(shù)軸分段進(jìn)行討論 , 采用前面介紹的“零點(diǎn)分段法”分類討論; 有些特殊的絕對(duì)值方程可利用絕對(duì)值的幾何意義迅速求解.解 :(1) 提示 : 當(dāng) x<-3 時(shí) , 原方程化為 x+3+(x-1)=x+1, 得 x=-5;當(dāng) -3 x<1

4、時(shí) , 原方程化為 x+3+x-1=x+1, 得 x=-1;當(dāng) x1 時(shí) , 原方程化為x+3-(x-1)=x+1,得 x=3.綜上知原方程的解為 x=-5,-1,3.(2) 提示 : 方程的幾何意義是 , 數(shù)軸上表示數(shù)x 的點(diǎn)到表示數(shù)1 及 5 的距離和等于4, 畫出數(shù)軸易得滿足條件的數(shù)為1x 5, 此即為原方程的解 .【例 5】已知關(guān)于x 的方程 x-2 + x-3 =a, 研究 a 存在的條件 , 對(duì)這個(gè)方程的解進(jìn)行討論.思路點(diǎn)撥方程解的情況取決于a 的情況,a與方程中常數(shù)2、3 有依存關(guān)系, 這種關(guān)系決定了方程解的情況, 因此 , 探求這種關(guān)系是解本例的關(guān)鍵, ?運(yùn)用分類討論法或借助數(shù)

5、軸是探求這種關(guān)系的重要方法與工具, 讀者可從兩個(gè)思路去解.解 : 提示 : 數(shù)軸上表示數(shù)x 的點(diǎn)到數(shù)軸上表示數(shù)2,3的點(diǎn)的距離和的最小值為1, 由此可得方程解的情況是:(1)當(dāng) a>1 時(shí) , 原方程解為x= 5a;2(2)當(dāng) a=1 時(shí) , 原方程解為2 x 3;(3) 當(dāng) a<1 時(shí) , 原方程無解 .實(shí)用文檔學(xué)力訓(xùn)練一、基礎(chǔ)夯實(shí)1. 方程 3( x -1)=| x | +1 的解是 _; 方程 3x-1 = 2x+1的解是 _.52. 已知 3990x+1995 =1995, 那么 x=_.3. 已知 x =x+2, 那么 19x 99+3x+27 的值為 _.4. 關(guān)于 x

6、 的方程 a x=a+1 -x 的解是 x=0, 則 a 的值是 _; 關(guān)于 x 的方程 ax= a+1 -x 的解是 x=1, 則有理數(shù) a 的取值范圍是 _.5. 使方程 3 x+2 +2=0 成立的未知數(shù)x 的值是 ().A.-2B.0C.2不存在D.36.方程 x-5 +x-5=0的解的個(gè)數(shù)為 ().A. 不確定B.無數(shù)個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè) (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題 )7.已知關(guān)于 x 的方程 mx+2=2(m-x) 的解滿足 x-1 |-1=0,則 m的值是 ( ).2A.10或 2B.10或- 255C.-10或 2D.-10或- 2(2000年山東省競(jìng)賽題 )558.若 2000x

7、+2000 =20× 2000, 則 x 等于 ( ).A.20或 -21B.-20或 21C.-19或 21D.19或 -21(2001年重慶市競(jìng)賽題 )9.解下列方程 :(1) 3x-5 +4 =8;(2) 4x-3 -2=3x+4;(3) x- 2x+1 =3;(4) 2x-1 + x-2 = x+1.實(shí)用文檔10. 討論方程 x+3 -2 =k 的解的情況 .二、能力拓展11. 方程 x-2 -1 =2 的解是 _.12. 若有理數(shù) x 滿足方程 1-x =1+ x , 則化簡 x-1 的結(jié)果是 _.13. 若 a>0,b<0, 則使 x-a + x-b =a-b

