量子力學(xué)作業(yè)完整版

1、 姓名： 學(xué)號(hào)：1由麥克斯韋方程和物質(zhì)方程推導(dǎo)出三維波動(dòng)方程。解：麥克斯韋方程為D= （1.1.43a）×E=-Bt (1.1.43b)B=0 (1.1.43c) ×H=J+Dt (1.1.43d)物質(zhì)方程為 D=E (1.1.44a) B=H (1.1.44b) J=E (1.1.44c) 從上述(1.1.43)和(1.1.44)出發(fā)，推導(dǎo)電磁場(chǎng)方程。將矢量運(yùn)算公式 E-2=××E (1.1.45)中E視為電場(chǎng)強(qiáng)度，利用 （1.1.43a）和(1.1.44a)得到E=1D=1=0 (1.1.46) 最后假定自由電荷密度 為常數(shù)。進(jìn)而利用（1.1.43）

2、和(1.1.44)，有××E=-×Bt=-t×B =-t×H =-tJ+Dt =-Jt+2Dt2 =-Et- 2Et2將這個(gè)結(jié)果和（1.1.46）代入（1.1.45），得到2Et2+Et=2E (1.1.47a)這是電場(chǎng)方程。同理得磁場(chǎng)方程2Ht2+Ht=2H (1.1.47b) (1.1.47)中的一階微商項(xiàng)刻畫(huà)系統(tǒng)的損耗。如果系統(tǒng)的損耗為零，則（1.1.47）變?yōu)?Et2=c22E2Ht2=c22H(1.1.48)這是電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，其中，c=1正是電磁波的傳播速度。2.推導(dǎo)三維空間的模密度表達(dá)式gv=8v2c3提示：見(jiàn)課本第12頁(yè)解：現(xiàn)

3、在考慮邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形空腔，腔內(nèi)允許存在的波數(shù)kx,ky,kz=Ll1,l2,l3其中，l1,l2,l3是一組正整數(shù)。三維k-空間中模的密度為/L3?？紤]到kx,ky,kz連續(xù)變化的情況，考察直角坐標(biāo)系到球坐標(biāo)系的變換。一個(gè)半徑為k,厚度為k的球殼的體積為4k2k。由于kx,ky,kz只限于取正值，它們只構(gòu)成1/8的空間，相應(yīng)球殼的體積為184k2k.由于模密度為L(zhǎng)/3，因此1/8球殼內(nèi)的模數(shù)為2184k2kL3由于空腔包含兩個(gè)偏振態(tài)。利用k=2=2c,上式寫(xiě)為L(zhǎng)382c3=L3g其中g(shù)=82c3,是三維空腔的模密度。3. 宇宙大爆炸遺留在宇宙空間的均勻各向同性的背景熱輻射相當(dāng)于T=2.726

4、K 黑體輻射。此輻射的峰值波長(zhǎng)是多少？在什么波段？ 解：m=bT=2.8978×10-32.726=1.063mm它處于微波頻段。4. 康普頓散射的表達(dá)式為：-0=hm0c1-cos1.解釋各個(gè)量的物理意義；2.推導(dǎo)出這個(gè)公式.解：1.m0為電子的靜止質(zhì)量，h為普朗克常量，c為光速，0為入射波長(zhǎng)，為散射波長(zhǎng)， =-0為散射光的紅移量，hm0c為電子的康普頓波長(zhǎng)，為散射角。2光子能量與動(dòng)量之間的關(guān)系為E=cp,又因?yàn)镋=hv得到光子的動(dòng)量P=hvc=h。利用=h2，角頻率=2和波矢量K=2=n，得E=,P=K以h0和h分別表示光子碰撞前和碰撞后的能量，而電子在碰撞前（靜止）和碰撞后的能

5、量分別為m0c2和m0c2,是相對(duì)論因子=11-2c2 (1.3.10) 其中是碰撞后電子的速度。由碰撞前后系統(tǒng)的能量守恒，有h0+m0c2=h+m0c2（1.3.11）另外，設(shè)碰撞前光子的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閄軸，以h0和h分別表示光子在碰撞前和碰撞后的動(dòng)量，而電子在碰撞前和碰撞后的動(dòng)量分別為0和m0。按照動(dòng)量守恒，在X方向和y方向，分別有h0=hcos+m0cos 0=hsin-m0sin（1.3.12）消去，得h02+h2-h20cos=m02=m0c2-m0c2 (1.3.13)式子兩邊同除c，給出 m0c=h0-h+m0c (1.3.14)將（1.3.14）代入（1.3.13），整理后得-0=

