一元一次方程解法

1、一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1 1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性質(zhì)；2 2、會解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步驟，并經(jīng)歷和體會解方程時運(yùn)用的“轉(zhuǎn)化”的過程和思 想?！拔覇栭_店李三公，多少客人在店中？ 一房七客多七客，一房九客一房空。請你仔細(xì)算一算,知識回顧（1 1）什么是方程 我們在小學(xué)就學(xué)習(xí)過方程，所謂方程，就是含有未知數(shù)的等式。（2 2）去括號法則 在本講中，我們要用到上一講學(xué)習(xí)過的去括號法則，請同學(xué)們提前復(fù)習(xí)一下。1 1、化簡下列式子（1 1）（2a 3b）（a 4b）（2 2）3 （2x y） 2（X X4y）思路導(dǎo)航：回憶去括號法則，并嚴(yán)格遵循這一法則。

2、解答：（1 1）原式2a 3b a 4b2a a 4b 3bab（2 2）原式6x 3y 2x 8y6x 2x 8 y 3y4x 5 y點(diǎn)津:去括號是解一元一次方程過程中很容易出現(xiàn)錯誤的地方，請同學(xué)們在做題過程中引起重視，多檢查。知識點(diǎn)一方程的解與解方程使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。例如，當(dāng)X 3時，在方程3x 2 4x 1中左邊=3 3 2 11右邊=4 3 1 11所以，左邊=右邊，故X 3是方程3x 2 4x 1的解。例2 2、檢驗下列括號里的數(shù)是不是它前而方程的解。小升初數(shù)學(xué)銜接元一次方程的解法（一）二、 學(xué)習(xí)重點(diǎn)祟握去分母、三、 課程精講去括號、合并.系數(shù)化為1 1的

3、方法的使用及其依據(jù)。古代詩歌曰:多少房間多少客。2 2、3 3、新知探秘（4） &（1）3y 1 2y 1 （ y 4, y 2）（2 2）（2X X）（3x） 0（ X XO,x 2）思路導(dǎo)航：回憶方程的解的定義，并運(yùn)用它解題。y 4不是方程的解。當(dāng)y2時，左邊3 2 15,右邊2 2 15所以，左邊二右邊，y 2是方程的解。（2）當(dāng)X 0時，左邊（20） （3 0）解答：（1 1）當(dāng)y 4時，左邊3 4 1 11,右邊2 4 1 9所以，左邊右邊，6,右邊=0所以，左邊右邊，xO不是方程的解。 當(dāng)X 2時，左邊（22） （32）所以，左邊二右邊，X 2是方程的解。點(diǎn)津:求方程的解的

4、過程，叫做解方程。知識點(diǎn)二等式的性質(zhì)既然方程是一種特殊的等式，那么在解方程之前，我們先來研究等式的性質(zhì)。rK如上圖，從左到右，我們在保持平衡狀態(tài)的天平兩邊加上相同的重量，天平仍保持平衡；從右到左，我們在的平衡類似，于是有:思路導(dǎo)航：利用等式的性質(zhì)達(dá)到使等式變形的目的。解答:0,0,右邊=0=0我們在小學(xué)己經(jīng)學(xué)習(xí)過簡易方程，比如,3x4 9,只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是a53 （a1） 3等，像這樣21 1的方程叫做一元一次方程。保持平衡狀態(tài)的天平兩邊減去相同的重量,天平仍保持平衡。等式與天平等式的性質(zhì)1 1等式的兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子）I Q）I多丿IT,結(jié)果仍相等。類似的

5、，在上圖中,性質(zhì)J J觀察從左到右和從右到左天平兩邊的變化,匕、piI命歩IT等式的性質(zhì)例3 3、填空2 2等式兩邊乘以冋一個數(shù)，或除以同一個不為0 0的數(shù)，結(jié)果仍相等。（1 1）若若2 X,那么Xy 6,那么X 63/O/O、社3v3v4若3xy2那么y224,那么X（4） &（1 1）1 1； （2 2） y;y;y y（3 3）妝；4 4點(diǎn)津，養(yǎng)成言之有據(jù)的習(xí)慣，即培養(yǎng)自己的理性思維。例4.4.判斷（1 1）若ax ay,貝U x y；若Xy,則X55 y(3)若axb 0(a0),則b.Xa若5x2 6x3,那么X 1 o思路導(dǎo)航：為題目中給定的變形式找依據(jù)。解答：（1）錯，若

