北大醫(yī)學(xué)數(shù)字圖像處理5.2投影定理和傅里葉重建

1、5.2 投影定理和傅里葉重建投影定理奠定了各種重建算法的基礎(chǔ) 1。 5.2.1 投影定理在固定坐標系中,吸收體的吸收函數(shù) 的 FT 為, (y x f (, (, exp 2( F u v f x y j xu yv dxdy =+其中, 為坐標(x, y經(jīng) FT 后在頻域的變量。, u v 在旋轉(zhuǎn)坐標系 (旋轉(zhuǎn)坐標系 相對于固定坐標系 轉(zhuǎn) 動角 中,吸收體的吸收函數(shù)的 FT 為 , (yx, (y x , (y xf (, (, exp 2( F uv f xy j xu yv dxdy =+ 其中, 為旋轉(zhuǎn)坐標 經(jīng)傅里葉變換所得頻域變量。 , uv , (y x 問題: (, (, F u

2、v F u v =是否成立? 證明:已知=y x y xcos sin sin cos ,其中 為正交方陣: cos sin sin cosT 1, A A A =1=(行列式因為吸收值應(yīng)與坐標系無關(guān),故:, ( cos sin (, sin cos ( , (y x f y x y x f y xf =+=,所以( (, (, exp 2(cos sin sin cos (, exp 2cos sin (sin cos F u v f x y j x y u x y v d xd yf x y j u v x u v y d xd y =+=+ 這里恰好是頻域坐標轉(zhuǎn)動 角, 即兩個坐標系對應(yīng)

3、坐標的關(guān)系為:cos sin sin cos u u v v =, 上式變成(, (, exp 2( F uv f x y j xu yv dxdy =+注意:上式的積分變量變化,因為 dxdy J y d xd =, J 為雅可比 行列式。但是由于 ,以正交方陣作為變換 矩陣,故=y x yxcos sin sin cos cos sin 1sin cos x yxx J x y yydxddy dxdy=又因為(, (, exp 2( F u v f x y j xu yv dxdy =+所以(, (, F uv F u v =。 意義:頻域坐標 的 F 函數(shù)正好等于把頻域坐標轉(zhuǎn)角后(,

4、u v (, u v的 F 函數(shù) 。根據(jù)前面 5.1節(jié)內(nèi)容,當旋轉(zhuǎn)坐標系 相對于固定坐標系 轉(zhuǎn)動角 時, x-ray 所形成的投影, (y x , (y x =sxI I y d y xf xp (ln , ( , (0 , (x p 表示測出的離散值; s 為 x-ray 穿過吸收體的長度; 為 吸收系數(shù)。該投影的傅里葉變換為, (y xf 0(, (, exp 2 (, exp 2 (, exp 20 (, (, 0 v P up xj xu dx f x y j xu dydx f x y j xu y dydx F u v F u=+=符合cos sin cos 0sin cos si

5、n u u v v v u u =,故投 影的傅立葉變換只是 (, u的函數(shù)。 這里就是圖中點線對應(yīng)的數(shù)據(jù),即:空域頻域固定直角坐標系 上斷面的兩維吸收函 數(shù), (y x, (y x f經(jīng)傅里葉變換在直角坐標系 上得到 (, u v (, F u v動坐標系 轉(zhuǎn)動方 向 ,平行束投影 , (y x經(jīng)傅里葉變換 坐標系 轉(zhuǎn)動同樣 時的轉(zhuǎn)軸 上各點之值(, uv u (, 0 F u(, p x 5.2.2 n-D 坐標投影空間域 :多維函數(shù)看作向量( , , , (21K f x x x f n= 其中 K為列向量,T n n x x x x x x , , , 2121 #K = (Kf 的傅

6、里葉變換為12( (, , , n F W F w w w =K其中 頻域坐標向量 Tn w w w W , , , 21 K =。所以nn n nn dx dx dx x w x w x w j xx x f w w w F 2122112121 (2exp , , , (, , , (+=可以寫為( ( exp 2( F W f j W d +=K K KK K同理,傅里葉逆變換為+=W d W j W F f nKK K K K (2exp (2(1 (有向量形式的傅里葉變換對:( (W F f KK。 假如把 n 維坐標軸旋轉(zhuǎn)一角度求其投影時,轉(zhuǎn)動角度相當于對向 量進行正交歸一變換,變

7、換矩陣 A 應(yīng)滿足T A A A =1, 1 (正交歸一條件 , A 為行列式,記為=nn n n n n a a a a a a a a a A # 212222111211。假如把 K向量旋轉(zhuǎn)一角度成為 KA 向量,記作第五章 圖像重建 L = A = l1 , l 2 , 求其傅里葉變換： + , ln T F (W = = 其中 + f ( A exp j 2 W ( A d ( A f ( L exp j 2 (W L dL L = A = A 1 L = AT L dL= J d=d 頻域： 進行同樣的正交歸一變換，即令 = AW 求傅里葉反變換 + f (L = 得到傅里葉變換對

8、 F ( exp j 2 ( L dL f ( L F ( f ( A F ( AW 說明若 f ( F (W 則存在 f ( A F ( A W ，即 f ( L F ( 。 6 第五章 圖像重建 n-D 系統(tǒng)的投影 在 n 維系統(tǒng)中沿 x i 維方向上投影，就是在該方向上求積分。得 到 n1 維投影函數(shù) p x i ( x1 , x 2 , 其傅里葉變換為 , x i 1 , x i +1 , , xn = f ( dx i Pwi ( w1 , w 2 , 表示在 wi , wi 1 , wi +1 , , w n = F (W wi = 0 = 0 處的一個切片！這是 n 維系統(tǒng)中沿任

9、一軸的投影。 對任意方向（非某一軸） ，同上述原理，用正交歸一旋轉(zhuǎn)矩陣 A, 則 F (W f ( F ( AW f ( A 即 F ( f ( L pli (l1 , l2 , , li 1 , li +1 , , ln 的 n 同理， l i 投影軸的投影 沿 1 維傅里葉變換 Pli = F ( 為多維向量的投影定理。 i =0 7 第五章 圖像重建 5.2.3 傅里葉重建 極坐標的傅里葉變換 y y x x x-ray 筆形x-ray束沿與x軸成沿角的 x 軸平移，得到一組空域投影 p ( x , ，其傅里葉變換為頻域過 (u , v 零點、角度為的一條直 線上的全部數(shù)據(jù)，從 0 變到

10、 1800，可求出一系列頻域過零點的數(shù) 據(jù)集合。 v S u 現(xiàn)在從極坐標看，設(shè)采樣 M 個點，即有 M 個離散數(shù)據(jù)。 原來是直角坐標 f ( x , y 的傅里葉變換 F (u , v ，現(xiàn)用極坐標 8 第五章 圖像重建 (S, 表示 F (u , v ，對應(yīng)傅里葉反變換為 f ( x, y = 其中 1 (2 2 + 0 F (S, exp j 2 ( xS cos + yS sin S u = S cos v = S sin dSd S 對應(yīng) u . 當 = 0 ，空域投影經(jīng)傅里葉變換在頻域得到 P (u , v = = F ( S , = = S ( S , = 0 0 0 已經(jīng)表示為頻域極坐標形式，而 u 相應(yīng)于極軸 S，得用投影 S ( S , 重 建圖像 f ( x , y 的公式，所以 f ( x, y = 1 (2 2 + 0 S ( S , exp j 2 S ( x cos + y sin S dSd 這里把從 0