6、hm0c(1-cos)5.波長(zhǎng)為 =0.01nm的X射線光子與靜止的電子發(fā)生碰撞。在與入射方向垂直的方向上觀察時(shí)，散射X射線的波長(zhǎng)為多大？碰撞后電子獲得的能量是多少eV？解：x-=hm0c1-cos=hm0c=0.0024nm故散射光波長(zhǎng)為x=0.0124。碰撞后電子獲得的能量等于入射光子損失的能量，該能量為E=h0-h=hc-00=2.4×104eV.6.在一束電子束，單電子的動(dòng)能為E=20eV,求此電子的徳布羅意波長(zhǎng)。解：由E=12m0v2得速度v=2Em0=2×20×1.602×10-199.109×10-31=2.67×106

7、m/s,則相應(yīng)的的徳布羅意波長(zhǎng)為=hm0v=6.626×10-349.109×10-31×2.67×106m3.7 .1.設(shè)歸一化波函數(shù)： x=Ae-12ax2,-<x<+,a為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A。2.設(shè)歸一化波函數(shù)：x=Asinnax （ 0<x<a），n為正整數(shù),a為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A。解：1. A2=1-|e-12ax2|2dx=1-e-ax2dx=a122.A2=10asinnaxdx=-ancosna|0a當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A2=2an，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A2=08.自由粒子的波函數(shù)為r,t=Aeipr-Et其中 p 和 E

8、 是粒子的動(dòng)量和能量，r 和 t 是空間與時(shí)間變量， 是普朗克常數(shù)，A 是歸一化常數(shù)。試建立自由粒子波函數(shù)所滿足的方程。解：對(duì)r,t=Aeipr-Et兩邊關(guān)于t求偏導(dǎo)數(shù)得到t=-iE (1)對(duì)方程兩邊關(guān)于X求偏導(dǎo)數(shù)：x=xAeipxx+pyy+pzz-Et=Aipxeipxx+pyy+pzz-Et=ipx再次對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得到2x2=xAipxeipxx+pyy+pzz-Et=-px22同理 2y2=-py22, 2z2=-pz22以上三式相加，得到2x2+2y2+2z2=-12px2+py2+pz2=-p22即2=-p22 (2)對(duì)（1）式同乘以i,對(duì)（2）式同乘以22m,然后兩式相加，并且

9、自由粒子的能量-動(dòng)量關(guān)系式E=p22m，得到it=-22m2上式就是自由粒子滿足的微分方程。9.設(shè)一個(gè)微觀粒子的哈密頓算符的本征方程為Hnx=Enn(x)該粒子的初始波函數(shù)為x,0=c11x+c22(x)設(shè)cn n(x) 為實(shí)數(shù)，求任意時(shí)刻的波函數(shù)及粒子的幾率密度。解：（1）任意t時(shí)刻體系的波函數(shù)為x,t=ncnn(x)exp(-iEnt)將初始波函數(shù)x,0=c11x+c22(x)代入cn=n*xx,0dx,并利用m*xnxdx=mn,mn=1,(m=n)0,(mn),得到展開(kāi)系數(shù)cn=n*xc11x+c22xdx=c1,(n=1)c2,(n=2)0,(n1,2)這樣，任意t時(shí)刻的波函數(shù)為 x

10、,t= c11xexp-iE1tc22(x)exp(-iE2t) （2）任意t時(shí)刻的幾率密度為（x,t）2 =c1*1*xexpiE1t+c2*2*exp(iE2t)c11xexp-iE1t+c22(x)exp(-iE2t) =c121(x)2+c222(x)2 +c1*c21*x2xexp-iE2-E1t+c2*c12*(x)1(x)expi(E2-E1)t因?yàn)樵O(shè)cn n(x)為實(shí)數(shù),則 c1*c21*x2x=c1c21(x)2(x) c2*c12*x1x=c1c21(x)2(x)令=E2-E1,任意t時(shí)刻幾率密度為（x,t）2=c121(x)2+c222(x)2+2c1c21(x)2(x)