6、a 0,則不能用等式的性質(zhì)2:2:(2)(2)錯，利用等式的性質(zhì)b可得x5y 5,而并非題目所給結(jié)果;（4） &錯，利用等式的性質(zhì)h得axb,b,再利用等式的性質(zhì)2,2,得X-X-：對，利用等式的性質(zhì)1,得3 2 6x 5x,即X 1。點(diǎn)津：此題與上題在邏輯上正好相反，上題是按依據(jù)來變形，此題是為變形找依據(jù),有逆向思維的成分，屬于更高層次的要求。(4)(4)知識點(diǎn)三 解一元一次方程（一）系數(shù)化為1 1mx n（其中m, n為常數(shù)，m 0）是比較簡單的一元一次方程。解這類方程時，可以利用等式的性質(zhì)2,將未知數(shù)的系數(shù)化為例5 5、解下1 1即可。列方程解答:方程兩邊同時除以15,15,15

7、x4FI156015方程兩邊同時除以325p方程兩邊同時除以2.52.5得25P寸2.51.52.5方程兩邊同時除以3.3.1,1,得3JX3.13.1點(diǎn)津:將系敎化為1 1實(shí)際上是將此類方程化為形如a的最簡單的方程。思路導(dǎo)航：將系數(shù)化為知識點(diǎn)四 解一元一次方程（二）移項我們來研究方程 15X60J m222 5p13.1x o5x 2 3x 41)1)(4)(4)2所以，根據(jù)等式的性質(zhì)1,1,方程（1 1）兩邊同時加上2,2,（5x2） 2即(3x4) 2于是，得到一個新的方程5x 3x 6(2)(2)這個方程與原方程的解是相同的,3x,即稱其為原方程的同解方程。再根據(jù)等式的性質(zhì)1,1,方程

8、（2 2）兩邊同時減去5x 3x (3x 6) 3x于是，得到與原方程同解的方程2x6（3 3）將這個方程中未知數(shù)的系數(shù)化為將方程（1 1）與方程（2 2）作比較b得X 3。5r= (3r44) +2這個變形可以看作是把方程左邊的常數(shù)項同樣，將方程（2 2）與方程（3 3）作比較2改變符號后，移到方程的右邊。r久內(nèi)=6這個變形乂可以看作是把方程右邊的含 這種變形叫做移項。X X的項3x3x改變符號后，移到方程的左邊。(1(16yX24x3x 4 3x思路導(dǎo)航:在計算的過程中，一定要依據(jù)移項的法則求解。(4)(4)2移項法則：把方程一邊的項改變符號后移到方程的另一邊，方程的解不變。求方程（1 1

9、）的解的過程可以寫為解：移項，得5x 3x 4 2合并，得2x 6方程兩邊同除以2,2,把X X的系數(shù)化為1,1,得X X 3 3。例6 6、解下列方程5x/5/11/ _4解答:（1）移項，得7 5 X -X2系數(shù)化為1,得x4移項，得6y 4y合并，得2y 2系數(shù)化為1,得y 1(3)移項，得1 X X合并，得1-X,2系數(shù)化為1 1，得X X(4)(4)移項，得4x 3x 4 1合并，得7x 系數(shù)化為1,1,得X X - -7點(diǎn)津：移項的本質(zhì)是利用了等式的性質(zhì)通過移項和合并，我們把較復(fù)雜的一元一次方程變形為形如lomx n(m 0)的簡單方程。這種將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的數(shù)學(xué)思想值得我