8、 成立的 x 的取值范圍是 _.(武漢市選撥賽試題)14. 若 0<x<10, 則滿足條件 x-3 =a? 的整數(shù) a? 的值共有 _? 個(gè) , ? 它們的和是 _.15. 若 m是方程 2000-x =2000+ x的解 , 則 m-2001等于 ( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+2001實(shí)用文檔16. 若關(guān)于 x 的方程 2x-3 +m=0無解 , 3x-4 +n=0 只有一個(gè)解 , 4x-5 +? k=0 有兩個(gè)解 , 則 m、n、 k 的大小關(guān)系是 ( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m

9、>k>n17. 適合關(guān)系式3x-4 + 3x+2 =6 的整數(shù)x 的值有 ()個(gè) .A.0B.1C.2D.大于2 的自然數(shù)18. 方程 x+5 - 3x-7 =1 的解有 ().A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)個(gè)19. 設(shè)a、 b為有理數(shù), 且 a >0, 方程x-a -b =3 有三個(gè)不相等的解, ?求 b 的值 .( “華杯賽”邀請(qǐng)賽試題)20. 當(dāng) a 滿足什么條件時(shí), 關(guān)于 x 的方程 x-2 - x-5 =a 有一解 ?有無數(shù)多個(gè)解?無解 ?實(shí)用文檔三、綜合創(chuàng)新21. 已知x+2 + 1-x =9- y-5 ( - 1+y , 求x+y的最大值與最小值.第 15 屆

10、江蘇省競(jìng)賽題)22.(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、 b, 求這兩點(diǎn)之間的距離;(2) 是否存在有理數(shù) x, 使 x+1+ x-3 =x?(3) 是否存在整數(shù) x, 使 x-4 + x-3 + x+3 + x+4 =14?如果存在 , ? 求出所有的整數(shù) x; 如果不存在 , 說明理由 .實(shí)用文檔【學(xué)力訓(xùn)練】 ( 答案 )1.±10、2或02.0 或 -1 3.574.-1,a 0 提示 : 由 a+1= a +1 得 a× 10, 即 a05.D 6.B 7.A 8.D9.(1)x=3或 x= 1 ;33 ;(2)x=9或 x=-7(3)x=-4 或 x=2;3(4)

11、提示 :分x<-1 、 -1 x< 1、?1x 2、 x2四種情況分別去掉絕對(duì)值符號(hào)解方22程 , 當(dāng)考慮到1x 2時(shí), ?原方程化為(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,這是一個(gè)恒等式,2說明凡是滿足1 x 2 的x值都是方程的解.210. 當(dāng) k<0 時(shí) , 原方程無解 ;當(dāng) k=0 時(shí), 原方程有兩解 :x=-1 或 x=-5;當(dāng) 0<k<2 時(shí) , 原方程化為 x+3 =2±k, 此時(shí)原方程有四解 :x=-3 ± (2 ± k);當(dāng) k=2 時(shí), 原方程化為 x+? 3 =2±2, 此時(shí)原方程有三解 :x=1

12、或 x=-7 或 x=-3; 當(dāng) k>2 時(shí), 原方程有兩解 :x+3= ± 2( ? 2+k).11. ± 512.1-x 13.b x a提示 : 利用絕對(duì)值的幾何意義解.14.7 、 21提示 : 當(dāng) 0<x<3 時(shí) , 則有 x-3 =3-x=a,a的解是 1,2;當(dāng) 3 x<10 時(shí) , 則有 x-3 =x-3=a,a 的解為 0,1,2,3,4,5,615.D提示 :m 0 16.A 17.C提示 :-2 3x 4 18.B19. 提示 : 若 b+3、 b-3 都是非負(fù)的 , 而且如果其中一個(gè)為零 , 則得 3 個(gè)解 ;如果都不是零, 則得 4 個(gè)解 , 故 b=3.20. 提示 : 由絕對(duì)值幾何意義知 :當(dāng) -3<a<3 時(shí) , 方程有一解 ;實(shí)用文檔當(dāng) a=± 3 時(shí) , ? 方程有無窮多個(gè)解 ;當(dāng) a>3 或 a<-3 時(shí) , 方程無解