11、cost10.寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的本征函數(shù)為nx=2asinnax,(n=1,2,3)求證本征函數(shù)的正交性：0amxnxdx,(mn)證明：0amxnxdx（m,n=1,2,3） =2a0asinmxasinnxadx = 1a0acosm-nxa-cosm+nxadx =11m-nsinm-nxa-1m+nsinm+nxaa0 =1sinm-nm-n-sinm+nm+n =0 (mn)11. 原子核內(nèi)的質(zhì)子和中子可以粗略地當(dāng)成處于無(wú)限深勢(shì)阱中而不能逸出，它們?cè)诤酥锌梢哉J(rèn)為是自由的。按一維無(wú)限深勢(shì)阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)(n = 2)躍遷到基態(tài)(n = 1)時(shí)，釋放的能量是多少M(fèi)e

12、V? 核的線度按a=1.0×10-14計(jì)算解：質(zhì)子的基態(tài)能量為E1=n2222ma2=222mpa2=2×1.05×10-3422×1.67×10-27×1.0×10-142=3.3×10-13J第一激發(fā)態(tài)的能量為E2=4222mpa24E1=13.2×10-13J質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)釋放的能量E2-E1=9.9×10-13J=9.9×10-131.6×10-19eV=6.2MeV12. 理想金屬細(xì)桿中的電子可以當(dāng)成處于一維無(wú)限深勢(shì)阱中而不能逸出，它們?cè)诩?xì)桿中可以認(rèn)為是

13、自由的。設(shè)細(xì)桿的長(zhǎng)度為a,電子的初始波函數(shù)為Y(x,0) = f (x) = Ax (0 < x < a, A為歸一化常數(shù))試求任意t 時(shí)刻電子的波函數(shù) Y(x, t)。解：初始波函數(shù)滿足f(0)=0,f(a)=0的邊界條件。先將其歸一化：0aAx2dx=A23a3=1A=3a3于是歸一化初始化波函數(shù)為f(x)= 3a3x展開(kāi)系數(shù)為cn=0a2asinnax3a3xdx=6a20axsinnaxdx=6a2-a2ncosn=-6ncosn= 6n (n=1,3,5)-6n (n=2,4,6)13. 設(shè)粒子處于半無(wú)限深勢(shì)阱中，推導(dǎo)出粒子至少有一個(gè)束縛態(tài)的條件。提示:見(jiàn)課本第114 頁(yè)

14、解：一維半無(wú)限深勢(shì)阱的勢(shì)場(chǎng)為Vx= , x00, 0<x<aV0,xa設(shè)粒子的能量為E，0<E<V0，在x0區(qū)域，粒子波函數(shù)x=0.在勢(shì)阱內(nèi)部（0<x<a），設(shè)粒子波函數(shù)為（x）,相應(yīng)的薛定諤方程為d2dx2+k2=0,其中k2=2mE2,方程通解為x=Asinkx+Bcoskx其中，A和B為任意常數(shù)。由波函數(shù)在x=0的連續(xù)性條件0=0，得到B=0，故x=Asinkx在xa區(qū)域，設(shè)粒子波函數(shù)x,粒子在該區(qū)域的勢(shì)能為V0，它的薛定諤方程為-2d22mdx2+V0=E可以寫(xiě)為d2dx2-K2=0，其中K2=2mV0-E2上述方程通解為x=Cexp-Kx+Dexp

15、(Kx)其中C和D為任意常數(shù)。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件要求0,故D=0.從而x=Cexp-Kx?，F(xiàn)在進(jìn)一步考查波函數(shù)在x=a的連續(xù)性條件。首先，x和x在x=a處的一階導(dǎo)數(shù)要保持連續(xù)：a=a即Asinka=Cexp-Ka,另外勢(shì)函數(shù)Vx在x=a處有邊界，Va=V0,波函數(shù)在x=a處的一階導(dǎo)數(shù)要保持連續(xù)，因而，dxdx|x=a=dxdx|x=a,分別對(duì)x，x求導(dǎo)數(shù)，在利用上面的關(guān)系式，我們得到Akcoska=-CKexp-Ka構(gòu)成關(guān)于A和C的線性齊次方程組Asin(ka)-Cexp-Ka=0Akcos(ka)+CKexp-Ka=0它有非零解的必要充分條件是系數(shù)行列式為0：sin(ka)exp-Kakcos