10、們加以總結(jié)。知識點(diǎn)五解一元一次方程(三)去括號和去分母如果一元一次方程中含有括號，我們需要利用上一講學(xué)習(xí)的去括號法則，將括號去掉，再將其轉(zhuǎn)化為較簡單的形式，利用移項和合并，最終化為最簡單的方程，從而求出方程的解。例7 7、解下列一元一次 方程(1)(1)4x 22(x 4)(2)(2)3(y 7)29 4(2思路導(dǎo)航：當(dāng)方程中含有括號時，解答：(1)(1)去括號，得4X 2 2x 8移項，得4x 2x 8 2合并，得2x 10系數(shù)化為1,1,得X X (2)(2)去括號，得3y 21y)22將括號去掉，轉(zhuǎn)化為較為簡單的方程。29 84y22再去括號，得3y 21 18 168y 22移項，得3

11、y 8y 22 21 18合并，得1411點(diǎn)津：此例題比上一例題更為復(fù)雜，但是通過去括號可以將其轉(zhuǎn)化為類似上一例題中較為簡單的形式，這也是利用了轉(zhuǎn)化的方式。另外，在對形如4(x3)的式子進(jìn)行去括號時，其實(shí)還是一個運(yùn)用分配律的過程。有的方程未知數(shù)的系數(shù)是分?jǐn)?shù)，而整數(shù)的運(yùn)算比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算簡單、不容易出錯。因此,我們自然會想，有沒有什么辦法可以將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)?這個辦法就是利用等式的性質(zhì)x2 1 2x我們以方程丄1厶衛(wèi)43這里有三個分母，其最小公倍數(shù)為2,2,在方程的左右兩邊同時乘以所有分母的公分母。為例。612,12,在這個方程的左右兩邊同時乘以!) 12(1寧)12312,12,得利用乘法分配律，得

12、1212 1 1212即3(x 2) 412 2(2 X)得到的這個方程就是上述我們能夠解的簡單方程了，解答過程如下:去括號，得3x 6 4 12 4 2x移項，得3x 2x 12 4 6 4合并，得X 10例8 8解下列一元一次方程5x4數(shù)的一元一次方程的步驟。思路導(dǎo)航:要清楚去分母的依據(jù)和步驟。解答：(1)(1)方程兩邊同時乘以4,4,得2(34x) 5x去括號，得6 8x 5x移項，得6 5x 8x合并，得6 13x,即13x 6系數(shù)化為1,1,得X X -13(2)(2)方程兩邊同時乘以12,12,得3(x 2)2(4 3x)12去括號，得3x 686x12移項，得3x 6x12 68

13、合并，得9x 26系數(shù)化為1，得X269點(diǎn)津：去分母的過程，實(shí)際上就是將帶分?jǐn)?shù)的方程化為上述整數(shù)系數(shù)方程的過程。大家一定要總結(jié)其中的“轉(zhuǎn)化”思想。大家熟悉去分母的過程后就不必這樣詳細(xì)書寫，只需寫“去分母，得”即可。知識點(diǎn)六解一元一次方程的一般步驟為更全面地討論問題，我們以5 2v5W4y隈為例，看看解有分?jǐn)?shù)系3 10 2(5 2y)4 10 (10 4y)5(2 y)需要注意的是，方程左右兩邊的每一項都要乘以10,10,謹(jǐn)防漏乘；分?jǐn)?shù)線本身具有括號的作用，所以去分母后先把括號添上。我們用下列流程圖表示具體解答過程:四、知識提煉導(dǎo)圖這個流程圖顯示了解一元一次方程的一般步驟。解方程就是要求出其中的

14、未知數(shù)(比如X),X),通過去分母、去括號、移項、合并、系數(shù) 化為1 1等步驟，就可 以使一元一次方程逐步向著X X a a的簡單形式轉(zhuǎn)化，這個過程主要依據(jù)了等式的性質(zhì)和運(yùn)算律等方法。例9 9、解方程63思路導(dǎo)航:1竺4依據(jù)上述解一兀一次方程的步驟即可解決。解答:得2(1 2X)X)4(x1) 12 3(2x1)得2 4x4x4126x36x 4x4x12 3 246x3b得X丄2點(diǎn)津:定要清楚每一步的依據(jù)是什么:每一步都是將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單方程的過程。去分母,去括號,系數(shù)化為移項，得合并，得32五、目標(biāo)期望等式的性質(zhì)1件么是方程通過本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們了解什么叫方程的解,掌握解一元一次

15、方程的步驟，包括去分母、去括號、合并、系數(shù)化為1,1,不但要會算，而且還要知道為什么可以這樣算。另一方面，希望同學(xué)們在解一元一次方程的過程中，體會由繁雜到簡單的轉(zhuǎn)化思想,這種轉(zhuǎn)化思想將會一直伴隨在我們的學(xué)習(xí)中。【同步練習(xí)】（答題時間：4545分鐘）1.1.火眼金睛：（5 5）一個個位是4 4的三位數(shù)，如果把這個數(shù)（1 1）對于成立的等式來說，下列說法錯誤的是（b C,則a b4 4換到最左邊，所得的數(shù)比原數(shù)的3 3倍還A若aB若ac若-，則a bD若acbe,則a b（2 2）2方程X X5的解為（A. 9B.B. 3 3C C 3D D（3）與方程2x1 3x2 2同解的方程是（)A. 2x

16、 3x 1B.B.3x 2x3c. 2x 3 3x4D.D.12x23x 1(4)若3與-（5) )占占ininA A則X的值應(yīng)為（ 9 9A.A. 7 7多98,98,則原數(shù)是（B.B. 2 2C C 1 1D.D. 0 0A.A. 544544B.B.144144C.C.104104D.D. 4044042 2、對號入座：（1）己知X 3是方程2x2 3mx 2m 4的解，則m2（2 2） _代數(shù)式2x 3x 1的值是_2x 1（3）當(dāng)-7時，方程2X 5y 6中的y的值為3已知6x6x 4 4 4x4x 6,6,則（4 4）當(dāng)X X1 2時，代數(shù)式一（1 2x）與代數(shù)式一（3x1）的值相

17、等;37（5 5）_X的方程3x m 1 2x 3m 2m 2同解，那么m如果關(guān)于32D A項和B項中變形的依據(jù)都是利用了等式性質(zhì)i；C項中變形的依據(jù)是利用了等式性質(zhì)2,由于C出現(xiàn)在條件的分母上，所以C 0；而D項中的C可能會等于0,所以不 能兩邊同時除以C。D去分母，得2x(X 1)10 ；去括號，得2x X 110 ；移項，得:合并，得X 9。B方法一是將題干和選項中的方程都解出來，看看哪個選項方程的解與題干方方法二是將題干方程解出來，得x3,然后將其代入選項中，看它是哪個選1(在這里是移項法則)，看題干方程能變形為哪個選項方程。(4)A由題意，得1Y 糾0。去分母,得3(3 X)6 2(

18、5 2X)0 ；23去括號，得9 3x 6 10 4x 0；移項，得4x 3x 10 6 9:合并，得x 7。10 x4 104o3 3、牛刀小試：(1)(1)解下列方程 X2 -22(x3) 14.51.5x2(x7)的值。5(2)如果方程竺2x【試題答案】與關(guān)于X的方稈4x2勿xn)的解相同，求5 3)1 1、火眼金睛(1)(1)2XX 10 1(3)(3)程的解相同。項方程的解。方法三是利用等式性質(zhì)(5)C方法一是將選項中的數(shù)一-兩位數(shù)為X,則進(jìn)行驗證。方法二是設(shè)原數(shù)去掉個位數(shù)字得到的 解得X依據(jù)題意，得400 X 3(1 Ox4)98,10,所以原數(shù)為2 2、對號入座：143代入方程兩邊，應(yīng)該相等，即2m4,解這個關(guān)2x23x得14o363611由6x 44x65代入2x23x1 22535 136。14,2x1因為7,所以X10；10代入方程2x5y3205y6,解得y14括號,由題意，3