16、(ka)Kexp-Ka=0展開(kāi)后得到Ksin(ka)+kcos(ka) exp-Ka=0因?yàn)閑xp-Ka0，Ksin(ka)+kcos(ka)=0得到cot(ka)=-Kk,此方程為超越方程。為了求解超越方程，引入無(wú)量綱能量參量X=a2mE和無(wú)量綱參量=a2mV0,利用以上兩式，將cot(ka)=-Kk寫(xiě)為cotX=-X2-1利用圖像法求解超越方程，令C(X)=cotX y(X)= -X2-1在同一坐標(biāo)做出兩條曲線，二者交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是超越方程的解：X1，X2，X3Xn.XN(共有N個(gè))半無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量En=2Xn22ma2(n=1,2,3,N)它隨n的變化取分立值。由于勢(shì)阱深度=a2

17、mV0取有限值，當(dāng)X增大到時(shí)，曲線y(X)走到它的終點(diǎn)y()=0.所以兩條曲線的交點(diǎn)有有限多個(gè)（共有N個(gè)），表示束縛態(tài)共有N個(gè)：nx=Ansinknx(n=1,2,3,4,N) nx=Cnexp-Knx(n=1,2,3,N)其中，kn=Xna,Kn=-XnacotXn體系的最高能級(jí)被Xn即ENV0決定，另一方面，如果足夠小，以致2<-32，則C(X)與y(X)只有一個(gè)交點(diǎn)，表示體系中只有一個(gè)束縛態(tài)。當(dāng)X取最小值Xmin=2Xmin22ma2=228ma2=0.25E1這樣體系至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件是2V0228ma214設(shè)諧振子處于基態(tài)（n=0）； （1）、寫(xiě)出其波函數(shù)的表示式 （2）

18、、由哈密頓符的本征方程及基態(tài)波函數(shù)計(jì)算基態(tài)能量解：（1）、= () （2）、將1式代入 得：+ 得=15. 設(shè)諧振子的初態(tài)為基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)：（1）、求出歸一化常數(shù)A；（2）、求出諧振子任意時(shí)刻的狀態(tài)（3）、計(jì)算在態(tài)中能量的期待值解：歸一化條件：所以能量的期待值16. 設(shè)想一個(gè)質(zhì)量為m =1的小珠子懸掛在一個(gè)小彈簧下面做振幅為 =1的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。已知彈簧的勁度系數(shù)為=.1N/m。按量子理論計(jì)算，此彈簧振子的能級(jí)間隔多大？與它現(xiàn)有的振動(dòng)能量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)n是多少？由此可以看出宏觀諧振子與量子諧振子的關(guān)系是什么？解：由 得： =6.6E=k=J= 4.5所以當(dāng)n很大的時(shí)候，宏觀諧振子與量子諧振

19、子才越來(lái)越接近。17.試證諧振子處于第一激發(fā)態(tài)（n=1）時(shí)的波函數(shù)為：并求處在這個(gè)態(tài)時(shí)諧振子的最可幾位置。解： 當(dāng)n=1時(shí)，代入式中得：當(dāng),當(dāng)振子幾率最小，當(dāng)時(shí)，振子幾率最大，也就是振子的最可幾位置。18.氫分子中原子的振動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)諧振子，其等效勁度系數(shù)為 =1.13N/m，質(zhì)量為m =1.67kg。求此分子的能量本征值（以eV為單位）。當(dāng)此諧振子由某一激發(fā)態(tài)躍遷到相鄰下一個(gè)激發(fā)態(tài)時(shí)，所發(fā)射的光子的能量和波長(zhǎng)各是多少？解：= = =0.56eV 由E= 得：=2.2219.證明：坐標(biāo)與動(dòng)量算符構(gòu)成的算符不是尼密算符，已知。證：= =。 坐標(biāo)與動(dòng)量算符構(gòu)成的算符不是尼密算符20.求解角動(dòng)量Z分量=的本征方程： 給出本征函數(shù)與本征值。提示：利用周期性邊界條件：解：由本征方程得：由得c= 得 (m=0) (m=0)可以進(jìn)一步求得c=所以本征函數(shù)是 本征值(m=0)21. 氫原子處于基態(tài)（n=1，l=0,m=0）：(1)寫(xiě)出其本征函數(shù)；(2)寫(xiě)出電子的徑向幾率密度；(3)求電子的最可幾